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1. $\frac{2y}{x} · \frac{x^3}{4y^2} =$
$\dfrac{x^2}{2y}$
; $\frac{2}{x^2 - 9} ÷ \frac{1}{x - 3} =$ $\dfrac{2}{x+3}$
.答案
1.$\dfrac{x^2}{2y}$，$\dfrac{2}{x+3}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：
1. 第一问是分式乘法运算：按照分式乘法法则，先将分子相乘的积作积的分子、分母相乘的积作积的分母，再约去分子分母的公因式，化为最简分式即可。
2. 第二问是分式除法运算：首先根据分式除法法则，将除法转化为乘以除式的倒数，再对多项式分母用平方差公式因式分解，最后约去公因式得到最简结果。
【解析】
1. 计算$\frac{2y}{x} · \frac{x^3}{4y^2}$：
根据分式乘法法则，分子相乘得$2y·x^3$，分母相乘得$x·4y^2$，即：
$\frac{2y}{x} · \frac{x^3}{4y^2} = \frac{2y·x^3}{x·4y^2}$
约去分子分母的公因式$2xy$，得：
$\frac{2y·x^3}{x·4y^2} = \frac{x^2}{2y}$
2. 计算$\frac{2}{x^2 - 9} ÷ \frac{1}{x - 3}$：
首先根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，转化为乘法：
$\frac{2}{x^2 - 9} ÷ \frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x^2 - 9} · (x - 3)$
利用平方差公式分解$x^2 -9 = (x+3)(x-3)$，代入得：
$\frac{2}{(x+3)(x-3)} · (x - 3)$
约去公因式$(x-3)$，得：
$\frac{2}{x+3}$
【答案】
$\dfrac{x^2}{2y}$，$\dfrac{2}{x+3}$
【知识点】
分式乘法运算、分式除法运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是掌握分式乘除的运算规则，注意做除法运算时要先转化为乘法，分母为多项式时先因式分解再约分，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：
1. 第一问是分式乘法运算：按照分式乘法法则，先将分子相乘的积作积的分子、分母相乘的积作积的分母，再约去分子分母的公因式，化为最简分式即可。
2. 第二问是分式除法运算：首先根据分式除法法则，将除法转化为乘以除式的倒数，再对多项式分母用平方差公式因式分解，最后约去公因式得到最简结果。
【解析】
1. 计算$\frac{2y}{x} · \frac{x^3}{4y^2}$：
根据分式乘法法则，分子相乘得$2y·x^3$，分母相乘得$x·4y^2$，即：
$\frac{2y}{x} · \frac{x^3}{4y^2} = \frac{2y·x^3}{x·4y^2}$
约去分子分母的公因式$2xy$，得：
$\frac{2y·x^3}{x·4y^2} = \frac{x^2}{2y}$
2. 计算$\frac{2}{x^2 - 9} ÷ \frac{1}{x - 3}$：
首先根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，转化为乘法：
$\frac{2}{x^2 - 9} ÷ \frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x^2 - 9} · (x - 3)$
利用平方差公式分解$x^2 -9 = (x+3)(x-3)$，代入得：
$\frac{2}{(x+3)(x-3)} · (x - 3)$
约去公因式$(x-3)$，得：
$\frac{2}{x+3}$
【答案】
$\dfrac{x^2}{2y}$，$\dfrac{2}{x+3}$
【知识点】
分式乘法运算、分式除法运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是掌握分式乘除的运算规则，注意做除法运算时要先转化为乘法，分母为多项式时先因式分解再约分，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
2. 大型除草机a天可以除草2b kg,小型除草机m天可以除草6n kg,则大型除草机的工作效率是小型除草机工作效率的
$\dfrac{bm}{3an}$
倍.答案
2.$\dfrac{bm}{3an}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确工作效率的计算关系：工作效率=工作总量÷工作时间。第一步先分别计算大型除草机和小型除草机的工作效率；第二步求大型除草机工作效率是小型的几倍，用大型效率除以小型效率，再结合分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
首先根据工作效率公式计算两台除草机的工作效率：
1. 大型除草机a天除草2b kg，其工作效率为 $\frac{2b}{a}$ kg/天；
2. 小型除草机m天除草6n kg，其工作效率为 $\frac{6n}{m}$ kg/天；
3. 求大型除草机效率是小型的几倍，列式为：
$\frac{2b}{a} ÷ \frac{6n}{m}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，可转化为：
$\frac{2b}{a} × \frac{m}{6n}$
约分后化简得：
$\frac{bm}{3an}$
【答案】
$\dfrac{bm}{3an}$
【知识点】
工程问题公式，分式除法运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是结合工程问题的基本公式列出分式，再按照分式除法的规则计算化简，计算时要注意区分除数和被除数，约分时要找准分子分母的公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确工作效率的计算关系：工作效率=工作总量÷工作时间。第一步先分别计算大型除草机和小型除草机的工作效率；第二步求大型除草机工作效率是小型的几倍，用大型效率除以小型效率，再结合分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
首先根据工作效率公式计算两台除草机的工作效率：
1. 大型除草机a天除草2b kg，其工作效率为 $\frac{2b}{a}$ kg/天；
2. 小型除草机m天除草6n kg，其工作效率为 $\frac{6n}{m}$ kg/天；
3. 求大型除草机效率是小型的几倍，列式为：
$\frac{2b}{a} ÷ \frac{6n}{m}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，可转化为：
$\frac{2b}{a} × \frac{m}{6n}$
约分后化简得：
$\frac{bm}{3an}$
【答案】
$\dfrac{bm}{3an}$
【知识点】
工程问题公式，分式除法运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是结合工程问题的基本公式列出分式，再按照分式除法的规则计算化简，计算时要注意区分除数和被除数，约分时要找准分子分母的公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
3. 若$3x-y=0$，则$\dfrac{x+y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)$的值为
$-2$
.答案
3.-2
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可。首先利用完全平方公式对原式中分式的分母进行因式分解，再根据分式乘法法则计算、约去公因式，将原式化为最简形式，最后结合已知条件$3x-y=0$得到$y$与$x$的关系，代入最简式计算即可，计算时注意满足分式有意义的隐含条件。
【解析】
首先对原式化简：
分母$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式，因式分解得$(x-y)^2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{(x-y)^2}·(x-y)\\&=\frac{x+y}{x-y} \quad (x≠ y)\end{aligned}$
由已知$3x-y=0$，可得$y=3x$，且$x≠0$（若$x=0$则$y=0$，原式分母为0，无意义），将$y=3x$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\frac{x+y}{x-y}&=\frac{x+3x}{x-3x}\\&=\frac{4x}{-2x}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的乘法运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题考查分式运算的基础应用，解题核心是先因式分解再约分，将原式化简后再代入求值，可大幅降低计算量，解题时需注意分式有意义的隐含条件，避免出现分母为0的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可。首先利用完全平方公式对原式中分式的分母进行因式分解，再根据分式乘法法则计算、约去公因式，将原式化为最简形式，最后结合已知条件$3x-y=0$得到$y$与$x$的关系，代入最简式计算即可，计算时注意满足分式有意义的隐含条件。
【解析】
首先对原式化简：
分母$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式，因式分解得$(x-y)^2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{(x-y)^2}·(x-y)\\&=\frac{x+y}{x-y} \quad (x≠ y)\end{aligned}$
由已知$3x-y=0$，可得$y=3x$，且$x≠0$（若$x=0$则$y=0$，原式分母为0，无意义），将$y=3x$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\frac{x+y}{x-y}&=\frac{x+3x}{x-3x}\\&=\frac{4x}{-2x}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的乘法运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题考查分式运算的基础应用，解题核心是先因式分解再约分，将原式化简后再代入求值，可大幅降低计算量，解题时需注意分式有意义的隐含条件，避免出现分母为0的错误。
【难度系数】
0.7
4. 定义新运算：$x*y=\dfrac{x+y}{x-y}$，则计算$(a*b)× [b*(-a)]$的结果是
$-1$
.答案
4.-1
解析
【分析】
解题首先要准确理解新运算“*”的规则：$x*y$等于x与y的和除以x与y的差。解题思路分三步：第一步，先将$a*b$按照新运算规则转化为分式形式；第二步，将$b*(-a)$也按照新运算规则转化为分式，注意代入$y=-a$时的符号处理；第三步，利用分式乘法法则计算两个分式的乘积，通过约分得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则$x*y=\dfrac{x+y}{x-y}$：
1. 计算$a*b$：把$x=a$，$y=b$代入，得$a*b=\dfrac{a+b}{a-b}$；
2. 计算$b*(-a)$：把$x=b$，$y=-a$代入，得$b*(-a)=\dfrac{b+(-a)}{b-(-a)}=\dfrac{b-a}{b+a}$；
3. 计算两者的乘积：
$\begin{aligned}(a*b)× [b*(-a)]&=\dfrac{a+b}{a-b}×\dfrac{b-a}{b+a}\\&=\dfrac{(a+b)(b-a)}{(a-b)(b+a)}\\&=\dfrac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
定义新运算，分式乘法运算，分式约分
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解转化能力和分式运算的掌握程度，解题的核心是正确将新运算转化为常规的分式运算，计算过程中要注意符号变化，避免因符号处理失误出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解新运算“*”的规则：$x*y$等于x与y的和除以x与y的差。解题思路分三步：第一步，先将$a*b$按照新运算规则转化为分式形式；第二步，将$b*(-a)$也按照新运算规则转化为分式，注意代入$y=-a$时的符号处理；第三步，利用分式乘法法则计算两个分式的乘积，通过约分得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则$x*y=\dfrac{x+y}{x-y}$：
1. 计算$a*b$：把$x=a$，$y=b$代入，得$a*b=\dfrac{a+b}{a-b}$；
2. 计算$b*(-a)$：把$x=b$，$y=-a$代入，得$b*(-a)=\dfrac{b+(-a)}{b-(-a)}=\dfrac{b-a}{b+a}$；
3. 计算两者的乘积：
$\begin{aligned}(a*b)× [b*(-a)]&=\dfrac{a+b}{a-b}×\dfrac{b-a}{b+a}\\&=\dfrac{(a+b)(b-a)}{(a-b)(b+a)}\\&=\dfrac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
定义新运算，分式乘法运算，分式约分
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解转化能力和分式运算的掌握程度，解题的核心是正确将新运算转化为常规的分式运算，计算过程中要注意符号变化，避免因符号处理失误出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 计算：
(1)$-\dfrac{7y}{12x^2} · \dfrac{6x}{49y^2}$
(2)$\dfrac{a^2b}{3c^2} ÷ \dfrac{-11ab^2}{6c^3d}$
(3)$\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9} · \dfrac{3x -9}{x +3}$
(4)$\dfrac{2b -2a}{a +b} ÷ \dfrac{a^2 -b^2}{-a -b}$
1. 计算：
(1)$-\dfrac{7y}{12x^2} · \dfrac{6x}{49y^2}$
(2)$\dfrac{a^2b}{3c^2} ÷ \dfrac{-11ab^2}{6c^3d}$
(3)$\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9} · \dfrac{3x -9}{x +3}$
(4)$\dfrac{2b -2a}{a +b} ÷ \dfrac{a^2 -b^2}{-a -b}$
答案
1.(1)$-\dfrac{1}{14xy}$ (2)$-\dfrac{2acd}{11b}$ (3)3 (4)$\dfrac{2}{a+b}$
解析
【分析】
解题时遵循分式乘除法的通用步骤即可：① 若为除法运算，先将除式的分子、分母颠倒位置，转化为乘法运算；② 若分子、分母是多项式，先对多项式进行因式分解；③ 约去分子、分母的公因式，将结果化为最简分式或整式；运算过程中要格外注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$-\dfrac{7y}{12x^2} · \dfrac{6x}{49y^2}$
根据分式乘法法则，分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母：
$=-\dfrac{7y·6x}{12x^2·49y^2}$
$=-\dfrac{42xy}{588x^2y^2}$
约去分子分母的公因式$42xy$：
$=-\dfrac{1}{14xy}$
(2) 计算$\dfrac{a^2b}{3c^2} ÷ \dfrac{-11ab^2}{6c^3d}$
先将除法转化为乘法：
$=\dfrac{a^2b}{3c^2} · \dfrac{6c^3d}{-11ab^2}$
$=\dfrac{a^2b·6c^3d}{3c^2·(-11ab^2)}$
约去分子分母的公因式$3abc^2$：
$=\dfrac{2acd}{-11b}=-\dfrac{2acd}{11b}$
(3) 计算$\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9} · \dfrac{3x -9}{x +3}$
先对多项式因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$3x-9=3(x-3)$，代入原式：
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \dfrac{3(x-3)}{x+3}$
约去公因式$(x+3)(x-3)$：
$=3$
(4) 计算$\dfrac{2b -2a}{a +b} ÷ \dfrac{a^2 -b^2}{-a -b}$
先将除法转化为乘法，同时因式分解：$2b-2a=2(b-a)=-2(a-b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$-a-b=-(a+b)$，代入原式：
$=\dfrac{2(b-a)}{a+b} · \dfrac{-(a+b)}{(a+b)(a-b)}$
将$b-a$变形为$-(a-b)$，约去公因式$(a-b)(a+b)$：
$=\dfrac{2×[-(a-b)]}{a+b} · \dfrac{-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\dfrac{2}{a+b}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{14xy}$ (2)$-\dfrac{2acd}{11b}$ (3)$3$ (4)$\dfrac{2}{a+b}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础练习题，核心考查运算法则的掌握程度，解题时要养成“先转乘、再分解、后约分”的运算习惯，重点注意符号和多项式因式分解的准确性，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
解题时遵循分式乘除法的通用步骤即可：① 若为除法运算，先将除式的分子、分母颠倒位置，转化为乘法运算；② 若分子、分母是多项式，先对多项式进行因式分解；③ 约去分子、分母的公因式，将结果化为最简分式或整式；运算过程中要格外注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$-\dfrac{7y}{12x^2} · \dfrac{6x}{49y^2}$
根据分式乘法法则，分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母：
$=-\dfrac{7y·6x}{12x^2·49y^2}$
$=-\dfrac{42xy}{588x^2y^2}$
约去分子分母的公因式$42xy$：
$=-\dfrac{1}{14xy}$
(2) 计算$\dfrac{a^2b}{3c^2} ÷ \dfrac{-11ab^2}{6c^3d}$
先将除法转化为乘法：
$=\dfrac{a^2b}{3c^2} · \dfrac{6c^3d}{-11ab^2}$
$=\dfrac{a^2b·6c^3d}{3c^2·(-11ab^2)}$
约去分子分母的公因式$3abc^2$：
$=\dfrac{2acd}{-11b}=-\dfrac{2acd}{11b}$
(3) 计算$\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9} · \dfrac{3x -9}{x +3}$
先对多项式因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$3x-9=3(x-3)$，代入原式：
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \dfrac{3(x-3)}{x+3}$
约去公因式$(x+3)(x-3)$：
$=3$
(4) 计算$\dfrac{2b -2a}{a +b} ÷ \dfrac{a^2 -b^2}{-a -b}$
先将除法转化为乘法，同时因式分解：$2b-2a=2(b-a)=-2(a-b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$-a-b=-(a+b)$，代入原式：
$=\dfrac{2(b-a)}{a+b} · \dfrac{-(a+b)}{(a+b)(a-b)}$
将$b-a$变形为$-(a-b)$，约去公因式$(a-b)(a+b)$：
$=\dfrac{2×[-(a-b)]}{a+b} · \dfrac{-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\dfrac{2}{a+b}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{14xy}$ (2)$-\dfrac{2acd}{11b}$ (3)$3$ (4)$\dfrac{2}{a+b}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础练习题，核心考查运算法则的掌握程度，解题时要养成“先转乘、再分解、后约分”的运算习惯，重点注意符号和多项式因式分解的准确性，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，“惠民1号”水稻试验田是半径为R m的圆去掉宽为1 m的出水沟(空白部分)剩下的部分；如图2，“惠民2号”水稻试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆(空白部分)剩下的部分.两块试验田都收获了450 kg的玉米.“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的多少倍？
答案
2.$\dfrac{R+1}{R-1}$
解析
【分析】
要计算“惠民1号”单位面积产量是“惠民2号”的多少倍，可按以下步骤思考：第一步先分别求出两块试验田的种植面积，其中1号试验田是半径为(R-1)m的圆，2号试验田是半径为R的圆减去半径为1m的小圆得到的圆环；第二步根据“单位面积产量=总产量÷种植面积”，分别表示出两块田的单位面积产量；第三步用1号的单位面积产量除以2号的单位面积产量，通过分式运算化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算两块试验田的面积：
“惠民1号”试验田的阴影部分半径为(R-1)m，面积为：
$S_1 = π(R-1)^2 \ \mathrm{㎡}$
“惠民2号”试验田是大圆减去中间小圆，面积为：
$S_2 = π R^2 - π × 1^2 = π(R^2 - 1) = π(R-1)(R+1) \ \mathrm{㎡}$
2. 表示单位面积产量：
两块试验田总产量均为450kg，因此：
1号单位面积产量 $a_1 = \frac{450}{S_1}$，2号单位面积产量 $a_2 = \frac{450}{S_2}$
3. 计算倍数：
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{450}{S_1}}{\frac{450}{S_2}} = \frac{S_2}{S_1}$
将$S_1$、$S_2$代入得：
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{π(R-1)(R+1)}{π(R-1)^2} = \frac{R+1}{R-1}$
【答案】
$\dfrac{R+1}{R-1}$
【知识点】
圆的面积计算、分式的除法运算、平方差公式
【点评】
本题结合实际生产场景，考查几何面积计算与分式运算的综合应用，解题核心是准确表示出两块试验田的种植面积，再利用单位产量的数量关系化简，计算时注意正确约分即可。
【难度系数】
0.7
要计算“惠民1号”单位面积产量是“惠民2号”的多少倍，可按以下步骤思考：第一步先分别求出两块试验田的种植面积，其中1号试验田是半径为(R-1)m的圆，2号试验田是半径为R的圆减去半径为1m的小圆得到的圆环；第二步根据“单位面积产量=总产量÷种植面积”，分别表示出两块田的单位面积产量；第三步用1号的单位面积产量除以2号的单位面积产量，通过分式运算化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算两块试验田的面积：
“惠民1号”试验田的阴影部分半径为(R-1)m，面积为：
$S_1 = π(R-1)^2 \ \mathrm{㎡}$
“惠民2号”试验田是大圆减去中间小圆，面积为：
$S_2 = π R^2 - π × 1^2 = π(R^2 - 1) = π(R-1)(R+1) \ \mathrm{㎡}$
2. 表示单位面积产量：
两块试验田总产量均为450kg，因此：
1号单位面积产量 $a_1 = \frac{450}{S_1}$，2号单位面积产量 $a_2 = \frac{450}{S_2}$
3. 计算倍数：
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{450}{S_1}}{\frac{450}{S_2}} = \frac{S_2}{S_1}$
将$S_1$、$S_2$代入得：
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{π(R-1)(R+1)}{π(R-1)^2} = \frac{R+1}{R-1}$
【答案】
$\dfrac{R+1}{R-1}$
【知识点】
圆的面积计算、分式的除法运算、平方差公式
【点评】
本题结合实际生产场景，考查几何面积计算与分式运算的综合应用，解题核心是准确表示出两块试验田的种植面积，再利用单位产量的数量关系化简，计算时注意正确约分即可。
【难度系数】
0.7
