登录
2. 通分：
(1) $\frac{1}{x^2}, \frac{1}{12xy}$
(2) $\frac{1}{x+1}, \frac{2}{x^2 -1}$
(1) $\frac{1}{x^2}, \frac{1}{12xy}$
(2) $\frac{1}{x+1}, \frac{2}{x^2 -1}$
答案
2. (1)$\frac{12y}{12x^2 y},\frac{x}{12x^2 y}$ (2)$\frac{x-1}{x^2 -1},\frac{2}{x^2 -1}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都化为最简公分母。具体步骤：①若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积作为最简公分母；②若分母是多项式，先对分母因式分解，再按上述方法确定最简公分母。本题两个小题分别对应分母是单项式、多项式的通分情况，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先确定$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{12xy}$的最简公分母：
系数的最小公倍数是12，x的最高次幂是$x^2$，y的最高次幂是$y$，因此最简公分母为$12x^2y$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2}=\frac{1×12y}{x^2×12y}=\frac{12y}{12x^2y}$；
$\frac{1}{12xy}=\frac{1× x}{12xy× x}=\frac{x}{12x^2y}$。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
因此$\frac{1}{x+1}$和$\frac{2}{x^2-1}$的最简公分母为$x^2-1$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x+1}=\frac{1×(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$；
$\frac{2}{x^2-1}$的分母已经是最简公分母，无需变形。
【答案】
(1)$\frac{12y}{12x^2 y},\frac{x}{12x^2 y}$ (2)$\frac{x-1}{x^2 -1},\frac{2}{x^2 -1}$
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是准确找到最简公分母，当分母为多项式时，要先因式分解再确定公分母，变形时注意分子也要和分母乘相同的整式，避免出现只改分母的错误。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都化为最简公分母。具体步骤：①若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积作为最简公分母；②若分母是多项式，先对分母因式分解，再按上述方法确定最简公分母。本题两个小题分别对应分母是单项式、多项式的通分情况，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先确定$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{12xy}$的最简公分母：
系数的最小公倍数是12，x的最高次幂是$x^2$，y的最高次幂是$y$，因此最简公分母为$12x^2y$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2}=\frac{1×12y}{x^2×12y}=\frac{12y}{12x^2y}$；
$\frac{1}{12xy}=\frac{1× x}{12xy× x}=\frac{x}{12x^2y}$。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
因此$\frac{1}{x+1}$和$\frac{2}{x^2-1}$的最简公分母为$x^2-1$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x+1}=\frac{1×(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$；
$\frac{2}{x^2-1}$的分母已经是最简公分母，无需变形。
【答案】
(1)$\frac{12y}{12x^2 y},\frac{x}{12x^2 y}$ (2)$\frac{x-1}{x^2 -1},\frac{2}{x^2 -1}$
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是准确找到最简公分母，当分母为多项式时，要先因式分解再确定公分母，变形时注意分子也要和分母乘相同的整式，避免出现只改分母的错误。
【难度系数】
0.8
我们知道,如果$x^2 - 2 = x$,当$x≠0$时,等式两边同时除以$x$即可变形为$x - \frac{2}{x} = 1$,现在如果已知$x - \frac{2}{x} = 1$,且$\frac{x^4 - 3x^2y + 4}{x^3 - 2x} = -1$,求$y$的值.
答案
$\because x-\frac{2}{x}=1, \therefore (x - \frac{2}{x})^2 =1, \therefore x^2-4+\frac{4}{x^2}=1, \therefore x^2+\frac{4}{x^2}=5,$ 显然$x≠0.$ 将$\frac{x^4 - 3x^2 y + 4}{x^2 - 2x}$的分子分母同时除以$x^2,$得$\frac{x^2 - 3y + \frac{4}{x^2}}{x - \frac{2}{x}}=\frac{x^2 + \frac{4}{x^2} - 3y}{x - \frac{2}{x}},$ 将已知代入,有$\frac{5 - 3y}{1}=-1,$ 解得$y=2.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$x-\frac{2}{x}=1$入手，利用完全平方公式变形求出$x^2+\frac{4}{x^2}$的值；再观察待求分式的结构，因为$x≠0$（否则$\frac{2}{x}$无意义），可根据分式的基本性质，将分式的分子分母同时除以$x^2$，把分式转化为含有$x-\frac{2}{x}$和$x^2+\frac{4}{x^2}$的形式，最后整体代入已知值，得到关于$y$的一元一次方程，求解即可得到$y$的值。
【解析】
$\because x-\frac{2}{x}=1$，且$x≠0$，
$\therefore$将等式两边同时平方，得$(x-\frac{2}{x})^2=1^2$，
展开完全平方得：$x^2 - 2· x· \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}=1$，即$x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}=1$，
整理得：$x^2+\frac{4}{x^2}=5$。
将$\frac{x^4 - 3x^2y + 4}{x^3 - 2x}$的分子、分母同时除以$x^2$（$x≠0$，符合分式基本性质），可得：
$\frac{\frac{x^4}{x^2} - \frac{3x^2y}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{x^3}{x^2} - \frac{2x}{x^2}}=\frac{x^2 - 3y + \frac{4}{x^2}}{x - \frac{2}{x}}$，
将$x-\frac{2}{x}=1$，$x^2+\frac{4}{x^2}=5$，以及分式值为$-1$代入上式，得：
$\frac{5 - 3y}{1}=-1$，
解这个一元一次方程：
$5 - 3y = -1$，
$-3y = -6$，
$y=2$。
【答案】
$y=2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对分式基本性质的灵活运用和整体代入思想的掌握，解题关键是通过合理变形，打通已知条件和待求分式之间的联系，将复杂的代数式求值转化为简单的一元一次方程求解，能有效考查学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件$x-\frac{2}{x}=1$入手，利用完全平方公式变形求出$x^2+\frac{4}{x^2}$的值；再观察待求分式的结构，因为$x≠0$（否则$\frac{2}{x}$无意义），可根据分式的基本性质，将分式的分子分母同时除以$x^2$，把分式转化为含有$x-\frac{2}{x}$和$x^2+\frac{4}{x^2}$的形式，最后整体代入已知值，得到关于$y$的一元一次方程，求解即可得到$y$的值。
【解析】
$\because x-\frac{2}{x}=1$，且$x≠0$，
$\therefore$将等式两边同时平方，得$(x-\frac{2}{x})^2=1^2$，
展开完全平方得：$x^2 - 2· x· \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}=1$，即$x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}=1$，
整理得：$x^2+\frac{4}{x^2}=5$。
将$\frac{x^4 - 3x^2y + 4}{x^3 - 2x}$的分子、分母同时除以$x^2$（$x≠0$，符合分式基本性质），可得：
$\frac{\frac{x^4}{x^2} - \frac{3x^2y}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{x^3}{x^2} - \frac{2x}{x^2}}=\frac{x^2 - 3y + \frac{4}{x^2}}{x - \frac{2}{x}}$，
将$x-\frac{2}{x}=1$，$x^2+\frac{4}{x^2}=5$，以及分式值为$-1$代入上式，得：
$\frac{5 - 3y}{1}=-1$，
解这个一元一次方程：
$5 - 3y = -1$，
$-3y = -6$，
$y=2$。
【答案】
$y=2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对分式基本性质的灵活运用和整体代入思想的掌握，解题关键是通过合理变形，打通已知条件和待求分式之间的联系，将复杂的代数式求值转化为简单的一元一次方程求解，能有效考查学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.6
一、选择题
1. 下列分式中是最简分式的是(
A.$\dfrac{12b}{27a^2}$
B.$\dfrac{2(a-b)^2}{b-a}$
C.$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$
D.$\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$
1. 下列分式中是最简分式的是(
D
)A.$\dfrac{12b}{27a^2}$
B.$\dfrac{2(a-b)^2}{b-a}$
C.$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$
D.$\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时需要对每个选项的分子、分母先做因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则可以约分，就不是最简分式，反之就是最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{12b}{27a^2}$的分子12和分母27有最大公因数3，可约分为$\dfrac{4b}{9a^2}$，不是最简分式；
B选项：$\dfrac{2(a-b)^2}{b-a}$中，$(a-b)^2=(b-a)^2$，分子分母有公因式$b-a$，可约分为$2(b-a)$，不是最简分式；
C选项：$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$的分子用平方差公式可分解为$(x+y)(x-y)$，和分母的$x+y$是公因式，可约分为$x-y$，不是最简分式；
D选项：$\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$的分子$x^2+y^2$不能分解因式，且和分母$x-y$没有公因式，无法约分，是最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判定，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握最简分式的定义，能够对整式进行正确因式分解，进而判断分子分母是否存在公因式即可求解。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时需要对每个选项的分子、分母先做因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则可以约分，就不是最简分式，反之就是最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{12b}{27a^2}$的分子12和分母27有最大公因数3，可约分为$\dfrac{4b}{9a^2}$，不是最简分式；
B选项：$\dfrac{2(a-b)^2}{b-a}$中，$(a-b)^2=(b-a)^2$，分子分母有公因式$b-a$，可约分为$2(b-a)$，不是最简分式；
C选项：$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$的分子用平方差公式可分解为$(x+y)(x-y)$，和分母的$x+y$是公因式，可约分为$x-y$，不是最简分式；
D选项：$\dfrac{x^2 + y^2}{x - y}$的分子$x^2+y^2$不能分解因式，且和分母$x-y$没有公因式，无法约分，是最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判定，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握最简分式的定义，能够对整式进行正确因式分解，进而判断分子分母是否存在公因式即可求解。
【难度系数】
0.8
2. $\dfrac{3xy^2}{4z^2} · \dfrac{8z^3}{y}$等于(
A.$6xyz$
B.$6xy^2z$
C.$-6xyz$
D.$6x^2yz$
A
)A.$6xyz$
B.$6xy^2z$
C.$-6xyz$
D.$6x^2yz$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆分式乘法法则：两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；计算时可以先约分再相乘，简化运算。首先判断运算符号，两个相乘的分式均为正，因此结果为正，可先排除带负号的选项C；再分别计算系数的乘积、相同字母的幂次运算，最后合并得到最简结果即可。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
$\begin{aligned}\dfrac{3xy^2}{4z^2} · \dfrac{8z^3}{y}&=\dfrac{3xy^2 · 8z^3}{4z^2 · y} \\&=\dfrac{3×8}{4} · x · \dfrac{y^2}{y} · \dfrac{z^3}{z^2} \\&=6 · x · y^{2-1} · z^{3-2} \\&=6xyz\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘法、约分、同底数幂的除法
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心考查分式乘法规则和约分方法，计算时先约去分子分母的公因式再计算，能有效提升运算效率、减少计算错误，需要熟练掌握同底数幂的运算规则。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆分式乘法法则：两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；计算时可以先约分再相乘，简化运算。首先判断运算符号，两个相乘的分式均为正，因此结果为正，可先排除带负号的选项C；再分别计算系数的乘积、相同字母的幂次运算，最后合并得到最简结果即可。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
$\begin{aligned}\dfrac{3xy^2}{4z^2} · \dfrac{8z^3}{y}&=\dfrac{3xy^2 · 8z^3}{4z^2 · y} \\&=\dfrac{3×8}{4} · x · \dfrac{y^2}{y} · \dfrac{z^3}{z^2} \\&=6 · x · y^{2-1} · z^{3-2} \\&=6xyz\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘法、约分、同底数幂的除法
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心考查分式乘法规则和约分方法，计算时先约去分子分母的公因式再计算，能有效提升运算效率、减少计算错误，需要熟练掌握同底数幂的运算规则。
【难度系数】
0.9
3. $(-\dfrac{3a}{b})÷6ab$的结果是(
A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
D
)A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先回忆分式除法的运算法则：除以一个整式等于乘以这个整式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；再按照分式乘法的计算规则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；最后对得到的分式进行约分，化简到最简形式后对应选项即可得到答案，计算时注意不要遗漏负号，约分要彻底。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$\begin{aligned}(-\dfrac{3a}{b})÷6ab&=(-\dfrac{3a}{b})×\dfrac{1}{6ab}\\&=\dfrac{-3a×1}{b×6ab}\\&=\dfrac{-3a}{6ab^2}\\&=-\dfrac{1}{2b^2}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
1.分式的除法法则 2.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的运算规则和约分能力，计算时要注意负号的处理以及分子分母中相同字母的约分，避免因粗心漏约字母或算错系数导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先回忆分式除法的运算法则：除以一个整式等于乘以这个整式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；再按照分式乘法的计算规则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；最后对得到的分式进行约分，化简到最简形式后对应选项即可得到答案，计算时注意不要遗漏负号，约分要彻底。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$\begin{aligned}(-\dfrac{3a}{b})÷6ab&=(-\dfrac{3a}{b})×\dfrac{1}{6ab}\\&=\dfrac{-3a×1}{b×6ab}\\&=\dfrac{-3a}{6ab^2}\\&=-\dfrac{1}{2b^2}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
1.分式的除法法则 2.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的运算规则和约分能力，计算时要注意负号的处理以及分子分母中相同字母的约分，避免因粗心漏约字母或算错系数导致出错。
【难度系数】
0.8
4*. 当$x＜2$时，$(x-2)^2$与$x^2-4$之间的大小关系是(
A.$(x-2)^2＞x^2-4$
B.$(x-2)^2=x^2-4$
C.$(x-2)^2＜x^2-4$
D.无法比较
A
)A.$(x-2)^2＞x^2-4$
B.$(x-2)^2=x^2-4$
C.$(x-2)^2＜x^2-4$
D.无法比较
答案
4.A
解析
【分析】
要比较两个代数式的大小，常用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负来确定大小关系。第一步先计算两个式子的差，第二步对差进行化简，第三步结合已知条件$x＜2$判断差的符号，最后根据差的符号得出两个式子的大小关系。
【解析】
采用作差法比较大小：
计算两式的差：
$\begin{aligned}&(x-2)^2 - (x^2 - 4)\\=&x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4\\=&-4x + 8\\=&-4(x - 2)\end{aligned}$
已知$x＜2$，因此$x-2＜0$，
根据不等式的性质，负数乘负数得正，所以$-4(x-2) ＞ 0$，
即$(x-2)^2 - (x^2 - 4) ＞ 0$，
因此$(x-2)^2 ＞ x^2 - 4$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小；整式化简；不等式的性质
【点评】
本题考查代数式大小比较的基础方法，作差法是比较代数式大小最常用的方法之一，解题的关键是正确对作差后的式子进行化简，再结合已知条件判断差的正负，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式的大小，常用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负来确定大小关系。第一步先计算两个式子的差，第二步对差进行化简，第三步结合已知条件$x＜2$判断差的符号，最后根据差的符号得出两个式子的大小关系。
【解析】
采用作差法比较大小：
计算两式的差：
$\begin{aligned}&(x-2)^2 - (x^2 - 4)\\=&x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4\\=&-4x + 8\\=&-4(x - 2)\end{aligned}$
已知$x＜2$，因此$x-2＜0$，
根据不等式的性质，负数乘负数得正，所以$-4(x-2) ＞ 0$，
即$(x-2)^2 - (x^2 - 4) ＞ 0$，
因此$(x-2)^2 ＞ x^2 - 4$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小；整式化简；不等式的性质
【点评】
本题考查代数式大小比较的基础方法，作差法是比较代数式大小最常用的方法之一，解题的关键是正确对作差后的式子进行化简，再结合已知条件判断差的正负，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
