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1. 如图,点A,B分别在反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$和$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上,线段AB与x轴相交于点P.
(1)如图①,$AB ⊥ x$轴,且$|AP|=2|PB|$,$k_1+k_2=1$.求$k_1,k_2$的值;
(2)如图②,点P是线段AB的中点,且$△ OAB$的面积为2.求$k_1-k_2$的值.
(1)如图①,$AB ⊥ x$轴,且$|AP|=2|PB|$,$k_1+k_2=1$.求$k_1,k_2$的值;
(2)如图②,点P是线段AB的中点,且$△ OAB$的面积为2.求$k_1-k_2$的值.
答案
1.(1) 连结 OA,OB,
∵ AB ⊥ x 轴,
∴ $S_{△AOP}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BOP}=-\frac{1}{2}k_2$.
∵ $|AP|=2|PB|$,
∴ $S_{△AOP}=2S_{△BOP}$,即 $\frac{1}{2}k_1=2×(-\frac{1}{2}k_2)$,
∴ $k_1+2k_2=0$ ①.
∵ $k_1+k_2=1$ ②,①-②得 $k_2=-1$,
∴ $k_1=2$.
(2) 作 $AM ⊥ x$ 轴于点 M,$BN ⊥ x$ 轴于点 N,则 $S_{△AOM}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BON}=-\frac{1}{2}k_2$,
∵ 点 P 是线段 AB 的中点,且$△ OAB$ 的面积为 2,
∴ $S_{△AOP}=S_{△BOP}=1$,在$△ APM$ 和$△ BPN$ 中,$\begin{cases} ∠APM=∠BPN, \\ ∠AMP=∠BNP=90°, \\ AP=BP, \end{cases}$
∴ $△APM≅△BPN$(AAS),
∴ $S_{△APM}=S_{△BPN}$,
∴ $\frac{1}{2}k_1-1=1-(-\frac{1}{2}k_2)$,整理得 $k_1-k_2=4$.
解析
【分析】
(1) 本小问可借助反比例函数系数k的几何意义求解：首先连接OA、OB，AB垂直x轴时，△AOP和△BOP共高OP，面积比等于底AP与PB的长度比；再结合反比例函数k的几何意义，A在第一象限可得$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}k_1$，B在第四象限$k_2＜0$，因此$S_{△ BOP}=-\frac{1}{2}k_2$，结合$|AP|=2|PB|$得到$k_1$与$k_2$的等量关系，联立$k_1+k_2=1$即可求解。
(2) 本小问已知P为AB中点，先作AM⊥x轴、BN⊥x轴构造直角三角形，利用AAS可证△APM≌△BPN，得两个小三角形面积相等；由△OAB面积为2可得$S_{△ AOP}=S_{△ BOP}=1$，再结合反比例函数k的几何意义，根据面积的等量关系整理即可求出$k_1-k_2$的值。
【解析】
(1) 连结 OA,OB,
∵ AB ⊥ x 轴,
∴ $S_{△AOP}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BOP}=-\frac{1}{2}k_2$.
∵ $|AP|=2|PB|$,
∴ $S_{△AOP}=2S_{△BOP}$,即 $\frac{1}{2}k_1=2×(-\frac{1}{2}k_2)$,
∴ $k_1+2k_2=0$ ①.
∵ $k_1+k_2=1$ ②,①-②得 $k_2=-1$,
∴ $k_1=2$.
(2) 作 $AM ⊥ x$ 轴于点 M,$BN ⊥ x$ 轴于点 N,则 $S_{△AOM}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BON}=-\frac{1}{2}k_2$,
∵ 点 P 是线段 AB 的中点,且$△ OAB$ 的面积为 2,
∴ $S_{△AOP}=S_{△BOP}=1$,在$△ APM$ 和$△ BPN$ 中,$\begin{cases} ∠APM=∠BPN, \\ ∠AMP=∠BNP=90°, \\ AP=BP, \end{cases}$
∴ $△APM≅△BPN$(AAS),
∴ $S_{△APM}=S_{△BPN}$,
∴ $\frac{1}{2}k_1-1=1-(-\frac{1}{2}k_2)$,整理得 $k_1-k_2=4$.
【答案】
(1) $k_1=2$，$k_2=-1$
(2) $k_1-k_2=4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是双反比例函数的典型综合题，核心考查反比例函数系数k的几何意义的应用，结合了全等三角形、中点性质、面积等量关系等知识点，解题时要善于结合图形特征挖掘隐含的数量关系，利用k的几何意义简化运算。
【难度系数】
0.6
(1) 本小问可借助反比例函数系数k的几何意义求解：首先连接OA、OB，AB垂直x轴时，△AOP和△BOP共高OP，面积比等于底AP与PB的长度比；再结合反比例函数k的几何意义，A在第一象限可得$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}k_1$，B在第四象限$k_2＜0$，因此$S_{△ BOP}=-\frac{1}{2}k_2$，结合$|AP|=2|PB|$得到$k_1$与$k_2$的等量关系，联立$k_1+k_2=1$即可求解。
(2) 本小问已知P为AB中点，先作AM⊥x轴、BN⊥x轴构造直角三角形，利用AAS可证△APM≌△BPN，得两个小三角形面积相等；由△OAB面积为2可得$S_{△ AOP}=S_{△ BOP}=1$，再结合反比例函数k的几何意义，根据面积的等量关系整理即可求出$k_1-k_2$的值。
【解析】
(1) 连结 OA,OB,
∵ AB ⊥ x 轴,
∴ $S_{△AOP}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BOP}=-\frac{1}{2}k_2$.
∵ $|AP|=2|PB|$,
∴ $S_{△AOP}=2S_{△BOP}$,即 $\frac{1}{2}k_1=2×(-\frac{1}{2}k_2)$,
∴ $k_1+2k_2=0$ ①.
∵ $k_1+k_2=1$ ②,①-②得 $k_2=-1$,
∴ $k_1=2$.
(2) 作 $AM ⊥ x$ 轴于点 M,$BN ⊥ x$ 轴于点 N,则 $S_{△AOM}=\frac{1}{2}k_1$,$S_{△BON}=-\frac{1}{2}k_2$,
∵ 点 P 是线段 AB 的中点,且$△ OAB$ 的面积为 2,
∴ $S_{△AOP}=S_{△BOP}=1$,在$△ APM$ 和$△ BPN$ 中,$\begin{cases} ∠APM=∠BPN, \\ ∠AMP=∠BNP=90°, \\ AP=BP, \end{cases}$
∴ $△APM≅△BPN$(AAS),
∴ $S_{△APM}=S_{△BPN}$,
∴ $\frac{1}{2}k_1-1=1-(-\frac{1}{2}k_2)$,整理得 $k_1-k_2=4$.
【答案】
(1) $k_1=2$，$k_2=-1$
(2) $k_1-k_2=4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是双反比例函数的典型综合题，核心考查反比例函数系数k的几何意义的应用，结合了全等三角形、中点性质、面积等量关系等知识点，解题时要善于结合图形特征挖掘隐含的数量关系，利用k的几何意义简化运算。
【难度系数】
0.6
2. 如图,矩形ABCD的面积为8,它的边CD位于x轴上.双曲线$y=\frac{4}{x}$经过点A,与矩形的边BC交于点E,点B在双曲线$y=\frac{4+k}{x}$上,连结AE并延长交x轴于点F,连结BF.
(1)求k的值;
(2)求$△ BEF$的面积.
(1)求k的值;
(2)求$△ BEF$的面积.
答案
2.(1)设 $A(a,\frac{4}{a}),B(b,\frac{4+k}{b})$,根据题意可知$\begin{cases} \frac{4}{a}=\frac{4+k}{b}, \\ (b-a)×\frac{4}{a}=8, \end{cases}$ 整理可得 $k=8$.
(2)
∵ $\frac{4}{a}=\frac{4+k}{b}$,
∴ $3a=b$.
∵ 点 E 在 $y=\frac{4}{x}$ 上,且点 B 和点 E 的横坐标相等,
∴ $E(b,\frac{4}{b})$,即 $E(3a,\frac{4}{3a})$,设直线 AE 的函数表达式为 $y=kx+m$,将 $A(a,\frac{4}{a})$ 和 $E(3a,\frac{4}{3a})$ 代入可得$\begin{cases} ak+m=\frac{4}{a}, \\ 3ak+m=\frac{4}{3a}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\frac{4}{3a^2}, \\ m=\frac{16}{3a}, \end{cases}$ 故直线 AE 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}$,令 $y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}=0$,可得 $x=4a$,
∴ $F(4a,0)$.
∵ $B(b,\frac{4+k}{b})$,即 $B(3a,\frac{12}{3a})$,
∴ $BE=\frac{12}{3a}-\frac{4}{3a}=\frac{8}{3a}$.
∵ 点 C 的横坐标和点 B 的横坐标相等,
∴ $CF=4a-3a=a$,
∴ $S_{△BEF}=\frac{1}{2}×BE×CF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3a}×a=\frac{4}{3}$.
(2)
∵ $\frac{4}{a}=\frac{4+k}{b}$,
∴ $3a=b$.
∵ 点 E 在 $y=\frac{4}{x}$ 上,且点 B 和点 E 的横坐标相等,
∴ $E(b,\frac{4}{b})$,即 $E(3a,\frac{4}{3a})$,设直线 AE 的函数表达式为 $y=kx+m$,将 $A(a,\frac{4}{a})$ 和 $E(3a,\frac{4}{3a})$ 代入可得$\begin{cases} ak+m=\frac{4}{a}, \\ 3ak+m=\frac{4}{3a}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\frac{4}{3a^2}, \\ m=\frac{16}{3a}, \end{cases}$ 故直线 AE 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}$,令 $y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}=0$,可得 $x=4a$,
∴ $F(4a,0)$.
∵ $B(b,\frac{4+k}{b})$,即 $B(3a,\frac{12}{3a})$,
∴ $BE=\frac{12}{3a}-\frac{4}{3a}=\frac{8}{3a}$.
∵ 点 C 的横坐标和点 B 的横坐标相等,
∴ $CF=4a-3a=a$,
∴ $S_{△BEF}=\frac{1}{2}×BE×CF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3a}×a=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求k的值时，首先利用矩形的性质可知A、B两点纵坐标相等，矩形面积等于AB的长度（B的横坐标与A的横坐标之差）乘A的纵坐标。我们先设出A、B两点的坐标，结合两点纵坐标相等、矩形面积为8的条件列方程组，整理即可求出k。
(2) 求$△ BEF$的面积时，首先E点与B点横坐标相同，且E在$y=\frac{4}{x}$上，可先表示出E点坐标；再用待定系数法求出直线AE的解析式，令y=0得到F点坐标；BE的长度为B、E两点的纵坐标差，CF的长度为F、C两点的横坐标差（C点横坐标与B点相同），最后利用三角形面积公式计算，参数a会自动消去得到结果。
【解析】
(1) 设点$A(a,\frac{4}{a})$，$B(b,\frac{4+k}{b})$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ A、B纵坐标相等，矩形面积为$AB×AD=(b-a)×\frac{4}{a}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} \frac{4}{a}=\frac{4+k}{b} \\ (b-a)×\frac{4}{a}=8 \end{cases}$
整理第二个方程得$\frac{4(b-a)}{a}=8$，即$\frac{b}{a}-1=2$，解得$b=3a$。
将$b=3a$代入第一个方程得$\frac{4}{a}=\frac{4+k}{3a}$，两边同乘$3a$得$12=4+k$，解得$k=8$。
(2) 由(1)知$b=3a$，$k=8$，因此B点坐标为$(3a,\frac{12}{3a})=(3a,\frac{4}{a})$。
∵ E点在BC边上，横坐标与B点相同，且在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，
∴ $E(3a,\frac{4}{3a})$。
设直线AE的解析式为$y=mx+n$，将$A(a,\frac{4}{a})$、$E(3a,\frac{4}{3a})$代入得：
$\begin{cases} am+n=\frac{4}{a} \\ 3am+n=\frac{4}{3a} \end{cases}$
两式相减得$-2am=\frac{8}{3a}$，解得$m=-\frac{4}{3a^2}$，代入第一个方程得$n=\frac{16}{3a}$，因此直线AE的解析式为$y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}$。
令$y=0$，解得$x=4a$，即$F(4a,0)$。
因此$BE=\frac{4}{a}-\frac{4}{3a}=\frac{8}{3a}$，$CF=4a-3a=a$，
△BEF以BE为底，CF为BE对应的高，因此：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×BE×CF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3a}×a=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$k=8$；(2)$△ BEF$的面积为$\frac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是双反比例函数与几何结合的典型题型，核心是利用反比例函数上点的坐标特征引入参数，结合矩形性质、一次函数解析式推导各点坐标关系，计算面积时参数自动消去，很好地考察了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求k的值时，首先利用矩形的性质可知A、B两点纵坐标相等，矩形面积等于AB的长度（B的横坐标与A的横坐标之差）乘A的纵坐标。我们先设出A、B两点的坐标，结合两点纵坐标相等、矩形面积为8的条件列方程组，整理即可求出k。
(2) 求$△ BEF$的面积时，首先E点与B点横坐标相同，且E在$y=\frac{4}{x}$上，可先表示出E点坐标；再用待定系数法求出直线AE的解析式，令y=0得到F点坐标；BE的长度为B、E两点的纵坐标差，CF的长度为F、C两点的横坐标差（C点横坐标与B点相同），最后利用三角形面积公式计算，参数a会自动消去得到结果。
【解析】
(1) 设点$A(a,\frac{4}{a})$，$B(b,\frac{4+k}{b})$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ A、B纵坐标相等，矩形面积为$AB×AD=(b-a)×\frac{4}{a}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} \frac{4}{a}=\frac{4+k}{b} \\ (b-a)×\frac{4}{a}=8 \end{cases}$
整理第二个方程得$\frac{4(b-a)}{a}=8$，即$\frac{b}{a}-1=2$，解得$b=3a$。
将$b=3a$代入第一个方程得$\frac{4}{a}=\frac{4+k}{3a}$，两边同乘$3a$得$12=4+k$，解得$k=8$。
(2) 由(1)知$b=3a$，$k=8$，因此B点坐标为$(3a,\frac{12}{3a})=(3a,\frac{4}{a})$。
∵ E点在BC边上，横坐标与B点相同，且在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，
∴ $E(3a,\frac{4}{3a})$。
设直线AE的解析式为$y=mx+n$，将$A(a,\frac{4}{a})$、$E(3a,\frac{4}{3a})$代入得：
$\begin{cases} am+n=\frac{4}{a} \\ 3am+n=\frac{4}{3a} \end{cases}$
两式相减得$-2am=\frac{8}{3a}$，解得$m=-\frac{4}{3a^2}$，代入第一个方程得$n=\frac{16}{3a}$，因此直线AE的解析式为$y=-\frac{4}{3a^2}x+\frac{16}{3a}$。
令$y=0$，解得$x=4a$，即$F(4a,0)$。
因此$BE=\frac{4}{a}-\frac{4}{3a}=\frac{8}{3a}$，$CF=4a-3a=a$，
△BEF以BE为底，CF为BE对应的高，因此：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×BE×CF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3a}×a=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$k=8$；(2)$△ BEF$的面积为$\frac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是双反比例函数与几何结合的典型题型，核心是利用反比例函数上点的坐标特征引入参数，结合矩形性质、一次函数解析式推导各点坐标关系，计算面积时参数自动消去，很好地考察了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
