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1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
A.$a^2+2a-1$
B.$x^2-xy+y^2$
C.$a^2-2a+\frac{1}{4}$
D.$a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$
D
).A.$a^2+2a-1$
B.$x^2-xy+y^2$
C.$a^2-2a+\frac{1}{4}$
D.$a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式的结构特征：形如$m^2\pm2mn+n^2$的三项式，满足两个平方项符号相同，中间项是两个底数乘积的2倍，就可以用完全平方公式分解为$(m\pm n)^2$。解题时我们只需逐个验证每个选项是否符合该结构即可。
【解析】
完全平方公式的结构为：两数的平方和加（或减）两数乘积的2倍，即$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$。我们逐一分析选项：
A. $a^2+2a-1$：两个平方项分别为$a^2$和$-1$，其中$-1$为负数，不符合平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
B. $x^2-xy+y^2$：两个平方项为$x^2$和$y^2$，对应两数乘积的2倍应为$\pm2xy$，而中间项是$-xy$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
C. $a^2-2a+\frac{1}{4}$：两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2})^2$，对应两数乘积的2倍应为$\pm 2× a× \frac{1}{2}=\pm a$，而中间项是$-2a$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
D. $a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$：两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2}b)^2$，两数乘积的2倍为$-2× a× \frac{1}{2}b=-ab$，和中间项完全一致，符合完全平方公式结构，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题时牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的口诀逐个验证即可，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式的结构特征：形如$m^2\pm2mn+n^2$的三项式，满足两个平方项符号相同，中间项是两个底数乘积的2倍，就可以用完全平方公式分解为$(m\pm n)^2$。解题时我们只需逐个验证每个选项是否符合该结构即可。
【解析】
完全平方公式的结构为：两数的平方和加（或减）两数乘积的2倍，即$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$。我们逐一分析选项：
A. $a^2+2a-1$：两个平方项分别为$a^2$和$-1$，其中$-1$为负数，不符合平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
B. $x^2-xy+y^2$：两个平方项为$x^2$和$y^2$，对应两数乘积的2倍应为$\pm2xy$，而中间项是$-xy$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
C. $a^2-2a+\frac{1}{4}$：两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2})^2$，对应两数乘积的2倍应为$\pm 2× a× \frac{1}{2}=\pm a$，而中间项是$-2a$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
D. $a^2-ab+\frac{1}{4}b^2$：两个平方项为$a^2$和$(\frac{1}{2}b)^2$，两数乘积的2倍为$-2× a× \frac{1}{2}b=-ab$，和中间项完全一致，符合完全平方公式结构，可分解为$(a-\frac{1}{2}b)^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题时牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的口诀逐个验证即可，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 若代数式 $x^2 + (m + 1)x + 4$ 是完全平方式，则m的值是(
A.3
B.-3
C.-5
D.3或-5
D
).A.3
B.-3
C.-5
D.3或-5
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先确定给定代数式中对应$a^2$和$b^2$的项：这里$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应$b^2$，即$b=\pm2$。再根据完全平方式的中间项等于$\pm2ab$，列出关于$m$的方程求解即可，注意要考虑两种完全平方式的情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 代数式$x^2 + (m + 1)x + 4$是完全平方式
根据完全平方公式的两种形式，该式可写为$(x+2)^2$或$(x-2)^2$
① 当式为$(x+2)^2$时，展开得$x^2+4x+4$，对应中间项系数相等：
$m+1=4$，解得$m=3$
② 当式为$(x-2)^2$时，展开得$x^2-4x+4$，对应中间项系数相等：
$m+1=-4$，解得$m=-5$
综上，$m$的值为3或-5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是容易忽略"差的平方"的情况，只计算出$m=3$而漏解，做题时要注意分类讨论两种完全平方的形式。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先确定给定代数式中对应$a^2$和$b^2$的项：这里$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应$b^2$，即$b=\pm2$。再根据完全平方式的中间项等于$\pm2ab$，列出关于$m$的方程求解即可，注意要考虑两种完全平方式的情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 代数式$x^2 + (m + 1)x + 4$是完全平方式
根据完全平方公式的两种形式，该式可写为$(x+2)^2$或$(x-2)^2$
① 当式为$(x+2)^2$时，展开得$x^2+4x+4$，对应中间项系数相等：
$m+1=4$，解得$m=3$
② 当式为$(x-2)^2$时，展开得$x^2-4x+4$，对应中间项系数相等：
$m+1=-4$，解得$m=-5$
综上，$m$的值为3或-5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是容易忽略"差的平方"的情况，只计算出$m=3$而漏解，做题时要注意分类讨论两种完全平方的形式。
【难度系数】
0.7
3. 分解因式：$x^2 - 4x + 4 =$
$(x-2)^2$
.答案
3. $(x-2)^2$
解析
【分析】
要对该三项式进行因式分解，首先观察式子的结构特征：式子共3项，第一项$x^2$是x的平方，第三项4是2的平方，中间项$-4x$恰好是x与2乘积的2倍的相反数，完全匹配完全平方差公式的结构，因此可以直接套用完全平方差公式完成因式分解，只需对应公式中的a、b取值即可。
【解析】
解：对原式变形可得：
$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=2$，代入得：
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
【答案】
$(x-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是快速解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要对该三项式进行因式分解，首先观察式子的结构特征：式子共3项，第一项$x^2$是x的平方，第三项4是2的平方，中间项$-4x$恰好是x与2乘积的2倍的相反数，完全匹配完全平方差公式的结构，因此可以直接套用完全平方差公式完成因式分解，只需对应公式中的a、b取值即可。
【解析】
解：对原式变形可得：
$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=2$，代入得：
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
【答案】
$(x-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是快速解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1) $-x^2 -4y^2 +4xy$；
(2) $\frac{1}{4} + (x+1)(x+2)$；
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$。
(1) $-x^2 -4y^2 +4xy$；
(2) $\frac{1}{4} + (x+1)(x+2)$；
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36$。
答案
4. 解 (1) $-x^2 -4y^2 +4xy$
$=-(x^2-4xy+4y^2)$
$=-(x-2y)^2$.
(2) $\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=x^2+3x+2+\frac{1}{4}$
$=x^2+3x+\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2$.
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2$.
$=-(x^2-4xy+4y^2)$
$=-(x-2y)^2$.
(2) $\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$
$=x^2+3x+2+\frac{1}{4}$
$=x^2+3x+\frac{9}{4}$
$=(x+\frac{3}{2})^2$.
(3) $(a-2b)^2 -12(a-2b)+36=(a-2b-6)^2$.
解析
【分析】
这三道因式分解题均围绕完全平方公式展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：先观察式子发现各项可提取公因式-1，提取后将括号内的式子整理为标准二次三项式，再判断是否符合完全平方公式的结构特征（首平方、尾平方，积的2倍在中央）进行分解；
2. 第(2)题：式子中含有整式乘法，先利用多项式乘多项式法则展开括号，合并同类项得到二次三项式，再对照完全平方公式分解即可；
3. 第(3)题：将$(a-2b)$看作一个整体，发现式子符合“整体的平方减2乘整体乘6加6的平方”的完全平方差结构，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取负号，将原式变形为括号内各项为正的形式：
$-x^2 -4y^2 +4xy=-(x^2-4xy+4y^2)$
括号内$x^2-4xy+4y^2=x^2-2· x· 2y+(2y)^2$，符合完全平方差公式，因此：
$=-(x-2y)^2$
(2) 先展开整式乘法部分：
$(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$
代入原式合并常数项：
$\frac{1}{4} + (x+1)(x+2)=x^2+3x+2+\frac{1}{4}=x^2+3x+\frac{9}{4}$
其中$\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2$，$3x=2· x· \frac{3}{2}$，符合完全平方和公式，因此：
$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 把$(a-2b)$看作整体，原式可写为：
$(a-2b)^2 -2· (a-2b)· 6 +6^2$
符合完全平方差公式，因此：
$=(a-2b-6)^2$
【答案】
(1) $-(x-2y)^2$；(2) $(x+\frac{3}{2})^2$；(3) $(a-2b-6)^2$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式；2. 完全平方公式分解因式；3. 整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查完全平方公式的灵活应用，解题时要注意先梳理式子结构，有公因式先提公因式，含有运算的先化简整理，复杂式子可通过整体思想简化判断，要格外注意公式中各项的符号对应，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.75
这三道因式分解题均围绕完全平方公式展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：先观察式子发现各项可提取公因式-1，提取后将括号内的式子整理为标准二次三项式，再判断是否符合完全平方公式的结构特征（首平方、尾平方，积的2倍在中央）进行分解；
2. 第(2)题：式子中含有整式乘法，先利用多项式乘多项式法则展开括号，合并同类项得到二次三项式，再对照完全平方公式分解即可；
3. 第(3)题：将$(a-2b)$看作一个整体，发现式子符合“整体的平方减2乘整体乘6加6的平方”的完全平方差结构，直接套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取负号，将原式变形为括号内各项为正的形式：
$-x^2 -4y^2 +4xy=-(x^2-4xy+4y^2)$
括号内$x^2-4xy+4y^2=x^2-2· x· 2y+(2y)^2$，符合完全平方差公式，因此：
$=-(x-2y)^2$
(2) 先展开整式乘法部分：
$(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$
代入原式合并常数项：
$\frac{1}{4} + (x+1)(x+2)=x^2+3x+2+\frac{1}{4}=x^2+3x+\frac{9}{4}$
其中$\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2$，$3x=2· x· \frac{3}{2}$，符合完全平方和公式，因此：
$=(x+\frac{3}{2})^2$
(3) 把$(a-2b)$看作整体，原式可写为：
$(a-2b)^2 -2· (a-2b)· 6 +6^2$
符合完全平方差公式，因此：
$=(a-2b-6)^2$
【答案】
(1) $-(x-2y)^2$；(2) $(x+\frac{3}{2})^2$；(3) $(a-2b-6)^2$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式；2. 完全平方公式分解因式；3. 整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查完全平方公式的灵活应用，解题时要注意先梳理式子结构，有公因式先提公因式，含有运算的先化简整理，复杂式子可通过整体思想简化判断，要格外注意公式中各项的符号对应，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.75
5.若$(x^2 + y^2)^4 - 6(x^2 + y^2)^2 + 9 = 0$，则$x^2 + y^2=$
$\sqrt{3}$
。答案
5. $\sqrt{3}$ 解析 $\because (x^2+y^2)^4-6(x^2+y^2)^2+9=0$,
$\therefore [(x^2+y^2)^2-3]^2=0$,
$\therefore (x^2+y^2)^2-3=0$,
即$(x^2+y^2)^2=3$,又$x^2+y^2≥0$,
$\therefore x^2+y^2=\sqrt{3}$.
$\therefore [(x^2+y^2)^2-3]^2=0$,
$\therefore (x^2+y^2)^2-3=0$,
即$(x^2+y^2)^2=3$,又$x^2+y^2≥0$,
$\therefore x^2+y^2=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
观察方程结构可发现，方程中仅出现$(x^2+y^2)$的偶次幂，可先将$(x^2+y^2)^2$看作一个整体，利用完全平方公式对左侧多项式因式分解后再求解。另外要注意$x^2$和$y^2$都是非负数，因此$x^2+y^2$的结果一定是非负的，最后要舍去不符合条件的负解。
【解析】
解：$\because (x^2+y^2)^4 - 6(x^2+y^2)^2 + 9 = 0$
将$(x^2+y^2)^2$看作整体，由完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$[(x^2+y^2)^2 - 3]^2 = 0$
$\therefore (x^2+y^2)^2 - 3 = 0$
即$(x^2+y^2)^2 = 3$
又$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2+y^2≥0$
对$(x^2+y^2)^2=3$开平方，取非负根，得$x^2+y^2=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，换元法
【点评】
本题解题核心是利用整体思想将$(x^2+y^2)^2$看作一个整体进行因式分解，易错点是忽略$x^2+y^2$的非负性，错误得出$\pm\sqrt{3}$两个解，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.6
观察方程结构可发现，方程中仅出现$(x^2+y^2)$的偶次幂，可先将$(x^2+y^2)^2$看作一个整体，利用完全平方公式对左侧多项式因式分解后再求解。另外要注意$x^2$和$y^2$都是非负数，因此$x^2+y^2$的结果一定是非负的，最后要舍去不符合条件的负解。
【解析】
解：$\because (x^2+y^2)^4 - 6(x^2+y^2)^2 + 9 = 0$
将$(x^2+y^2)^2$看作整体，由完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$[(x^2+y^2)^2 - 3]^2 = 0$
$\therefore (x^2+y^2)^2 - 3 = 0$
即$(x^2+y^2)^2 = 3$
又$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2+y^2≥0$
对$(x^2+y^2)^2=3$开平方，取非负根，得$x^2+y^2=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，换元法
【点评】
本题解题核心是利用整体思想将$(x^2+y^2)^2$看作一个整体进行因式分解，易错点是忽略$x^2+y^2$的非负性，错误得出$\pm\sqrt{3}$两个解，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.6
6. 利用因式分解计算：
$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2.$
$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2.$
答案
6. 解 $38.9^2-2×38.9×48.9+48.9^2$
$=(38.9-48.9)^2$
$=100$.
$=(38.9-48.9)^2$
$=100$.
解析
【分析】
首先观察待计算式子的结构特征：式子共有三项，第一项是38.9的平方，第三项是48.9的平方，第二项是38.9与48.9乘积的2倍且符号为负，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构。因此可以逆用完全平方差公式先对式子因式分解，再计算结果，无需分别计算两个数的平方，能大幅简化运算、降低错误率。
【解析】
解：$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2$
$=(38.9 - 48.9)^2$
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
$\boxed{100}$
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题核心是准确识别完全平方公式的结构特征，匹配公式中对应的$a$、$b$项，能避免直接计算高次幂的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
首先观察待计算式子的结构特征：式子共有三项，第一项是38.9的平方，第三项是48.9的平方，第二项是38.9与48.9乘积的2倍且符号为负，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构。因此可以逆用完全平方差公式先对式子因式分解，再计算结果，无需分别计算两个数的平方，能大幅简化运算、降低错误率。
【解析】
解：$38.9^2 - 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9^2$
$=(38.9 - 48.9)^2$
$=(-10)^2$
$=100$
【答案】
$\boxed{100}$
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题核心是准确识别完全平方公式的结构特征，匹配公式中对应的$a$、$b$项，能避免直接计算高次幂的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
7. 对于形如 $x^2 - 2ax + a^2$ 的二次三项式，可以用公式法将它分解成 $(x - a)^2$ 的形式. 但对于二次三项式 $x^2 - 2ax - 3a^2$，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式 $x^2 - 2ax - 3a^2$ 中先加上一项 $a^2$，使它与 $x^2 - 2ax$ 的和成为一个完全平方式，再减去 $a^2$，整个式子的值不变，于是有 $x^2 - 2ax - 3a^2 = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 - 3a^2 = (x - a)^2 - 4a^2 = (x - 3a)(x + a)$. 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去添加的项，使整个式子的值不变的方法称为配方法. 利用以上配方法解决下列问题：
(1) 分解因式：$a^2 - 4a - 5$；
(2) 已知 $m$ 是实数，求二次三项式 $m^2 + 6m + 1$ 的最小值；
(3) 已知 $x$ 是实数，试比较 $x^2 - 5x + 5$ 与 $-x^2 + 3x - 4$ 的大小，并说明理由.
(1) 分解因式：$a^2 - 4a - 5$；
(2) 已知 $m$ 是实数，求二次三项式 $m^2 + 6m + 1$ 的最小值；
(3) 已知 $x$ 是实数，试比较 $x^2 - 5x + 5$ 与 $-x^2 + 3x - 4$ 的大小，并说明理由.
答案
7. 解 (1) $a^2-4a-5=a^2-4a+4-5-4=(a-2)^2-9=(a-2+3)(a-2-3)=(a+1)(a-5)$.
(2) $m^2+6m+1=m^2+6m+9-9+1=(m+3)^2-8$,因为$(m+3)^2≥0$,所以当$(m+3)^2=0$时,$m^2+6m+1$有最小值.即当$m=-3$时,二次三项式$m^2+6m+1$的最小值为$-8$.
(3) $x^2-5x+5＞-x^2+3x-4$,理由如下：
$x^2-5x+5-(-x^2+3x-4)=x^2-5x+5+x^2-3x+4=2x^2-8x+9=2(x^2-4x)+9=2(x-2)^2+1＞0$,
故$x^2-5x+5＞-x^2+3x-4$.
(2) $m^2+6m+1=m^2+6m+9-9+1=(m+3)^2-8$,因为$(m+3)^2≥0$,所以当$(m+3)^2=0$时,$m^2+6m+1$有最小值.即当$m=-3$时,二次三项式$m^2+6m+1$的最小值为$-8$.
(3) $x^2-5x+5＞-x^2+3x-4$,理由如下：
$x^2-5x+5-(-x^2+3x-4)=x^2-5x+5+x^2-3x+4=2x^2-8x+9=2(x^2-4x)+9=2(x-2)^2+1＞0$,
故$x^2-5x+5＞-x^2+3x-4$.
解析
【分析】
(1) 分解因式$a^2 - 4a - 5$时，参考题干给出的配方法思路，先给前两项凑完全平方：$a^2-4a$加上4即可构成完全平方式，为保持原式值不变需再减去4，变形后得到平方差形式，再用平方差公式完成分解即可。
(2) 求二次三项式的最小值，同样先通过配方法将式子整理为“完全平方式+常数”的形式，根据平方的非负性，完全平方式的最小值为0，代入即可求出整个式子的最小值。
(3) 比较两个代数式大小，优先选用作差法：先计算两个代数式的差，再对差进行配方，判断差的正负，若差大于0则被减数更大，反之则减数更大。
【解析】
(1) 对$a^2 - 4a - 5$配方变形：
$a^2 - 4a - 5 = a^2 - 4a + 4 - 4 - 5 = (a-2)^2 - 9$
再利用平方差公式分解：
$(a-2)^2 - 9 = (a-2+3)(a-2-3) = (a+1)(a-5)$
(2) 对$m^2 + 6m + 1$配方变形：
$m^2 + 6m + 1 = m^2 + 6m + 9 - 9 + 1 = (m+3)^2 - 8$
∵ 对任意实数$m$，都有$(m+3)^2 ≥ 0$，
∴ 当$(m+3)^2=0$即$m=-3$时，原式取得最小值，最小值为$-8$。
(3) $x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$，理由如下：
计算两式的差：
$x^2 - 5x + 5 - (-x^2 + 3x - 4) = x^2 - 5x +5 + x^2 - 3x +4 = 2x^2 - 8x +9$
对差进行配方：
$2x^2 -8x +9 = 2(x^2 -4x) +9 = 2(x^2 -4x +4 -4) +9 = 2(x-2)^2 +1$
∵ 对任意实数$x$，都有$2(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ $2(x-2)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$，即两式的差恒大于0，
因此$x^2 - 5x +5 ＞ -x^2 + 3x -4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+1)(a-5)}$
(2) 最小值为$\boldsymbol{-8}$
(3) $\boldsymbol{x^2 - 5x +5 ＞ -x^2 + 3x -4}$
【知识点】
配方法的应用，作差法比较大小，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设计了三类高频应用题型，解题核心是掌握凑完全平方的技巧，结合平方的非负性即可顺利解决因式分解、最值求解、大小比较类问题，熟练运用配方法是处理二次代数式相关问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式$a^2 - 4a - 5$时，参考题干给出的配方法思路，先给前两项凑完全平方：$a^2-4a$加上4即可构成完全平方式，为保持原式值不变需再减去4，变形后得到平方差形式，再用平方差公式完成分解即可。
(2) 求二次三项式的最小值，同样先通过配方法将式子整理为“完全平方式+常数”的形式，根据平方的非负性，完全平方式的最小值为0，代入即可求出整个式子的最小值。
(3) 比较两个代数式大小，优先选用作差法：先计算两个代数式的差，再对差进行配方，判断差的正负，若差大于0则被减数更大，反之则减数更大。
【解析】
(1) 对$a^2 - 4a - 5$配方变形：
$a^2 - 4a - 5 = a^2 - 4a + 4 - 4 - 5 = (a-2)^2 - 9$
再利用平方差公式分解：
$(a-2)^2 - 9 = (a-2+3)(a-2-3) = (a+1)(a-5)$
(2) 对$m^2 + 6m + 1$配方变形：
$m^2 + 6m + 1 = m^2 + 6m + 9 - 9 + 1 = (m+3)^2 - 8$
∵ 对任意实数$m$，都有$(m+3)^2 ≥ 0$，
∴ 当$(m+3)^2=0$即$m=-3$时，原式取得最小值，最小值为$-8$。
(3) $x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$，理由如下：
计算两式的差：
$x^2 - 5x + 5 - (-x^2 + 3x - 4) = x^2 - 5x +5 + x^2 - 3x +4 = 2x^2 - 8x +9$
对差进行配方：
$2x^2 -8x +9 = 2(x^2 -4x) +9 = 2(x^2 -4x +4 -4) +9 = 2(x-2)^2 +1$
∵ 对任意实数$x$，都有$2(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ $2(x-2)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$，即两式的差恒大于0，
因此$x^2 - 5x +5 ＞ -x^2 + 3x -4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+1)(a-5)}$
(2) 最小值为$\boldsymbol{-8}$
(3) $\boldsymbol{x^2 - 5x +5 ＞ -x^2 + 3x -4}$
【知识点】
配方法的应用，作差法比较大小，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设计了三类高频应用题型，解题核心是掌握凑完全平方的技巧，结合平方的非负性即可顺利解决因式分解、最值求解、大小比较类问题，熟练运用配方法是处理二次代数式相关问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
