典例 分解因式：
(1)$x^2(x - y) + 2x(y - x) - (y - x)$；
(2)$(y^2 - 1)^2 - 6(y^2 - 1) + 9$；
(3)$25a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$。
典例解析

1. 解 (1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
$=x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x^2-2x+1)$
$=(x-y)(x-1)^2.$
2. $(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
$=(y^2-1-3)^2$
$=(y^2 -4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2.$
3. $25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2 -4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b).$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤求解：①先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式，若出现互为相反数的因式，可先统一符号转化为相同因式；②提取公因式后，观察剩余部分符合哪类乘法公式的特征，套用对应公式继续分解；③最后检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
针对三个小题的具体思路：
(1) 先将式子中的(y-x)统一变形为-(x-y)，即可找到公因式(x-y)，提取后剩余的x²-2x+1符合完全平方公式特征，继续分解即可；
(2) 将(y²-1)看作一个整体，原式符合完全平方公式a²-2ab+b²的结构，先套用完全平方公式分解，得到的(y²-4)符合平方差公式特征，需继续分解；
(3) 先将(y-x)变形为-(x-y)，提取公因式(x-y)后，剩余的25a²-4b²符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) $x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
$=x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x^2-2x+1)$
$=(x-y)(x-1)^2$
(2) $(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
$=(y^2-1-3)^2$
$=(y^2 -4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2$
(3) $25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2 -4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)$
【答案】
(1) $\boxed{(x-y)(x-1)^2}$
(2) $\boxed{(y+2)^2(y-2)^2}$
(3) $\boxed{(x-y)(5a+2b)(5a-2b)}$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，解题时要先梳理式子结构，灵活运用整体思想简化运算，牢记因式分解要进行到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

典例
解 (1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
$=x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
$=(x-y)(x^2-2x+1)$
$=(x-y)(x-1)^2.$
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
$=(y^2-1-3)^2$
规律方法 多项式的形式多种多样，因此因式分解的方法也有很多种，一般可遵循下列步骤：

(2) $=(y^2 -4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2.$
(3) $25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2 -4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b).$

【分析】
解决因式分解问题要严格遵循“一提二套三检查”的思路：①第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有先提取公因式，遇到互为相反数的因式时（如$y-x$和$x-y$），要先统一因式形式，注意符号变化；②提取公因式后，根据剩余多项式的项数选择对应公式：三项式优先判断是否符合完全平方公式的特征，二项式优先判断是否符合平方差公式的特征，套用对应公式进一步分解；③最后检查每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止，保证分解彻底。
【解析】
(1) 分解$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$
先将$y-x$变形为$-(x-y)$，原式改写为：
$x^2(x-y)-2x(x-y)+(x-y)$
提取公因式$(x-y)$得：
$(x-y)(x^2-2x+1)$
剩余因式$x^2-2x+1$符合完全平方公式特征，继续分解：
$=(x-y)(x-1)^2$，经检查无法再分解。
(2) 分解$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$
将$y^2-1$看作整体，原式为三项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=y^2-1,b=3$），套用公式得：
$(y^2-1-3)^2=(y^2-4)^2$
剩余因式$y^2-4$符合平方差公式特征，继续分解：
$=(y+2)^2(y-2)^2$，经检查无法再分解。
(3) 分解$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
先将$y-x$变形为$-(x-y)$，原式改写为：
$25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
提取公因式$(x-y)$得：
$(x-y)(25a^2-4b^2)$
剩余因式$25a^2-4b^2$符合平方差公式特征，继续分解：
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)$，经检查无法再分解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)(x-1)^2}$
(2) $\boldsymbol{(y+2)^2(y-2)^2}$
(3) $\boldsymbol{(x-y)(5a+2b)(5a-2b)}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这是因式分解的基础典型题，核心要掌握“一提二套三检查”的分解步骤，尤其要注意互为相反数的因式的符号变换，以及分解后要核验是否彻底，避免出现未分解完全的错误。
【难度系数】
0.7

(1)$a^4 -16$；
(2)$(x^2 -2x)^2 +2(x^2 -2x)+1$；
$=(y^2 -4)^2$
$=(y+2)^2(y-2)^2$.
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$
$=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(25a^2 -4b^2)$
$=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)$.

1. 原式=$(a^2 +4) · (a^2 -4)=(a^2 +4)(a+2)(a-2).$
2. 原式=$(x^2 -2x +1)^2$
$=[(x-1)^2]^2$
$=(x-1)^4.$

【分析】
这是一组因式分解的题目，解题遵循“一提二套三查”的步骤：①先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察剩余式子的结构，判断能否套用平方差公式或完全平方公式分解；③最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
第(1)题：$a^4-16$可看作$(a^2)^2$与$4^2$的差，符合平方差公式特征，第一次分解后得到的$a^2-4$仍满足平方差公式，需继续分解。
第(2)题：把$x^2-2x$看作一个整体，原式符合完全平方和公式特征，第一次分解后得到的$x^2-2x+1$仍为完全平方式，需继续化简。
第(3)题：先将$y-x$变形为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后，剩余的$25a^2-4b^2$符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分步分解：
$\begin{aligned}a^4 -16&=(a^2)^2 - 4^2\\&=(a^2 +4)(a^2 -4)\\&=(a^2 +4)(a+2)(a-2)\end{aligned}$
(2) 运用整体思想，先套完全平方公式再化简：
$\begin{aligned}(x^2 -2x)^2 +2(x^2 -2x)+1&=(x^2 -2x +1)^2\\&=[(x-1)^2]^2\\&=(x-1)^4\end{aligned}$
(3) 先统一公因式再分步分解：
$\begin{aligned}25a^2(x-y)+4b^2(y-x)&=25a^2(x-y)-4b^2(x-y)\\&=(x-y)(25a^2 -4b^2)\\&=(x-y)(5a+2b)(5a-2b)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(a^2 +4)(a+2)(a-2)}$
(2) $\boxed{(x-1)^4}$
(3) $\boxed{(x-y)(5a+2b)(5a-2b)}$
【知识点】
因式分解的步骤，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本组题是因式分解的基础题型，解题时要注意观察式子结构，灵活运用整体思想简化运算，同时要牢记因式分解需进行到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8