1. 分解因式 $a^3 - 9a$ 的结果是().

A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^2 + 9)$
C.$(a - 3)(a + 3)$
D.$a^2(a - 9)$

1. A

【分析】
分解因式的常规思路是“先提公因式，再套用公式”，最后要保证每个因式都不能再分解。首先观察式子$a^3 - 9a$，两项都含有公因式$a$，所以第一步先提取公因式$a$，提取后得到$a(a^2 - 9)$；再观察剩余的因式$a^2 -9$，符合平方差公式的形式，可继续分解，最后合并结果即可匹配对应选项。
【解析】
步骤1：提取公因式$a$
$a^3 - 9a = a(a^2 - 9)$
步骤2：利用平方差公式分解$a^2 -9$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得$a^2 -9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
步骤3：合并最终结果
$a^3 -9a = a(a+3)(a-3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式，后用公式”的顺序，同时注意因式分解要进行到每个因式都无法再分解为止，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85

2. 把代数式$3x^3 -12x^2 +12x$因式分解，结果正确的是().

A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x-4)^2$
C.$3x(x+2)(x-2)$
D.$3x(x-2)^2$

2. D

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式，分解彻底”的原则思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，优先提取公因式；第二步再看提取公因式后余下的多项式符合哪种乘法公式的特征，选用对应公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，最后和选项对比排除错误答案即可。
【解析】
对代数式$3x^3 -12x^2 +12x$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察到多项式各项都含有公因式$3x$，先提取公因式，得：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 -4x +4)$
2. 用公式法继续分解：括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x$，$b=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
3. 综上，原式因式分解的最终结果为$3x(x-2)^2$。
对选项逐一排查：
A选项：$3x(x^2 -4x +4)$没有分解彻底，错误；
B选项：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，和提取公因式后余下的多项式不符，错误；
C选项：是平方差公式的分解结果，本题余下的多项式是完全平方式，错误；
D选项：和分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要牢记因式分解的步骤，先提公因式再套用公式，同时要准确区分完全平方公式和平方差公式的结构特征，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8

3. 下列因式分解错误的是().

A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$2x^2 - 8y^2 = 2(x + 2y)(x - 2y)$
C.$x(x - y) + y(y - x) = (x - y)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$

3. A

【分析】
要判断因式分解的正误，首先明确因式分解的核心要求：①结果必须是若干个整式的乘积形式；②公因式要提取完全，每个因式要分解到不能再分解为止。解题时逐一验证四个选项的分解过程是否符合上述要求，就能找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$3ax^2 - 6ax$提取公因式，各项的公因式为$3ax$，正确分解应为$3ax(x-2)$，选项中仅提取了公因数3，剩余部分仍有公因式$ax$未提尽，不符合因式分解“公因式提尽”的要求，因此该分解错误。
B选项：先提公因式2得$2(x^2-4y^2)$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$x^2-4y^2$分解为$(x+2y)(x-2y)$，最终结果为$2(x + 2y)(x - 2y)$，分解正确。
C选项：先将$y(y-x)$变形为$-y(x-y)$，原式变为$x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，分解正确。
D选项：先提公因式$-a$得$-a(x^2-2x+1)$，再利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将$x^2-2x+1$分解为$(x-1)^2$，最终结果为$-a(x - 1)^2$，分解正确。
综上，因式分解错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需注意先提取公因式，再根据式子特征选择合适的公式分解，同时要注意符号变化，保证公因式提取完全、分解彻底。
【难度系数】
0.8

4. 分解因式：$2a^3 -8a =$ .

4. 2a(a+2)(a-2)

【分析】
解决因式分解类题目首先遵循“一提二套三检查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项均含有公因式2a，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$a^2-4$，其符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查分解后的所有因式是否都无法再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：对$2a^3 -8a$分解因式：
1. 提取公因式$2a$：
$2a^3 -8a = 2a(a^2 - 4)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2-4$：
$a^2 -4 = a^2 - 2^2 = (a+2)(a-2)$
3. 整合结果得$2a(a+2)(a-2)$，此时各因式均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$2a(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是牢记因式分解的操作顺序，尤其要注意最终结果必须分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85

5.分解因式：
(1)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$；
(2)$64x^2y^2-(x^2+16y^2)^2$；
(3)$(x^2-x)(x^2-x-8)+12$.

5. 解 (1) 原式 $= 9a^2(x-y) -4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).$
(2) 原式 $=(8xy+x^2+16y^2)(8xy-x^2-16y^2)=-(x+4y)^2(x-4y)^2.$
(3) 原式 $=(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$
$=(x^2-x-2)(x^2-x-6)$
$=(x-2)(x+1)(x-3)(x+2).$

【分析】
这三道因式分解题可按如下思路求解：
(1) 先将式子中的(y-x)变形为-(x-y)，统一公因式(x-y)后先提取公因式，剩余的$9a^2-4b^2$符合平方差公式特征，继续用平方差公式分解即可；
(2) 原式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=8xy$，$b=x^2+16y^2$，先用平方差公式分解，得到的两个多项式分别符合完全平方公式特征，整理符号后继续分解即可；
(3) 将$x^2-x$看作一个整体，原式可转化为关于该整体的二次三项式，先用十字相乘法分解，再对得到的两个关于x的二次三项式分别用十字相乘法继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 原式 $= 9a^2(x-y) -4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
(2) 原式 $=(8xy+x^2+16y^2)(8xy-x^2-16y^2)$
$=-(x^2+8xy+16y^2)(x^2-8xy+16y^2)$
$=-(x+4y)^2(x-4y)^2$
(3) 原式 $=(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$
$=(x^2-x-2)(x^2-x-6)$
$=(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$
【答案】
(1) $\boxed{(x-y)(3a+2b)(3a-2b)}$
(2) $\boxed{-(x+4y)^2(x-4y)^2}$
(3) $\boxed{(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)}$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的常用方法，解题时需先观察式子特征选择合适的分解方法，注意因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止，第(3)题用到的整体思想可简化运算，是代数运算中常用的思想方法。
【难度系数】
0.6

6.若k为任意整数，且$99^3 -99$能被k整除，则k的值不可能是().

A.50
B.100
C.98
D.97

6. D 解析
∵ $99^3 - 99 = 99 ×(99^2-1)=99×(99+1)×(99-1)=99×100×98$,
∴4 个选项中 k 的值可能是 100，98 或 50. 故选 D.

【分析】
要判断$99^3 -99$不能被哪个$k$整除，核心思路是先将该多项式因式分解为多个整数乘积的形式，能整除它的$k$一定是这些整数乘积的因数。第一步先观察多项式，两项都含有公因式99，可先提取公因式；提取后剩下的部分符合平方差公式的结构，可继续用平方差公式分解，最终得到几个整数的乘积，再逐一对比选项，找出不是其因数的选项即可。
【解析】
对$99^3 - 99$进行因式分解：
1. 提取公因式99，得：
$99^3 - 99 = 99 × (99^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$99^2-1$，得：
$99^2 - 1 = (99+1)(99-1) = 100 × 98$
因此原式可整理为：$99^3 - 99 = 99 × 100 × 98$
可知该式的因数包含98、100，又因为100是50的倍数，因此50也是该式的因数，只有97不是该式的因数，故$k$不可能是97。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，整除的判定
【点评】
本题是因式分解在整除问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，再结合整除的性质判断选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

7.已知$2m - n = 3$，那么$4m^2 - n^2 - 6n + 7$的值为。

7. 16 解析
∵$2m-n=3$，
∴$4m^2-n^2-6n+7$
$=(2m+n)(2m-n)-6n+7$
$=3(2m+n)-6n+7$
$=6m+3n-6n+7$
$=6m-3n+7$
$=3(2m-n)+7$
$=3×3+7$
$=16.$

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现$4m^2-n^2$符合平方差公式的形式，结合已知条件$2m-n=3$，优先用平方差公式对代数式因式分解，再将$2m-n=3$整体代入，后续对化简后的式子继续变形，凑出含有$2m-n$的整体，最后代入数值计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵$2m-n=3$，
∴$4m^2-n^2-6n+7$
$=(2m+n)(2m-n)-6n+7$
$=3(2m+n)-6n+7$
$=6m+3n-6n+7$
$=6m-3n+7$
$=3(2m-n)+7$
$=3×3+7$
$=16$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心是利用因式分解对代数式变形，结合整体代入思想求值，解题的关键是将所求式子转化为含有已知条件的形式，能有效减少计算量，考查学生对公式的应用能力和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

8. 观察下列式子：
$2×4+1=9=3^2$；
$6×8+1=49=7^2$；
$14×16+1=225=15^2$；
……
你发现了什么结论？你能证明这个结论吗？

8. 解 结论为 $(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$($n$ 为正整数).
证明如下: $(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1=(2^{n+1})^2-2×2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2.$

【分析】
解题时先从已知的特殊等式入手，分别观察等式左右两边各数的特征：第1个等式中，两个乘数为2、4，对应$2^2-2$、$2^2$，右边平方的底数$3=2^2-1$；第2个等式中，两个乘数为6、8，对应$2^3-2$、$2^3$，右边平方的底数$7=2^3-1$；第3个等式中，两个乘数为14、16，对应$2^4-2$、$2^4$，右边平方的底数$15=2^4-1$。据此可归纳出第n个等式的一般形式，再利用完全平方公式对左边的式子化简，验证是否与右边相等即可。
【解析】
首先归纳得出结论：$(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$（n为正整数）。
证明如下：
左边=$(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1$
$=(2^{n+1})^2 - 2×2^{n+1} + 1$
由完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=2^{n+1}$，$b=1$，可得
上式=$(2^{n+1}-1)^2$=右边
故等式成立。
【答案】
结论为$(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$（$n$ 为正整数）；证明：$(2^{n+1}-2)·2^{n+1}+1=(2^{n+1})^2-2×2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^2$。
【知识点】
规律探究、完全平方公式、整式乘法
【点评】
本题是整式规律探究类的典型题目，既考查学生从特殊实例中归纳一般规律的观察、总结能力，也考查对完全平方公式的掌握和应用能力，能够很好地兼顾基础考查和能力拓展。
【难度系数】
0.7