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1.已知$x,y,c$是有理数,则下列说法正确的是（
A.若$x=y$,则$x+c=y-c$
B.若$x=y$,则$xc=yc$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$,则$2x=3y$
B
）A.若$x=y$,则$x+c=y-c$
B.若$x=y$,则$xc=yc$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$,则$2x=3y$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查等式的性质应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再结合除数不能为0的限制，逐一验证每个选项是否符合性质要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，根据等式性质1，只有两边同时加（或减）同一个数时等式才成立，本选项左边加$c$、右边减$c$，不符合等式性质，例如$x=y=2,c=1$时，$2+1≠2-1$，故A错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数$c$，无论$c$取何有理数，$xc=yc$都成立，故B正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$时必须满足$c≠0$，题中未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，故C错误。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，由分母不为0可知$c≠0$，等式两边同时乘$6c$得$3x=2y$，并非$2x=3y$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；除数不为0的运算要求
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是忽略等式两边除以一个数时，这个数不能为0的限制条件，以及计算系数时出错，做题时要注意隐含条件，仔细计算。
【难度系数】
0.7
本题考查等式的性质应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再结合除数不能为0的限制，逐一验证每个选项是否符合性质要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，根据等式性质1，只有两边同时加（或减）同一个数时等式才成立，本选项左边加$c$、右边减$c$，不符合等式性质，例如$x=y=2,c=1$时，$2+1≠2-1$，故A错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数$c$，无论$c$取何有理数，$xc=yc$都成立，故B正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$时必须满足$c≠0$，题中未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，故C错误。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，由分母不为0可知$c≠0$，等式两边同时乘$6c$得$3x=2y$，并非$2x=3y$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；除数不为0的运算要求
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是忽略等式两边除以一个数时，这个数不能为0的限制条件，以及计算系数时出错，做题时要注意隐含条件，仔细计算。
【难度系数】
0.7
2.利用等式的性质，用适当的数填空.
(1)若$2x - 3 = -5$，则$2x =$
(2)若$\frac{x}{4} + 3 = 1$，则$x + 12 =$
(1)若$2x - 3 = -5$，则$2x =$
-2
，$x =$-1
；(2)若$\frac{x}{4} + 3 = 1$，则$x + 12 =$
4
，$x =$-8
.答案
2.(1) -2 -1 (2) 4 -8
解析
【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题需按照等式变形的规则逐步推导：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
第(1)问：要从$2x-3=-5$得到$2x$，需消去左边的$-3$，根据等式性质1两边同时加3即可；得到$2x$的值后，要得到$x$，根据等式性质2两边同时除以2即可。
第(2)问：要从$\frac{x}{4}+3=1$得到$x+12$，观察到左边各项乘4后可消去分母得到$x+12$，因此根据等式性质2两边同时乘4即可；得到$x+12$的值后，要得到$x$，根据等式性质1两边同时减12即可。
【解析】
(1) 对于等式$2x - 3 = -5$：
根据等式的性质1，两边同时加3，得：
$2x - 3 + 3 = -5 + 3$
即$2x = -2$
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得：
$x = -1$
(2) 对于等式$\frac{x}{4} + 3 = 1$：
根据等式的性质2，两边同时乘4，得：
$\frac{x}{4} × 4 + 3 × 4 = 1 × 4$
即$x + 12 = 4$
再根据等式的性质1，两边同时减12，得：
$x = 4 - 12 = -8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解方程的基础题型，核心是熟练掌握等式的两条性质，变形时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免出现漏乘常数项、只对单边变形的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查等式的性质的应用，解题需按照等式变形的规则逐步推导：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
第(1)问：要从$2x-3=-5$得到$2x$，需消去左边的$-3$，根据等式性质1两边同时加3即可；得到$2x$的值后，要得到$x$，根据等式性质2两边同时除以2即可。
第(2)问：要从$\frac{x}{4}+3=1$得到$x+12$，观察到左边各项乘4后可消去分母得到$x+12$，因此根据等式性质2两边同时乘4即可；得到$x+12$的值后，要得到$x$，根据等式性质1两边同时减12即可。
【解析】
(1) 对于等式$2x - 3 = -5$：
根据等式的性质1，两边同时加3，得：
$2x - 3 + 3 = -5 + 3$
即$2x = -2$
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得：
$x = -1$
(2) 对于等式$\frac{x}{4} + 3 = 1$：
根据等式的性质2，两边同时乘4，得：
$\frac{x}{4} × 4 + 3 × 4 = 1 × 4$
即$x + 12 = 4$
再根据等式的性质1，两边同时减12，得：
$x = 4 - 12 = -8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题是解方程的基础题型，核心是熟练掌握等式的两条性质，变形时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免出现漏乘常数项、只对单边变形的错误。
【难度系数】
0.9
【例2】利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1)$x+3=8$; (2)$-5x=30$;
(3)$-\frac{1}{2}x-5=10$.
解:
(1)$x+3=8$; (2)$-5x=30$;
(3)$-\frac{1}{2}x-5=10$.
解:
答案
(1)方程两边减 3,得 $x+3-3=8-3$,于是 $x=5$.
检验:将 $x=5$ 代入方程 $x+3=8$ 的左边,得 $5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=5$ 是方程 $x+3=8$ 的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是 $x=-6$.
检验:将 $x=-6$ 代入方程$-5x=30$ 的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-6$ 是方程$-5x=30$ 的解.
(3)方程两边加 5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是 $x=-30$.
检验:将 $x=-30$ 代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$ 的解.
检验:将 $x=5$ 代入方程 $x+3=8$ 的左边,得 $5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=5$ 是方程 $x+3=8$ 的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是 $x=-6$.
检验:将 $x=-6$ 代入方程$-5x=30$ 的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-6$ 是方程$-5x=30$ 的解.
(3)方程两边加 5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是 $x=-30$.
检验:将 $x=-30$ 代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$ 的解.
解析
【分析】
本题需利用等式的性质解方程，首先明确等式的两个核心性质：性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时，先观察方程的结构：若方程左边有常数项，先用性质1消去常数项，再用性质2将未知数的系数化为1得到方程的解，最后将解代入原方程，检验左右两边的值是否相等即可判断解是否正确。
【解析】
(1)方程两边减 3,得 $x+3-3=8-3$,于是 $x=5$.
检验:将 $x=5$ 代入方程 $x+3=8$ 的左边,得 $5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=5$ 是方程 $x+3=8$ 的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是 $x=-6$.
检验:将 $x=-6$ 代入方程$-5x=30$ 的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-6$ 是方程$-5x=30$ 的解.
(3)方程两边加 5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是 $x=-30$.
检验:将 $x=-30$ 代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$ 的解.
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=-6$；(3)$x=-30$
【知识点】
1.等式的性质
2.解一元一次方程
3.方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的正确运用，解题过程中要注意符号运算的准确性，检验环节需代入原方程计算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题需利用等式的性质解方程，首先明确等式的两个核心性质：性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时，先观察方程的结构：若方程左边有常数项，先用性质1消去常数项，再用性质2将未知数的系数化为1得到方程的解，最后将解代入原方程，检验左右两边的值是否相等即可判断解是否正确。
【解析】
(1)方程两边减 3,得 $x+3-3=8-3$,于是 $x=5$.
检验:将 $x=5$ 代入方程 $x+3=8$ 的左边,得 $5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=5$ 是方程 $x+3=8$ 的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是 $x=-6$.
检验:将 $x=-6$ 代入方程$-5x=30$ 的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-6$ 是方程$-5x=30$ 的解.
(3)方程两边加 5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是 $x=-30$.
检验:将 $x=-30$ 代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以 $x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$ 的解.
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=-6$；(3)$x=-30$
【知识点】
1.等式的性质
2.解一元一次方程
3.方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的正确运用，解题过程中要注意符号运算的准确性，检验环节需代入原方程计算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3.利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1)$2x - 7 = 9$;
(2)$-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$.
(1)$2x - 7 = 9$;
(2)$-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$.
答案
(1) 方程两边加7,得 2x=16.方程两边除以2,得 x=8.检验:把x=8代入方程2x-7=9的左边,得2×8-7=9.方程左、右两边的值相等,所以x=8是方程2x-7=9的解.
(2) 方程两边加2,得$-\dfrac{1}{2}x=5$.方程两边乘-2,得x=-10.检验:把x=-10代入方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的左边,得$-\dfrac{1}{2}×(-10)-2=3$.方程左、右两边的值相等,所以x=-10是方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的解.
(2) 方程两边加2,得$-\dfrac{1}{2}x=5$.方程两边乘-2,得x=-10.检验:把x=-10代入方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的左边,得$-\dfrac{1}{2}×(-10)-2=3$.方程左、右两边的值相等,所以x=-10是方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的解.
解析
【分析】
解这类方程要严格遵循等式的两条基本性质逐步变形：首先用等式的性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），消去方程左侧的常数项，将方程整理为“$ax=b(a≠0)$”的最简形式；再用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立），把未知数$x$的系数化为1，得到初步解；最后将解代入原方程，验证左右两边的值是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加7，得：
$2x-7+7=9+7$，化简为$2x=16$
再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，得：
$2x÷2=16÷2$，即$x=8$
检验：把$x=8$代入原方程$2x-7=9$的左边，得$2×8-7=9$，方程左右两边的值相等，所以$x=8$是原方程的解。
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时加2，得：
$-\dfrac{1}{2}x-2+2=3+2$，化简为$-\dfrac{1}{2}x=5$
再根据等式的性质2，方程两边同时乘$-2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x×(-2)=5×(-2)$，即$x=-10$
检验：把$x=-10$代入原方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的左边，得$-\dfrac{1}{2}×(-10)-2=3$，方程左右两边的值相等，所以$x=-10$是原方程的解。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=-10$
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法、方程的检验
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心要求是理解每一步解方程变形的依据，养成解方程后主动检验的习惯，可以有效避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解这类方程要严格遵循等式的两条基本性质逐步变形：首先用等式的性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），消去方程左侧的常数项，将方程整理为“$ax=b(a≠0)$”的最简形式；再用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立），把未知数$x$的系数化为1，得到初步解；最后将解代入原方程，验证左右两边的值是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加7，得：
$2x-7+7=9+7$，化简为$2x=16$
再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，得：
$2x÷2=16÷2$，即$x=8$
检验：把$x=8$代入原方程$2x-7=9$的左边，得$2×8-7=9$，方程左右两边的值相等，所以$x=8$是原方程的解。
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时加2，得：
$-\dfrac{1}{2}x-2+2=3+2$，化简为$-\dfrac{1}{2}x=5$
再根据等式的性质2，方程两边同时乘$-2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x×(-2)=5×(-2)$，即$x=-10$
检验：把$x=-10$代入原方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的左边，得$-\dfrac{1}{2}×(-10)-2=3$，方程左右两边的值相等，所以$x=-10$是原方程的解。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=-10$
【知识点】
等式的性质、一元一次方程的解法、方程的检验
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心要求是理解每一步解方程变形的依据，养成解方程后主动检验的习惯，可以有效避免计算错误。
【难度系数】
0.8
【例3】已知$3b - 2a - 1 = 3a - 2b$，请利用等式的性质比较$a$与$b$的大小.
解:
解:
答案
b＞a.
解析
【分析】
要比较a和b的大小，可通过等式变形推导出a与b的差或者两者的直接数量关系，判断差的正负即可得出大小关系。解题时利用等式的性质，将含a的项、含b的项分别移到等式两侧，常数项移到另一侧，化简后即可得到a和b的大小关系。
【解析】
已知$3b - 2a - 1 = 3a - 2b$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加$2a + 1$，得：
$3b = 5a - 2b + 1$
2. 再根据等式的性质1，等式两边同时加$2b$，得：
$5b = 5a + 1$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b = a + \frac{1}{5}$
由此可得$b - a = \frac{1}{5} ＞ 0$，因此$b ＞ a$。
【答案】
$\boldsymbol{b＞a}$
【知识点】
等式的性质；代数式大小比较
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，解题核心是通过合理变形得到a、b的数量关系，是等式性质应用的典型基础题，熟练掌握等式变形的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较a和b的大小，可通过等式变形推导出a与b的差或者两者的直接数量关系，判断差的正负即可得出大小关系。解题时利用等式的性质，将含a的项、含b的项分别移到等式两侧，常数项移到另一侧，化简后即可得到a和b的大小关系。
【解析】
已知$3b - 2a - 1 = 3a - 2b$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加$2a + 1$，得：
$3b = 5a - 2b + 1$
2. 再根据等式的性质1，等式两边同时加$2b$，得：
$5b = 5a + 1$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b = a + \frac{1}{5}$
由此可得$b - a = \frac{1}{5} ＞ 0$，因此$b ＞ a$。
【答案】
$\boldsymbol{b＞a}$
【知识点】
等式的性质；代数式大小比较
【点评】
本题考查等式性质的灵活运用，解题核心是通过合理变形得到a、b的数量关系，是等式性质应用的典型基础题，熟练掌握等式变形的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【例4】已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$，求$x^2 - x + 1$的值.
解:
解:
答案
3.
解析
【分析】
首先观察已知等式和待求代数式的结构特征，发现已知式中的$5x^2 - 5x$恰好是待求式中$x^2 - x$的5倍，因此不需要直接求解x的值，只需利用等式的性质对已知等式变形，求出$x^2 - x$的值，再整体代入待求式计算即可。具体思路为：第一步，对已知等式移项、合并同类项得到$5x^2 - 5x$的值；第二步，等式两边同时除以5得到$x^2 - x$的值；第三步，将$x^2 - x$的值代入待求式算出结果。
【解析】
解：已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$，
移项，将常数项移到等式右侧，得：
$5x^2 - 5x = 7 + 3$
合并同类项，得：
$5x^2 - 5x = 10$
等式两边同时除以5，得：
$x^2 - x = 2$
将$x^2 - x = 2$代入$x^2 - x + 1$中，得：
原式$= 2 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代入的解题思路，避免求解未知数的复杂运算，通过观察式子结构找到已知和待求的关联即可快速解题，熟练掌握该方法能大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式和待求代数式的结构特征，发现已知式中的$5x^2 - 5x$恰好是待求式中$x^2 - x$的5倍，因此不需要直接求解x的值，只需利用等式的性质对已知等式变形，求出$x^2 - x$的值，再整体代入待求式计算即可。具体思路为：第一步，对已知等式移项、合并同类项得到$5x^2 - 5x$的值；第二步，等式两边同时除以5得到$x^2 - x$的值；第三步，将$x^2 - x$的值代入待求式算出结果。
【解析】
解：已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$，
移项，将常数项移到等式右侧，得：
$5x^2 - 5x = 7 + 3$
合并同类项，得：
$5x^2 - 5x = 10$
等式两边同时除以5，得：
$x^2 - x = 2$
将$x^2 - x = 2$代入$x^2 - x + 1$中，得：
原式$= 2 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代入的解题思路，避免求解未知数的复杂运算，通过观察式子结构找到已知和待求的关联即可快速解题，熟练掌握该方法能大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8
