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【例1】如图所示，回答下列问题.
(1)$∠AOC$是哪两个角的和？
(2)$∠AOB$是哪两个角的差？
解:
(1)$∠AOC$是哪两个角的和？
(2)$∠AOB$是哪两个角的差？
解:
答案
解:(1)$∠AOC$ 是$∠AOB$ 与$∠BOC$的和.
(2)$∠AOB$ 是$∠AOC$ 与$∠BOC$ 的差，$∠AOB$ 也是$∠AOD$ 与$∠BOD$ 的差.
(2)$∠AOB$ 是$∠AOC$ 与$∠BOC$ 的差，$∠AOB$ 也是$∠AOD$ 与$∠BOD$ 的差.
解析
【分析】
解决这类角的和差问题，第一步先观察图形中各射线的位置，明确角的公共顶点和各角的包含关系：
1. 求某角是哪两个角的和时，找位于这个角内部的射线，这条射线会把该角分成两个相邻且无重叠的小角，两个小角的和就是该大角；
2. 求某角是哪两个角的差时，找所有包含这个角的更大的角，用大角减去除所求角之外的剩余部分，就能得到对应的差关系，注意要找全所有符合的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 观察图形可得，射线OB在∠AOC的内部，∠AOB与∠BOC有公共顶点O、公共边OB，两个角无重叠部分，恰好拼接成∠AOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$。
(2) 梳理所有包含$∠ AOB$的大角：
① $∠ AOC$包含$∠ AOB$，剩余部分为$∠ BOC$，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；
② $∠ AOD$包含$∠ AOB$，剩余部分为$∠ BOD$，因此$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$。
【答案】
(1)$∠AOC$ 是$∠AOB$ 与$∠BOC$的和.
(2)$∠AOB$ 是$∠AOC$ 与$∠BOC$ 的差，$∠AOB$ 也是$∠AOD$ 与$∠BOD$ 的差.
【知识点】
角的和差运算、角的位置识别
【点评】
本题是角的运算的基础题型，重点考查对图形中角的包含关系的观察能力，解题时结合图形逐一梳理各角的位置即可，注意不要遗漏符合条件的角的组合。
【难度系数】
0.9
解决这类角的和差问题，第一步先观察图形中各射线的位置，明确角的公共顶点和各角的包含关系：
1. 求某角是哪两个角的和时，找位于这个角内部的射线，这条射线会把该角分成两个相邻且无重叠的小角，两个小角的和就是该大角；
2. 求某角是哪两个角的差时，找所有包含这个角的更大的角，用大角减去除所求角之外的剩余部分，就能得到对应的差关系，注意要找全所有符合的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 观察图形可得，射线OB在∠AOC的内部，∠AOB与∠BOC有公共顶点O、公共边OB，两个角无重叠部分，恰好拼接成∠AOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$。
(2) 梳理所有包含$∠ AOB$的大角：
① $∠ AOC$包含$∠ AOB$，剩余部分为$∠ BOC$，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；
② $∠ AOD$包含$∠ AOB$，剩余部分为$∠ BOD$，因此$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$。
【答案】
(1)$∠AOC$ 是$∠AOB$ 与$∠BOC$的和.
(2)$∠AOB$ 是$∠AOC$ 与$∠BOC$ 的差，$∠AOB$ 也是$∠AOD$ 与$∠BOD$ 的差.
【知识点】
角的和差运算、角的位置识别
【点评】
本题是角的运算的基础题型，重点考查对图形中角的包含关系的观察能力，解题时结合图形逐一梳理各角的位置即可，注意不要遗漏符合条件的角的组合。
【难度系数】
0.9
1.如图,两个三角尺的直角顶点重合于点O处,若$∠ AOD=135°$,则$∠ BOC=$
45
°。答案
1.45
解析
【分析】
首先明确三角尺的直角为90°，因此可得∠AOB=∠COD=90°。解题时先找已知角∠AOD和待求角∠BOC的关系：第一步，先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数；第二步，再利用∠COD与∠BOD的差即可求出∠BOC的度数。也可以直接利用两个直角的和等于∠AOD与∠BOC的和这一规律直接计算。
【解析】
解：由三角尺的特征可知，∠AOB=∠COD=90°。
∵ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD，已知∠AOD=135°
∴ ∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 135° - 90° = 45°
又
∵ ∠BOC + ∠BOD = ∠COD
∴ ∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 90° - 45° = 45°
【答案】
45
【知识点】
直角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，结合直角的特征分步计算即可，也可总结该类题型的规律提升解题速度。
【难度系数】
0.85
首先明确三角尺的直角为90°，因此可得∠AOB=∠COD=90°。解题时先找已知角∠AOD和待求角∠BOC的关系：第一步，先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数；第二步，再利用∠COD与∠BOD的差即可求出∠BOC的度数。也可以直接利用两个直角的和等于∠AOD与∠BOC的和这一规律直接计算。
【解析】
解：由三角尺的特征可知，∠AOB=∠COD=90°。
∵ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD，已知∠AOD=135°
∴ ∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 135° - 90° = 45°
又
∵ ∠BOC + ∠BOD = ∠COD
∴ ∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 90° - 45° = 45°
【答案】
45
【知识点】
直角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，结合直角的特征分步计算即可，也可总结该类题型的规律提升解题速度。
【难度系数】
0.85
【例2】计算：
(1)$180° - 46°42'$； (2)$28°36' + 72°24'$；
(3)$50°24' × 3$； (4)$49°28'52'' ÷ 4$.
解：
(1)$180° - 46°42'$； (2)$28°36' + 72°24'$；
(3)$50°24' × 3$； (4)$49°28'52'' ÷ 4$.
解：
答案
解:(1)$133°18'$. (2)$101°$.
(3)$151°12'$. (4)$12°22'13''$.
(3)$151°12'$. (4)$12°22'13''$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，不同运算的思考逻辑如下：
1. 减法运算：若被减数的分/秒数值小于减数，需向高一级单位借1当60再同单位相减；
2. 加法运算：同单位数值相加，若某一级相加结果满60，就向高一级单位进1；
3. 乘法运算：分别用度、分乘乘数，每一级计算结果满60就向高一级单位进1；
4. 除法运算：从最高级单位（度）开始除，余数转换为下一级单位，和原有下一级单位的数值相加后继续除，依次计算到秒即可。
【解析】
(1) 先将$180°$转化为$179°60'$（借$1°$当$60'$），再同单位相减：
$180° - 46°42' = 179°60' - 46°42' = (179°-46°)+(60'-42') = 133°18'$
(2) 同单位分别相加，分满60向度进1：
$28°36' + 72°24' = (28°+72°)+(36'+24') = 100°+60' = 100°+1° = 101°$
(3) 度、分分别乘3，分满60向度进1：
$50°24' × 3 = (50°×3)+(24'×3) = 150°+72' = 150°+1°12' = 151°12'$
(4) 从高到低依次除，余数转下一级单位继续算：
第一步算度：$49°÷4 = 12°$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，和原有$28'$相加得$60'+28'=88'$；
第二步算分：$88'÷4=22'$，无余数；
第三步算秒：$52''÷4=13''$；
合并结果得$12°22'13''$。
【答案】
(1)$133°18'$；(2)$101°$；(3)$151°12'$；(4)$12°22'13''$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 度分秒的加减运算
3. 度分秒的乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒60进制的运算规则，解题的关键是注意加减运算中的借位、进位，以及乘除运算中的单位转换，熟练掌握该类运算可为后续几何中角度的相关计算打好基础。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，不同运算的思考逻辑如下：
1. 减法运算：若被减数的分/秒数值小于减数，需向高一级单位借1当60再同单位相减；
2. 加法运算：同单位数值相加，若某一级相加结果满60，就向高一级单位进1；
3. 乘法运算：分别用度、分乘乘数，每一级计算结果满60就向高一级单位进1；
4. 除法运算：从最高级单位（度）开始除，余数转换为下一级单位，和原有下一级单位的数值相加后继续除，依次计算到秒即可。
【解析】
(1) 先将$180°$转化为$179°60'$（借$1°$当$60'$），再同单位相减：
$180° - 46°42' = 179°60' - 46°42' = (179°-46°)+(60'-42') = 133°18'$
(2) 同单位分别相加，分满60向度进1：
$28°36' + 72°24' = (28°+72°)+(36'+24') = 100°+60' = 100°+1° = 101°$
(3) 度、分分别乘3，分满60向度进1：
$50°24' × 3 = (50°×3)+(24'×3) = 150°+72' = 150°+1°12' = 151°12'$
(4) 从高到低依次除，余数转下一级单位继续算：
第一步算度：$49°÷4 = 12°$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，和原有$28'$相加得$60'+28'=88'$；
第二步算分：$88'÷4=22'$，无余数；
第三步算秒：$52''÷4=13''$；
合并结果得$12°22'13''$。
【答案】
(1)$133°18'$；(2)$101°$；(3)$151°12'$；(4)$12°22'13''$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 度分秒的加减运算
3. 度分秒的乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒60进制的运算规则，解题的关键是注意加减运算中的借位、进位，以及乘除运算中的单位转换，熟练掌握该类运算可为后续几何中角度的相关计算打好基础。
【难度系数】
0.7
2.计算:
(1)$14°25'+42°42'$;
(2)$180°-21°17'24''$;
(3)$20°21'×6$;
(4)$17°4'÷5$.
(1)$14°25'+42°42'$;
(2)$180°-21°17'24''$;
(3)$20°21'×6$;
(4)$17°4'÷5$.
答案
2.解:(1)$57°7'$. (2)$158°42'36''$.
(3)$122°6'$. (4)$3°24'48''$.
(3)$122°6'$. (4)$3°24'48''$.
解析
【分析】
本题考查度分秒的四则运算，需牢记度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题思路如下：1.加法：同单位相加，分或秒满60就向上一级进1；2.减法：同单位相减，若某一级单位不够减，向上一级借1当作60再减；3.乘法：度、分分别乘乘数，满60向上一级进1；4.除法：从最高级（度）开始除，余数乘60转为下一级单位，和原有下一级数值相加后继续除，逐级计算到秒即可。
【解析】
(1) 计算$14°25'+42°42'$：
度相加：$14°+42°=56°$，分相加：$25'+42'=67'$
因为$67'=1°7'$，所以$56°+1°7'=57°7'$
(2) 计算$180°-21°17'24''$：
先统一单位：$180°=179°59'60''$
对应相减：$179°-21°=158°$，$59'-17'=42'$，$60''-24''=36''$，得结果$158°42'36''$
(3) 计算$20°21'×6$：
分别相乘：$20°×6=120°$，$21'×6=126'$
因为$126'=2°6'$，所以$120°+2°6'=122°6'$
(4) 计算$17°4'÷5$：
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，转换为分：$2°=120'$，加原有4分得$124'$
再算分：$124'÷5=24'$，余$4'$，转换为秒：$4'=240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$，组合得$3°24'48''$
【答案】
(1)$57°7'$；(2)$158°42'36''$；(3)$122°6'$；(4)$3°24'48''$
【知识点】
度分秒的换算，角的四则运算
【点评】
本题是角的运算基础题型，核心是掌握度分秒的60进制规则，注意加减运算的借位、进位，以及除法运算的单位转换方法，多加练习即可熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查度分秒的四则运算，需牢记度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题思路如下：1.加法：同单位相加，分或秒满60就向上一级进1；2.减法：同单位相减，若某一级单位不够减，向上一级借1当作60再减；3.乘法：度、分分别乘乘数，满60向上一级进1；4.除法：从最高级（度）开始除，余数乘60转为下一级单位，和原有下一级数值相加后继续除，逐级计算到秒即可。
【解析】
(1) 计算$14°25'+42°42'$：
度相加：$14°+42°=56°$，分相加：$25'+42'=67'$
因为$67'=1°7'$，所以$56°+1°7'=57°7'$
(2) 计算$180°-21°17'24''$：
先统一单位：$180°=179°59'60''$
对应相减：$179°-21°=158°$，$59'-17'=42'$，$60''-24''=36''$，得结果$158°42'36''$
(3) 计算$20°21'×6$：
分别相乘：$20°×6=120°$，$21'×6=126'$
因为$126'=2°6'$，所以$120°+2°6'=122°6'$
(4) 计算$17°4'÷5$：
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，转换为分：$2°=120'$，加原有4分得$124'$
再算分：$124'÷5=24'$，余$4'$，转换为秒：$4'=240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$，组合得$3°24'48''$
【答案】
(1)$57°7'$；(2)$158°42'36''$；(3)$122°6'$；(4)$3°24'48''$
【知识点】
度分秒的换算，角的四则运算
【点评】
本题是角的运算基础题型，核心是掌握度分秒的60进制规则，注意加减运算的借位、进位，以及除法运算的单位转换方法，多加练习即可熟练掌握。
【难度系数】
0.7
