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学习任务一 等式的性质
从具体到抽象
|情境创设|
已知等式 $3+2=5$.
问题1:等式 $3+2=5$ 的两边分别加4,等号两边的结果分别是多少?还相等吗?
问题2:等式 $3+2=5$ 的两边分别减4呢?把4换成其他数试一试.
问题3:等式 $3+2=5$ 的两边分别乘4,等号两边的结果分别是多少?还相等吗?
问题4:等式 $3+2=5$ 的两边分别除以$-5$呢?换几个数试一试.
|探究归纳|
等式的性质1:等式两边加(或减)
用式子表示:如果 $a = b$,那么 $a \pm c = b$
等式的性质2:等式两边乘
用式子表示:如果 $a = b$,那么 $ac =$
如果 $a = b, c ≠ 0$,那么 $\frac{a}{c} =$
从具体到抽象
|情境创设|
已知等式 $3+2=5$.
问题1:等式 $3+2=5$ 的两边分别加4,等号两边的结果分别是多少?还相等吗?
问题2:等式 $3+2=5$ 的两边分别减4呢?把4换成其他数试一试.
问题3:等式 $3+2=5$ 的两边分别乘4,等号两边的结果分别是多少?还相等吗?
问题4:等式 $3+2=5$ 的两边分别除以$-5$呢?换几个数试一试.
|探究归纳|
等式的性质1:等式两边加(或减)
同一个数
(或式子),结果仍相等
.用式子表示:如果 $a = b$,那么 $a \pm c = b$
$\pm c$
.等式的性质2:等式两边乘
同一个数
,或除以同一个不为0的数
,结果仍相等.用式子表示:如果 $a = b$,那么 $ac =$
$bc$
;如果 $a = b, c ≠ 0$,那么 $\frac{a}{c} =$
$\frac{b}{c}$
.答案
1. 左边=9，右边=9，两边的结果仍相等.
2. 两边减4，结果仍相等；把4换成其他数，结果也相等.
3. 左边=20，右边=20，两边的结果仍相等.
4. 两边除以-5，结果都等于-1，即两边的结果仍然相等；换其他不为0的数，结果也相等.
2. 两边减4，结果仍相等；把4换成其他数，结果也相等.
3. 左边=20，右边=20，两边的结果仍相等.
4. 两边除以-5，结果都等于-1，即两边的结果仍然相等；换其他不为0的数，结果也相等.
解析
【分析】
本题通过对具体等式做相同的加、减、乘、除运算，引导我们观察运算后等式两边的大小关系，进而归纳总结等式的通用性质。解题时先分别计算每个问题中等式左右两边完成指定运算后的结果，对比判断是否相等，再通过多个实例的共性规律提炼出通用的等式性质即可。
【解析】
问题1求解：
原等式左边为$3+2=5$，加4后得：$(3+2)+4=9$；
原等式右边为$5$，加4后得：$5+4=9$；
两边结果均为9，仍然相等。
问题2求解：
原等式左边减4得：$(3+2)-4=1$；
原等式右边减4得：$5-4=1$；
两边结果相等；将4换成其他任意数，分别计算两边运算后的结果，仍然相等。
问题3求解：
原等式左边乘4得：$(3+2)×4=20$；
原等式右边乘4得：$5×4=20$；
两边结果均为20，仍然相等。
问题4求解：
原等式左边除以$-5$得：$(3+2)÷(-5)=-1$；
原等式右边除以$-5$得：$5÷(-5)=-1$；
两边结果均为-1，仍然相等；换成其他不为0的数做相同运算，两边结果仍然相等。
探究归纳填空：
等式的性质1：等式两边加(或减) 同一个数 (或式子)，结果 仍相等；如果 $a = b$，那么 $a \pm c = b\boldsymbol{\pm c}$。
等式的性质2：等式两边乘 同一个数，或除以 同一个不为0的数，结果仍相等；如果 $a = b$，那么 $ac = \boldsymbol{bc}$；如果 $a = b, c ≠ 0$，那么 $\frac{a}{c} = \boldsymbol{\frac{b}{c}}$。
【答案】
1. 左边=9，右边=9，两边的结果仍相等。
2. 两边减4，结果仍相等；把4换成其他数，结果也相等。
3. 左边=20，右边=20，两边的结果仍相等。
4. 两边除以$-5$，结果都等于$-1$，即两边的结果仍然相等；换其他不为0的数，结果也相等。
探究归纳答案依次为：同一个数；仍相等；$\pm c$；同一个数；同一个不为0的数；$bc$；$\frac{b}{c}$
【知识点】
1. 等式的性质1
2. 等式的性质2
【点评】
本题依托具体数值运算实例推导等式性质，符合从具体到抽象的认知规律，能帮助我们深刻理解等式性质的推导逻辑，为后续学习解方程等内容夯实基础。
【难度系数】
0.9
本题通过对具体等式做相同的加、减、乘、除运算，引导我们观察运算后等式两边的大小关系，进而归纳总结等式的通用性质。解题时先分别计算每个问题中等式左右两边完成指定运算后的结果，对比判断是否相等，再通过多个实例的共性规律提炼出通用的等式性质即可。
【解析】
问题1求解：
原等式左边为$3+2=5$，加4后得：$(3+2)+4=9$；
原等式右边为$5$，加4后得：$5+4=9$；
两边结果均为9，仍然相等。
问题2求解：
原等式左边减4得：$(3+2)-4=1$；
原等式右边减4得：$5-4=1$；
两边结果相等；将4换成其他任意数，分别计算两边运算后的结果，仍然相等。
问题3求解：
原等式左边乘4得：$(3+2)×4=20$；
原等式右边乘4得：$5×4=20$；
两边结果均为20，仍然相等。
问题4求解：
原等式左边除以$-5$得：$(3+2)÷(-5)=-1$；
原等式右边除以$-5$得：$5÷(-5)=-1$；
两边结果均为-1，仍然相等；换成其他不为0的数做相同运算，两边结果仍然相等。
探究归纳填空：
等式的性质1：等式两边加(或减) 同一个数 (或式子)，结果 仍相等；如果 $a = b$，那么 $a \pm c = b\boldsymbol{\pm c}$。
等式的性质2：等式两边乘 同一个数，或除以 同一个不为0的数，结果仍相等；如果 $a = b$，那么 $ac = \boldsymbol{bc}$；如果 $a = b, c ≠ 0$，那么 $\frac{a}{c} = \boldsymbol{\frac{b}{c}}$。
【答案】
1. 左边=9，右边=9，两边的结果仍相等。
2. 两边减4，结果仍相等；把4换成其他数，结果也相等。
3. 左边=20，右边=20，两边的结果仍相等。
4. 两边除以$-5$，结果都等于$-1$，即两边的结果仍然相等；换其他不为0的数，结果也相等。
探究归纳答案依次为：同一个数；仍相等；$\pm c$；同一个数；同一个不为0的数；$bc$；$\frac{b}{c}$
【知识点】
1. 等式的性质1
2. 等式的性质2
【点评】
本题依托具体数值运算实例推导等式性质，符合从具体到抽象的认知规律，能帮助我们深刻理解等式性质的推导逻辑，为后续学习解方程等内容夯实基础。
【难度系数】
0.9
学习任务二 利用等式的性质解简单的一元一次方程
解以$x$为未知数的方程，就是把方程逐步转化为
解以$x$为未知数的方程，就是把方程逐步转化为
$x=m(常数)$
的形式.转化的重要依据是等式的性质
.答案
1. x=m(常数)
2. 等式的性质
2. 等式的性质
解析
【分析】
首先思考解一元一次方程的核心目的：我们需要求出未知数x的具体取值，因此最终要将方程变形为“未知数单独在等号一侧，另一侧是固定常数”的形式，也就是x=m（m为常数）的形式。再思考变形过程的依据：对等式两边进行加、减、乘、除操作时，必须保证等式仍然成立，这一规则就是等式的性质，因此转化的依据是等式的性质。
【解析】
解以x为未知数的方程，最终目的是得到x的确定值，因此需要逐步转化为x=m（常数）的形式；而转化过程中所有变形都要保证等式始终成立，对应的重要依据是等式的性质。
【答案】
x=m(常数)；等式的性质
【知识点】
解方程的本质、等式的性质
【点评】
本题是方程求解的基础概念题，重点考查解方程的核心目标和变形依据，掌握好该部分内容是后续求解各类复杂方程的基础。
【难度系数】
0.9
首先思考解一元一次方程的核心目的：我们需要求出未知数x的具体取值，因此最终要将方程变形为“未知数单独在等号一侧，另一侧是固定常数”的形式，也就是x=m（m为常数）的形式。再思考变形过程的依据：对等式两边进行加、减、乘、除操作时，必须保证等式仍然成立，这一规则就是等式的性质，因此转化的依据是等式的性质。
【解析】
解以x为未知数的方程，最终目的是得到x的确定值，因此需要逐步转化为x=m（常数）的形式；而转化过程中所有变形都要保证等式始终成立，对应的重要依据是等式的性质。
【答案】
x=m(常数)；等式的性质
【知识点】
解方程的本质、等式的性质
【点评】
本题是方程求解的基础概念题，重点考查解方程的核心目标和变形依据，掌握好该部分内容是后续求解各类复杂方程的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】下列说法错误的是（
A.若$a=b$,则$a+c=b+c$
B.若$a=b$,则$a-c=b-c$
C.若$ac=bc$,则$a=b$
D.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$a=b$
【规律方法】
利用等式的性质2进行变形时，一定要注意除数不能为0.若等式两边除以一个含字母的式子时，则这个式子的值不能为0.
C
）A.若$a=b$,则$a+c=b+c$
B.若$a=b$,则$a-c=b-c$
C.若$ac=bc$,则$a=b$
D.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$a=b$
【规律方法】
利用等式的性质2进行变形时，一定要注意除数不能为0.若等式两边除以一个含字母的式子时，则这个式子的值不能为0.
答案
C
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时需先回忆等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项是否符合性质要求，重点关注等式两边同时除以含字母的式子时，要确保该式子不为0。首先判断加减变形的选项，再判断乘除变形的选项，注意乘除时的限制条件，找出错误的说法即可。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
选项A：若$a=b$，两边同时加$c$，根据性质1可得$a+c=b+c$，说法正确，不符合题意；
选项B：若$a=b$，两边同时减$c$，根据性质1可得$a-c=b-c$，说法正确，不符合题意；
选项C：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立，此时不能推出$a=b$，说法错误，符合题意；
选项D：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，分数有意义的前提是分母$c\ne0$，两边同时乘$c$，根据性质2可得$a=b$，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质；除数不为0的限制
【点评】
这类题的易错点是忽略等式两边除以含字母的式子时，该式子不能为0的要求，做题时要注意，若等式变形涉及除法，需先确认除数不为0，若出现分数形式的等式，可直接默认分母不为0。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题时需先回忆等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项是否符合性质要求，重点关注等式两边同时除以含字母的式子时，要确保该式子不为0。首先判断加减变形的选项，再判断乘除变形的选项，注意乘除时的限制条件，找出错误的说法即可。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
选项A：若$a=b$，两边同时加$c$，根据性质1可得$a+c=b+c$，说法正确，不符合题意；
选项B：若$a=b$，两边同时减$c$，根据性质1可得$a-c=b-c$，说法正确，不符合题意；
选项C：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立，此时不能推出$a=b$，说法错误，符合题意；
选项D：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，分数有意义的前提是分母$c\ne0$，两边同时乘$c$，根据性质2可得$a=b$，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质；除数不为0的限制
【点评】
这类题的易错点是忽略等式两边除以含字母的式子时，该式子不能为0的要求，做题时要注意，若等式变形涉及除法，需先确认除数不为0，若出现分数形式的等式，可直接默认分母不为0。
【难度系数】
0.7
