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19.实数a在数轴上表示的点A的位置如图6-1-1，点B在原点和点A之间运动，设点B表示的数为b.根据点A,B在数轴上所处的位置化简代数式$\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} + |a + b|$.
答案
19. 提示: $\because a+b＜0,a-b＜0$,
$\therefore$ 原式$=\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
$=b-a-(a+b)=-2a$.
$\therefore$ 原式$=\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
$=b-a-(a+b)=-2a$.
解析
【分析】
首先观察数轴可得出实数a、b的大小关系与正负性：$a ＜ b ＜ 0$；接下来根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=|m|$，先将根号内的多项式整理为完全平方形式，把原式转化为含绝对值的式子；再分别判断两个绝对值内的代数式$a-b$、$a+b$的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$a ＜ b ＜ 0$，
$\therefore a - b ＜ 0$，$a + b ＜ 0$，
$\therefore$ 原式$=\sqrt{(a-b)^2} + |a + b|$
$= |a - b| + |a + b|$
$= (b - a) + [-(a + b)]$
$= b - a - a - b$
$= -2a$
【答案】
$-2a$
【知识点】
数轴与实数大小比较；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础的代数化简类题型，综合考查了数轴的应用、二次根式的性质以及绝对值的化简，解题的关键是结合数轴准确判断出相关代数式的正负，再按照对应性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得出实数a、b的大小关系与正负性：$a ＜ b ＜ 0$；接下来根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=|m|$，先将根号内的多项式整理为完全平方形式，把原式转化为含绝对值的式子；再分别判断两个绝对值内的代数式$a-b$、$a+b$的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$a ＜ b ＜ 0$，
$\therefore a - b ＜ 0$，$a + b ＜ 0$，
$\therefore$ 原式$=\sqrt{(a-b)^2} + |a + b|$
$= |a - b| + |a + b|$
$= (b - a) + [-(a + b)]$
$= b - a - a - b$
$= -2a$
【答案】
$-2a$
【知识点】
数轴与实数大小比较；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础的代数化简类题型，综合考查了数轴的应用、二次根式的性质以及绝对值的化简，解题的关键是结合数轴准确判断出相关代数式的正负，再按照对应性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
20. 如图6-1-2所示，$△ OA_1A_2$，$△ OA_2A_3$，$△ OA_3A_4$，$△ OA_4A_5$，…都是直角三角形，它们的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，…，且$OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = \dots = 1$。请你先分析下列各式，然后解答后续问题：
图6-1-2
$1^2 + 1^2 = 2$， $S_1 = \frac{1}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3$， $S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4$， $S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$(\sqrt{4})^2 + 1^2 = 5$， $S_4 = 1$；
…
（1）请用含有$n$($n$为正整数)的等式表示上述规律.
（2）推算出$OA_{10}$的长.
（3）计算$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$.
图6-1-2
$1^2 + 1^2 = 2$， $S_1 = \frac{1}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3$， $S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4$， $S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$(\sqrt{4})^2 + 1^2 = 5$， $S_4 = 1$；
…
（1）请用含有$n$($n$为正整数)的等式表示上述规律.
（2）推算出$OA_{10}$的长.
（3）计算$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$.
答案
20. (1)$(\sqrt{n})^2+1^2=n+1$, $S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$; (2) $\sqrt{10}$;
(3) 原式$=\frac{1}{4}(1+2+3+\dots+10)=\frac{55}{4}$.
(3) 原式$=\frac{1}{4}(1+2+3+\dots+10)=\frac{55}{4}$.
解析
【分析】
（1）先观察给出的几组式子，对应n=1、2、3、4的情况，分别对比等式左边、右边以及面积S的表达式，即可归纳出含n的通用规律；（2）先根据勾股定理依次计算OA₁、OA₂、OA₃的长度，找到OAₙ的长度规律，再代入n=10即可求出OA₁₀的长；（3）先根据Sₙ的表达式求出Sₙ²的表达式，再将求和式转化为等差数列求和计算即可。
【解析】
（1）观察题中给出的等式：
n=1时，$(\sqrt{1})^2+1^2=1+1$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
n=2时，$(\sqrt{2})^2+1^2=2+1$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
n=3时，$(\sqrt{3})^2+1^2=3+1$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
……
归纳可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2 + 1^2 = n+1}$，$\boldsymbol{S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
（2）根据勾股定理推导OAₙ的长度：
$OA_1=1=\sqrt{1}$，
$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
……
由此可得规律：$OA_n=\sqrt{n}$，当n=10时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
（3）由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$可得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，因此：
$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$
$=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}$
$=\frac{1}{4}×(1+2+3+\dots+10)$
其中$1+2+3+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，代入得原式$=\frac{1}{4}×55=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1)$(\sqrt{n})^2+1^2=n+1$，$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（n为正整数）；(2)$\sqrt{10}$；(3)$\frac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合勾股定理考查学生的观察归纳能力，解题核心是通过已知示例总结出通用的长度、面积规律，再利用规律完成后续计算，整体计算量较小。
【难度系数】
0.7
（1）先观察给出的几组式子，对应n=1、2、3、4的情况，分别对比等式左边、右边以及面积S的表达式，即可归纳出含n的通用规律；（2）先根据勾股定理依次计算OA₁、OA₂、OA₃的长度，找到OAₙ的长度规律，再代入n=10即可求出OA₁₀的长；（3）先根据Sₙ的表达式求出Sₙ²的表达式，再将求和式转化为等差数列求和计算即可。
【解析】
（1）观察题中给出的等式：
n=1时，$(\sqrt{1})^2+1^2=1+1$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
n=2时，$(\sqrt{2})^2+1^2=2+1$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
n=3时，$(\sqrt{3})^2+1^2=3+1$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
……
归纳可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2 + 1^2 = n+1}$，$\boldsymbol{S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
（2）根据勾股定理推导OAₙ的长度：
$OA_1=1=\sqrt{1}$，
$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
……
由此可得规律：$OA_n=\sqrt{n}$，当n=10时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
（3）由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$可得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，因此：
$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$
$=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}$
$=\frac{1}{4}×(1+2+3+\dots+10)$
其中$1+2+3+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，代入得原式$=\frac{1}{4}×55=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1)$(\sqrt{n})^2+1^2=n+1$，$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（n为正整数）；(2)$\sqrt{10}$；(3)$\frac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合勾股定理考查学生的观察归纳能力，解题核心是通过已知示例总结出通用的长度、面积规律，再利用规律完成后续计算，整体计算量较小。
【难度系数】
0.7
