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1. 如图，$△ ABC$为$\odot O$的内接三角形，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，直径$AE$平分$∠ BAD$，交$BC$于点$F$，连结$BE$.
(1)求证:$BE=BF$;
(2)若$AB=10$，$BE=5$，求$DF$的长.
(1)求证:$BE=BF$;
(2)若$AB=10$，$BE=5$，求$DF$的长.
答案
(1)
∵ AE 为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABE=90^{\circ },\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90^{\circ }$.
$\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADF=90^{\circ },\therefore ∠ AFD+∠ FAD=90^{\circ }.\because AE$ 平分$∠ BAD,\therefore ∠ BAE=∠ FAD,\therefore ∠ AEB=∠ AFD=∠ BFE,\therefore BE=BF$.
(2)如图,过点 F 作 $FM ⊥ AB$ 于点 M,则$∠ AMF=90^{\circ }.\because ∠ ABE=∠ AMF=90^{\circ },∠ BAE=∠ MAF,\therefore △ AMF ∽ △ ABE,\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{MF}{BE}$,
$\therefore \frac{AM}{MF}=\frac{AB}{BE}=\frac{10}{5}=2$.设 $MF=x$,则 $AM=2x$,$\therefore BM=10-2x$.在 $Rt△ BMF$ 中,$BF=BE=5$,$BM^2+MF^2=BF^2$,$\therefore (10-2x)^2+x^2=5^2$,解得 $x_1=3$,$x_2=5$(舍去),即 $MF=3$.
∵ AE 平分$∠ BAD$,$FD ⊥ AD$,$FM ⊥ AB$,$\therefore DF=MF=3$.
解析
【分析】
(1) 要证$BE=BF$，需证两角相等推导等腰：先利用直径所对圆周角为直角，得$∠ABE=90°$，推出$∠BAE+∠AEB=90°$；再由$AD⊥BC$得$∠ADF=90°$，推出$∠FAD+∠AFD=90°$；结合$AE$平分$∠BAD$得$∠BAE=∠FAD$，由等角的余角相等得$∠AEB=∠AFD$，再结合对顶角$∠AFD=∠BFE$，即可得$∠BEF=∠BFE$，从而证得$BE=BF$。
(2) 要求$DF$的长，可利用角平分线性质转化：过$F$作$FM⊥AB$于$M$，由角平分线上的点到角两边距离相等得$DF=MF$，只需算$MF$的长即可。先证$△AMF∽△ABE$，得到$AM$与$MF$的比值为$AB:BE=2$，设$MF=x$，用$x$表示$BM$，再在$Rt△BMF$中用勾股定理列方程求解，舍去不合理解即可得$MF$的长，即$DF$的长。
【解析】
(1) $\because AE$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ABE=90^{\circ }$，$\therefore ∠BAE+∠AEB=90^{\circ }$。
$\because AD⊥BC$，$\therefore ∠ADF=90^{\circ }$，$\therefore ∠AFD+∠FAD=90^{\circ }$。
$\because AE$平分$∠BAD$，$\therefore ∠BAE=∠FAD$，$\therefore ∠AEB=∠AFD$。
又$\because ∠AFD=∠BFE$（对顶角相等），$\therefore ∠AEB=∠BFE$，$\therefore BE=BF$。
(2) 如图，过点$F$作$FM⊥AB$于点$M$，则$∠AMF=90^{\circ }$。
$\because ∠ABE=∠AMF=90^{\circ },∠BAE=∠MAF$，$\therefore △AMF ∽ △ABE$，
$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{MF}{BE}$，$\therefore \frac{AM}{MF}=\frac{AB}{BE}=\frac{10}{5}=2$。
设$MF=x$，则$AM=2x$，$\therefore BM=10-2x$。
在$Rt△BMF$中，$BF=BE=5$，由勾股定理得$BM^2+MF^2=BF^2$，
$\therefore (10-2x)^2+x^2=5^2$，整理得$x^2-8x+15=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$（$x=5$时$AM=10$，即$M$与$B$重合，不符合题意，舍去），即$MF=3$。
$\because AE$平分$∠BAD$，$FD⊥AD$，$FM⊥AB$，由角平分线的性质得$DF=MF=3$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=BF$；
(2) $DF$的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
圆周角定理；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问基础，侧重考查圆周角定理和等腰三角形的判定；第二问需要构造辅助线，结合角平分线性质转化线段，再利用相似和勾股定理计算，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$BE=BF$，需证两角相等推导等腰：先利用直径所对圆周角为直角，得$∠ABE=90°$，推出$∠BAE+∠AEB=90°$；再由$AD⊥BC$得$∠ADF=90°$，推出$∠FAD+∠AFD=90°$；结合$AE$平分$∠BAD$得$∠BAE=∠FAD$，由等角的余角相等得$∠AEB=∠AFD$，再结合对顶角$∠AFD=∠BFE$，即可得$∠BEF=∠BFE$，从而证得$BE=BF$。
(2) 要求$DF$的长，可利用角平分线性质转化：过$F$作$FM⊥AB$于$M$，由角平分线上的点到角两边距离相等得$DF=MF$，只需算$MF$的长即可。先证$△AMF∽△ABE$，得到$AM$与$MF$的比值为$AB:BE=2$，设$MF=x$，用$x$表示$BM$，再在$Rt△BMF$中用勾股定理列方程求解，舍去不合理解即可得$MF$的长，即$DF$的长。
【解析】
(1) $\because AE$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ABE=90^{\circ }$，$\therefore ∠BAE+∠AEB=90^{\circ }$。
$\because AD⊥BC$，$\therefore ∠ADF=90^{\circ }$，$\therefore ∠AFD+∠FAD=90^{\circ }$。
$\because AE$平分$∠BAD$，$\therefore ∠BAE=∠FAD$，$\therefore ∠AEB=∠AFD$。
又$\because ∠AFD=∠BFE$（对顶角相等），$\therefore ∠AEB=∠BFE$，$\therefore BE=BF$。
(2) 如图，过点$F$作$FM⊥AB$于点$M$，则$∠AMF=90^{\circ }$。
$\because ∠ABE=∠AMF=90^{\circ },∠BAE=∠MAF$，$\therefore △AMF ∽ △ABE$，
$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{MF}{BE}$，$\therefore \frac{AM}{MF}=\frac{AB}{BE}=\frac{10}{5}=2$。
设$MF=x$，则$AM=2x$，$\therefore BM=10-2x$。
在$Rt△BMF$中，$BF=BE=5$，由勾股定理得$BM^2+MF^2=BF^2$，
$\therefore (10-2x)^2+x^2=5^2$，整理得$x^2-8x+15=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$（$x=5$时$AM=10$，即$M$与$B$重合，不符合题意，舍去），即$MF=3$。
$\because AE$平分$∠BAD$，$FD⊥AD$，$FM⊥AB$，由角平分线的性质得$DF=MF=3$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=BF$；
(2) $DF$的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
圆周角定理；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问基础，侧重考查圆周角定理和等腰三角形的判定；第二问需要构造辅助线，结合角平分线性质转化线段，再利用相似和勾股定理计算，较好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,点$E$在$BC$边上,且$CA=CE$,过$A,C,E$三点的$\odot O$交$AB$于另一点$F$,作直径$AD$,连结$DE$并延长交$AB$于点$G$,连结$CD,CF$.
(1)求证:四边形$DCFG$是平行四边形;
(2)当$BE=4$,$CD=\frac{3}{8}AB$时,求$\odot O$的直径长.
(1)求证:四边形$DCFG$是平行四边形;
(2)当$BE=4$,$CD=\frac{3}{8}AB$时,求$\odot O$的直径长.
答案
(1)如图,连结 AE,$\because ∠ BAC=90^{\circ },\therefore CF$ 为$\odot O$的直径.
$\because AC=EC,\therefore CF ⊥ AE.\because AD$ 为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AED=90^{\circ }$,即 $GD ⊥ AE$,$\therefore CF // DG.\because AD$ 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACD=90^{\circ },\therefore ∠ ACD+∠ BAC=180^{\circ },\therefore AB // CD$,$\therefore$ 四边形 $DCFG$ 为平行四边形.
(2)由 $CD=\frac{3}{8}AB$,可设 $CD=3x$,$AB=8x$,$\therefore CD=FG=3x$.
$\because ∠ AOF=∠ COD,\therefore AF=CD=3x$,$\therefore BG=8x-3x-3x=2x$.
$\because GE // CF,\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{BG}{GF}=\frac{2}{3}$.又 $\because BE=4$,$\therefore AC=CE=6$,$\therefore BC=6+4=10$,$\therefore AB=\sqrt{10^2-6^2}=8=8x$,$\therefore x=1$.在 $Rt△ ACF$ 中,$AF=3$,$AC=6$,$\therefore CF=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$,即$\odot O$的直径长为 $3\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形$DCFG$是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由$∠BAC=90°$，根据90°圆周角所对弦是直径，得$CF$是$\odot O$的直径；结合$CA=CE$，由等腰三角形三线合一得$CF⊥AE$；再由$AD$是直径，得直径所对圆周角$∠AED=90°$，即$GD⊥AE$，可推$CF// DG$。另外由$AD$是直径得$∠ACD=90°$，可证$AB// CD$，两组对边分别平行即可判定平行四边形。
(2)求$\odot O$直径，可先根据$CD$与$AB$的比例设未知数，结合平行四边形对边相等、同圆中相等圆心角所对弦相等得到各线段的关系，再由平行线分线段成比例求出$CE$即$AC$的长度，用勾股定理求出$AB$后解得未知数的值，最后在直角三角形中用勾股定理求直径$CF$即可。
【解析】
(1)证明：如图，连结$AE$，
$\because ∠BAC=90^{\circ }$，$\therefore CF$为$\odot O$的直径。
$\because AC=EC$，$\therefore CF ⊥ AE$。
$\because AD$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠AED=90^{\circ }$，即 $GD ⊥ AE$，
$\therefore CF // DG$。
$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACD=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ACD+∠BAC=180^{\circ }$，$\therefore AB // CD$，
$\therefore$ 四边形 $DCFG$ 为平行四边形。
(2)解：由 $CD=\frac{3}{8}AB$，设 $CD=3x$，$AB=8x$，
$\because$ 四边形$DCFG$是平行四边形，$\therefore CD=FG=3x$。
$\because ∠AOF=∠COD$，$\therefore AF=CD=3x$，
$\therefore BG=8x-3x-3x=2x$。
$\because GE // CF$，$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{BG}{GF}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。
又 $\because BE=4$，$\therefore AC=CE=6$，$\therefore BC=6+4=10$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{10^2-6^2}=8=8x$，$\therefore x=1$。
在 $Rt△ ACF$ 中，$AF=3$，$AC=6$，
$\therefore CF=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，即$\odot O$的直径长为 $3\sqrt{5}$。
【答案】
(1)四边形$DCFG$是平行四边形，证明成立；
(2)$\odot O$的直径长为$3\sqrt{5}$。
【知识点】
圆周角定理、平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题是圆与平面几何的综合题，结合了圆的基本性质、平行四边形判定、比例线段及勾股定理等知识点，解题的关键是合理添加辅助线，梳理各边角之间的关联，灵活运用相关性质推导求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明四边形$DCFG$是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由$∠BAC=90°$，根据90°圆周角所对弦是直径，得$CF$是$\odot O$的直径；结合$CA=CE$，由等腰三角形三线合一得$CF⊥AE$；再由$AD$是直径，得直径所对圆周角$∠AED=90°$，即$GD⊥AE$，可推$CF// DG$。另外由$AD$是直径得$∠ACD=90°$，可证$AB// CD$，两组对边分别平行即可判定平行四边形。
(2)求$\odot O$直径，可先根据$CD$与$AB$的比例设未知数，结合平行四边形对边相等、同圆中相等圆心角所对弦相等得到各线段的关系，再由平行线分线段成比例求出$CE$即$AC$的长度，用勾股定理求出$AB$后解得未知数的值，最后在直角三角形中用勾股定理求直径$CF$即可。
【解析】
(1)证明：如图，连结$AE$，
$\because ∠BAC=90^{\circ }$，$\therefore CF$为$\odot O$的直径。
$\because AC=EC$，$\therefore CF ⊥ AE$。
$\because AD$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠AED=90^{\circ }$，即 $GD ⊥ AE$，
$\therefore CF // DG$。
$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACD=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ACD+∠BAC=180^{\circ }$，$\therefore AB // CD$，
$\therefore$ 四边形 $DCFG$ 为平行四边形。
(2)解：由 $CD=\frac{3}{8}AB$，设 $CD=3x$，$AB=8x$，
$\because$ 四边形$DCFG$是平行四边形，$\therefore CD=FG=3x$。
$\because ∠AOF=∠COD$，$\therefore AF=CD=3x$，
$\therefore BG=8x-3x-3x=2x$。
$\because GE // CF$，$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{BG}{GF}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。
又 $\because BE=4$，$\therefore AC=CE=6$，$\therefore BC=6+4=10$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{10^2-6^2}=8=8x$，$\therefore x=1$。
在 $Rt△ ACF$ 中，$AF=3$，$AC=6$，
$\therefore CF=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，即$\odot O$的直径长为 $3\sqrt{5}$。
【答案】
(1)四边形$DCFG$是平行四边形，证明成立；
(2)$\odot O$的直径长为$3\sqrt{5}$。
【知识点】
圆周角定理、平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题是圆与平面几何的综合题，结合了圆的基本性质、平行四边形判定、比例线段及勾股定理等知识点，解题的关键是合理添加辅助线，梳理各边角之间的关联，灵活运用相关性质推导求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，$CO$的延长线交$AB$于点$D$.
(1)求证: $AO ⊥ BC$;
(2)若$BC=6$，$AB=3\sqrt{10}$，求$\dfrac{AD}{BD}$的值.
(1)求证: $AO ⊥ BC$;
(2)若$BC=6$，$AB=3\sqrt{10}$，求$\dfrac{AD}{BD}$的值.
答案
(1)如图,连结 OB,延长 AO 交 BC 于点 E.
$\because AB=AC$,$AO=BO=CO$,$\therefore △ ABO ≌ △ ACO$,$\therefore ∠ BAO=∠ CAO$,即 AE 是等腰$△ ABC$的角平分线. $\because AB=AC$,$\therefore AE$ 也是等腰$△ ABC$的高,$\therefore AO ⊥ BC$.
(2)如图,延长 CD 交$\odot O$于点 F,连结 BF.设 $AO=BO=CO=R$,
$\because AE ⊥ BC$,$BC=6$,$\therefore BE=EC=3$,$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=9$,$\therefore OE=9-R$,$\therefore$ 在 $Rt△ BEO$ 中,$BE^2+OE^2=BO^2$,即 $3^2+(9-R)^2=R^2$,解得 $R=5$,$\therefore AO=5$,$OE=4$. $\because CF$ 是$\odot O$的直径,$\therefore BF ⊥ BC$. $\because OE ⊥ BC$,$\therefore BF // OE$,且点 E 为 BC 的中点,$\therefore OE$ 是$△ CBF$的中位线,$\therefore BF=2OE=8$. $\because BF // AE$,$\therefore ∠ DFB=∠ DOA$,$∠ DBF=∠ DAO$,$\therefore △ DFB ∽ △ DOA$,$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AO}{BF}=\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
(1) 要证$AO⊥BC$，已知$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明$AO$所在直线平分$∠ BAC$即可。连接$OB$、$OC$，利用圆半径相等的性质，通过SSS证明$△ ABO≌△ ACO$，得到角相等即可推出$AO$是角平分线，进而得到垂直关系。
(2) 要求$\dfrac{AD}{BD}$的值，先利用第一问的垂直结论，结合勾股定理求出$AE$的长度，再在$Rt△ BEO$中用勾股定理求出圆的半径。之后延长$CD$交圆于$F$，连接$BF$，利用直径所对圆周角是直角得到$BF⊥BC$，推出$BF// AO$，证明$△ DFB∽△ DOA$，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：如图，连结$OB$，延长$AO$交$BC$于点$E$。
$\because AB=AC$，$AO=BO=CO$（圆的半径相等），
$\therefore △ ABO≌△ ACO(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAO=∠ CAO$，即$AE$是等腰$△ ABC$的角平分线。
又$\because AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore AE$也是等腰$△ ABC$的高，
$\therefore AO⊥BC$。
(2) 解：如图，延长$CD$交$\odot O$于点$F$，连结$BF$。设$AO=BO=CO=R$，
$\because AE⊥BC$，$BC=6$，
$\therefore BE=EC=3$，
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2-3^2}=\sqrt{81}=9$，
$\therefore OE=AE-AO=9-R$，
在$Rt△ BEO$中，由勾股定理得$BE^2+OE^2=BO^2$，
即$3^2+(9-R)^2=R^2$，
解得$R=5$，
$\therefore AO=5$，$OE=9-5=4$。
$\because CF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ FBC=90°$，即$BF⊥BC$，
又$\because OE⊥BC$，
$\therefore BF// OE$，
$\because O$是$CF$中点，
$\therefore OE$是$△ CBF$的中位线，
$\therefore BF=2OE=8$。
$\because BF// AO$，
$\therefore ∠ DFB=∠ DOA$，$∠ DBF=∠ DAO$，
$\therefore △ DFB∽△ DOA(\mathrm{AA})$，
$\therefore \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AO}{BF}=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\dfrac{5}{8}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的常见综合题，第一问思路直接，侧重考查全等三角形判定和等腰三角形的性质；第二问对辅助线构造能力有一定要求，需要结合圆的性质构造相似三角形，结合勾股定理求解线段长度，掌握圆相关的常见辅助线做法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$AO⊥BC$，已知$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明$AO$所在直线平分$∠ BAC$即可。连接$OB$、$OC$，利用圆半径相等的性质，通过SSS证明$△ ABO≌△ ACO$，得到角相等即可推出$AO$是角平分线，进而得到垂直关系。
(2) 要求$\dfrac{AD}{BD}$的值，先利用第一问的垂直结论，结合勾股定理求出$AE$的长度，再在$Rt△ BEO$中用勾股定理求出圆的半径。之后延长$CD$交圆于$F$，连接$BF$，利用直径所对圆周角是直角得到$BF⊥BC$，推出$BF// AO$，证明$△ DFB∽△ DOA$，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：如图，连结$OB$，延长$AO$交$BC$于点$E$。
$\because AB=AC$，$AO=BO=CO$（圆的半径相等），
$\therefore △ ABO≌△ ACO(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAO=∠ CAO$，即$AE$是等腰$△ ABC$的角平分线。
又$\because AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore AE$也是等腰$△ ABC$的高，
$\therefore AO⊥BC$。
(2) 解：如图，延长$CD$交$\odot O$于点$F$，连结$BF$。设$AO=BO=CO=R$，
$\because AE⊥BC$，$BC=6$，
$\therefore BE=EC=3$，
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2-3^2}=\sqrt{81}=9$，
$\therefore OE=AE-AO=9-R$，
在$Rt△ BEO$中，由勾股定理得$BE^2+OE^2=BO^2$，
即$3^2+(9-R)^2=R^2$，
解得$R=5$，
$\therefore AO=5$，$OE=9-5=4$。
$\because CF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ FBC=90°$，即$BF⊥BC$，
又$\because OE⊥BC$，
$\therefore BF// OE$，
$\because O$是$CF$中点，
$\therefore OE$是$△ CBF$的中位线，
$\therefore BF=2OE=8$。
$\because BF// AO$，
$\therefore ∠ DFB=∠ DOA$，$∠ DBF=∠ DAO$，
$\therefore △ DFB∽△ DOA(\mathrm{AA})$，
$\therefore \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AO}{BF}=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\dfrac{5}{8}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的常见综合题，第一问思路直接，侧重考查全等三角形判定和等腰三角形的性质；第二问对辅助线构造能力有一定要求，需要结合圆的性质构造相似三角形，结合勾股定理求解线段长度，掌握圆相关的常见辅助线做法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
