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8. （2024·无锡中考）如图，在$△ ABC$中，$AC=2$，$AB=3$，直线$CM // AB$，$E$是$BC$上的动点（端点除外），射线$AE$交$CM$于点$D$。在射线$AE$上取一点$P$，使得$AP=2ED$，作$PQ // AB$，交射线$AC$于点$Q$。设$AQ=x$，$PQ=y$。当$x=y$时，$CD=$
2
；在点$E$运动的过程中，$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{3x^2}{8-2x}$
。答案
8.2；$y=\frac{3x^2}{8-2x}$
解析
【分析】
解题时优先利用平行线性质判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立线段关系：第一步，由$CM// AB$证明$△ CDE∽△ BAE$，得到$DE$与$AE$的比例和$CD$的关联；第二步，由$PQ// AB$、$CM// AB$得$PQ// CD$，证明$△ AQP∽△ ACD$，得到$PQ$、$AQ$与$CD$、$AC$的比例，以及$AP$、$AD$与$AQ$、$AC$的比例；第三步，结合$AP=2ED$的条件联立比例式，先代入$x=y$的条件求解$CD$，再消去$CD$整理得到$y$关于$x$的函数表达式。
【解析】
1. 证明$△ CDE∽△ BAE$：
$\because CM// AB$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABE$，$∠ CDE=∠ BAE$，$\therefore △ CDE∽△ BAE$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{CD}{AB}$，设$CD=k$，已知$AB=3$，则$\frac{DE}{AE}=\frac{k}{3}$，即$AE=\frac{3}{k}DE$，
因此$AD=AE+DE=DE(\frac{3}{k}+1)$。
2. 证明$△ AQP∽△ ACD$：
$\because PQ// AB$，$CM// AB$，$\therefore PQ// CD$，
$\therefore ∠ AQP=∠ ACD$，$∠ APQ=∠ ADC$，$\therefore △ AQP∽△ ACD$，
$\therefore \frac{PQ}{CD}=\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AD}$，已知$AC=2$，$AQ=x$，$PQ=y$，
可得$\frac{y}{k}=\frac{x}{2}$，即$y=\frac{kx}{2}$ ①；
同时$\frac{AP}{AD}=\frac{x}{2}$，结合$AP=2ED$，得$AD=\frac{2AP}{x}=\frac{4DE}{x}$ ②。
3. 联立①②求解：
将$AD$的两个表达式联立，约去$DE$得$\frac{4}{x}=\frac{3}{k}+1$ ③。
● 求$x=y$时的$CD$：
将$x=y$代入①，得$x=\frac{kx}{2}$，$\because x≠0$，$\therefore k=2$，即$CD=2$。
● 求$y$关于$x$的函数表达式：
由①得$k=\frac{2y}{x}$，代入③得$\frac{4}{x}=\frac{3x}{2y}+1$，
化简得$\frac{4-x}{x}=\frac{3x}{2y}$，交叉相乘得$2y(4-x)=3x^2$，
整理得$y=\frac{3x^2}{8-2x}$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{y=\dfrac{3x^2}{8-2x}}$
【知识点】
相似三角形性质，平行线性质，比例式化简
【点评】
本题综合考查相似三角形的实际应用，需要通过平行线找到多组相似关系，结合已知线段等量关系联立比例式求解，解题时要注意梳理各条线段的对应关系，避免混淆相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.6
解题时优先利用平行线性质判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立线段关系：第一步，由$CM// AB$证明$△ CDE∽△ BAE$，得到$DE$与$AE$的比例和$CD$的关联；第二步，由$PQ// AB$、$CM// AB$得$PQ// CD$，证明$△ AQP∽△ ACD$，得到$PQ$、$AQ$与$CD$、$AC$的比例，以及$AP$、$AD$与$AQ$、$AC$的比例；第三步，结合$AP=2ED$的条件联立比例式，先代入$x=y$的条件求解$CD$，再消去$CD$整理得到$y$关于$x$的函数表达式。
【解析】
1. 证明$△ CDE∽△ BAE$：
$\because CM// AB$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABE$，$∠ CDE=∠ BAE$，$\therefore △ CDE∽△ BAE$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{CD}{AB}$，设$CD=k$，已知$AB=3$，则$\frac{DE}{AE}=\frac{k}{3}$，即$AE=\frac{3}{k}DE$，
因此$AD=AE+DE=DE(\frac{3}{k}+1)$。
2. 证明$△ AQP∽△ ACD$：
$\because PQ// AB$，$CM// AB$，$\therefore PQ// CD$，
$\therefore ∠ AQP=∠ ACD$，$∠ APQ=∠ ADC$，$\therefore △ AQP∽△ ACD$，
$\therefore \frac{PQ}{CD}=\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AD}$，已知$AC=2$，$AQ=x$，$PQ=y$，
可得$\frac{y}{k}=\frac{x}{2}$，即$y=\frac{kx}{2}$ ①；
同时$\frac{AP}{AD}=\frac{x}{2}$，结合$AP=2ED$，得$AD=\frac{2AP}{x}=\frac{4DE}{x}$ ②。
3. 联立①②求解：
将$AD$的两个表达式联立，约去$DE$得$\frac{4}{x}=\frac{3}{k}+1$ ③。
● 求$x=y$时的$CD$：
将$x=y$代入①，得$x=\frac{kx}{2}$，$\because x≠0$，$\therefore k=2$，即$CD=2$。
● 求$y$关于$x$的函数表达式：
由①得$k=\frac{2y}{x}$，代入③得$\frac{4}{x}=\frac{3x}{2y}+1$，
化简得$\frac{4-x}{x}=\frac{3x}{2y}$，交叉相乘得$2y(4-x)=3x^2$，
整理得$y=\frac{3x^2}{8-2x}$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{y=\dfrac{3x^2}{8-2x}}$
【知识点】
相似三角形性质，平行线性质，比例式化简
【点评】
本题综合考查相似三角形的实际应用，需要通过平行线找到多组相似关系，结合已知线段等量关系联立比例式求解，解题时要注意梳理各条线段的对应关系，避免混淆相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.6
三、解答题
9. 如图是一座矩形的展览馆地基，东边墙AB长45米，南边墙AD长35米，东墙点E和南墙点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，垂足为点E，FH⊥AD，垂足为点F，EG=75米，GH经过点A.求FH的长度.
＞＞ 对点专练 P87
9. 如图是一座矩形的展览馆地基，东边墙AB长45米，南边墙AD长35米，东墙点E和南墙点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，垂足为点E，FH⊥AD，垂足为点F，EG=75米，GH经过点A.求FH的长度.
＞＞ 对点专练 P87
答案
9.
∵ 东边墙AB长45米,南边墙AD长35米,东墙点E和南墙点F分别是 AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{45}{2}$米, $AF=\frac{35}{2}$米.
∵ $EG⊥AB$, 且$∠BAD=90°$,
∴ $EG// AD$,
∴ $∠AGE=∠HAF$.
∵ $FH⊥AD$,
∴ $∠AEG=∠HFA=90°$,
∴ $△AFH ∽ △GEA$,
∴ $\frac{FH}{AE}=\frac{AF}{EG}$, 即 $FH=\frac{\frac{35}{2}}{75}×\frac{45}{2} = 5.25$(米).
∵ 东边墙AB长45米,南边墙AD长35米,东墙点E和南墙点F分别是 AB,AD 的中点,
∴ $AE=\frac{45}{2}$米, $AF=\frac{35}{2}$米.
∵ $EG⊥AB$, 且$∠BAD=90°$,
∴ $EG// AD$,
∴ $∠AGE=∠HAF$.
∵ $FH⊥AD$,
∴ $∠AEG=∠HFA=90°$,
∴ $△AFH ∽ △GEA$,
∴ $\frac{FH}{AE}=\frac{AF}{EG}$, 即 $FH=\frac{\frac{35}{2}}{75}×\frac{45}{2} = 5.25$(米).
解析
【分析】
解题时首先根据中点性质求出AE、AF的长度，再结合垂直关系和矩形的直角特征推出EG//AD，得到一组相等的内错角，结合两个直角即可证明△AFH与△GEA相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列比例式，代入已知数值计算即可得到FH的长度。
【解析】
∵ 东边墙AB长45米，南边墙AD长35米，东墙点E和南墙点F分别是AB，AD的中点，
∴ $AE=\frac{45}{2}$米，$AF=\frac{35}{2}$米。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ BAD=90°$，
又
∵ $EG⊥ AB$，
∴ $EG// AD$，
∴ $∠ AGE=∠ HAF$。
∵ $FH⊥ AD$，
∴ $∠ AEG=∠ HFA=90°$，
∴ $△ AFH ∽ △ GEA$，
∴ $\frac{FH}{AE}=\frac{AF}{EG}$，
代入数值计算得：$FH=\frac{\frac{35}{2}}{75}×\frac{45}{2}=5.25$（米）。
【答案】
FH的长度为5.25米。
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.矩形的性质
3.平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查相似三角形的应用，解题的关键是结合已知条件找到相似的三角形，利用边的比例关系求解，能很好地锻炼学生将几何知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据中点性质求出AE、AF的长度，再结合垂直关系和矩形的直角特征推出EG//AD，得到一组相等的内错角，结合两个直角即可证明△AFH与△GEA相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列比例式，代入已知数值计算即可得到FH的长度。
【解析】
∵ 东边墙AB长45米，南边墙AD长35米，东墙点E和南墙点F分别是AB，AD的中点，
∴ $AE=\frac{45}{2}$米，$AF=\frac{35}{2}$米。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ BAD=90°$，
又
∵ $EG⊥ AB$，
∴ $EG// AD$，
∴ $∠ AGE=∠ HAF$。
∵ $FH⊥ AD$，
∴ $∠ AEG=∠ HFA=90°$，
∴ $△ AFH ∽ △ GEA$，
∴ $\frac{FH}{AE}=\frac{AF}{EG}$，
代入数值计算得：$FH=\frac{\frac{35}{2}}{75}×\frac{45}{2}=5.25$（米）。
【答案】
FH的长度为5.25米。
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.矩形的性质
3.平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查相似三角形的应用，解题的关键是结合已知条件找到相似的三角形，利用边的比例关系求解，能很好地锻炼学生将几何知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
10. （2024·武汉中考）问题背景:如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,连结BD,EF,求证:△BCD∽△FBE.
问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AD//BC,∠BCD=90°,点E是AB的中点,点F在边BC上,AD=2CF,EF与BD交于点G,求证:BG=FG.
问题拓展:如图③,在“问题探究”的条件下,连结AG,AD=CD,AG=FG,直接写出$\frac{EG}{GF}$的值.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AD//BC,∠BCD=90°,点E是AB的中点,点F在边BC上,AD=2CF,EF与BD交于点G,求证:BG=FG.
问题拓展:如图③,在“问题探究”的条件下,连结AG,AD=CD,AG=FG,直接写出$\frac{EG}{GF}$的值.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
10. 问题背景:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB=CD, ∠EBF=∠C=90°.
∵ E,F 分别是 AB,BC 的中点,
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$, 即 $\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ $△BCD∽△FBE$.
问题探究:
取 BD 的中点 H,连结 EH,HC,∵ E 是 AB 的中点,H 是 BD 的中点,
∴ $EH=\frac{1}{2}AD,EH// AD$. 又
∵ AD=2CF,
∴ EH=CF.
∵ AD//BC,
∴ EH//FC,
∴ 四边形 EHCF 是平行四边形,
∴ EF//CH,
∴ ∠GFB=∠HCB. 又
∵ ∠BCD=90°,H 是 BD 的中点,
∴ HC=$\frac{1}{2}$BD=BH,
∴ ∠HBC=∠HCB,
∴ ∠GBF=∠GFB,
∴ BG=FG.
问题拓展:$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 解析:如图②所示,过点 F 作 $FM⊥AD$, 则四边形 MFCD 是矩形,连结 AF,
∵ AD=2CF=CD,
∴ AM=MD=FC=$\frac{1}{2}AD$,设 AD=2a,则 MF=CD=2a,AM=a.
在 Rt△AMF 中, $AF=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$.
∵ AG=FG,BG=FG,
∴ AG=BG. 又
∵ E 是 AB 的中点,
∴ EF 垂直平分 AB,
∴ AF=BF, ∠BEG=90°. 在 △AFG 和 △BFG 中, $\begin{cases} AG=BG, \\ GF=GF, \\ FA=FB, \end{cases}$
∴ △AFG≌△BFG(SSS), 设 ∠GBF=∠GFB=α, 则 ∠GAF=∠GFA=α,
∴ ∠BGE=∠GBF+∠GFB=2α. 又
∵ AD//BC,
∴ ∠MAF=∠AFB=∠GFA+∠GFB=2α,
∴ ∠MAF=∠EGB. 又
∵ ∠BEG=∠AMF=90°,
∴ △BEG∽△FMA,
∴ $\frac{EG}{GF}=\frac{EG}{BG}=\frac{AM}{AF}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
1. 问题背景：要证两个三角形相似，已知矩形的直角条件，结合中点给出的边的比例关系，利用“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理即可证明。
2. 问题探究：要证BG=FG，可转化为证对应底角相等。通过取BD中点构造三角形中位线，结合已知AD和CF的数量关系，证得平行四边形后得到平行线，再利用直角三角形斜边中线的性质推导角相等，即可得证。
3. 问题拓展：结合前序结论AG=FG=BG，可推出EF垂直平分AB，得到AF=BF；通过作FM⊥AD构造直角三角形，设参数表示各边长度，证明三角形相似后利用相似的性质即可求出比值。
【解析】
问题背景
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠EBF=∠C=90°。
∵ E，F分别是AB，BC的中点，
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $△BCD∽△FBE$。
问题探究
取BD的中点H，连结EH，HC，
∵ E是AB的中点，H是BD的中点，
∴ $EH=\frac{1}{2}AD$，$EH// AD$。
又
∵ AD=2CF，
∴ EH=CF。
∵ AD//BC，
∴ EH//FC，
∴ 四边形EHCF是平行四边形，
∴ EF//CH，
∴ ∠GFB=∠HCB。
又
∵ ∠BCD=90°，H是BD的中点，
∴ $HC=\frac{1}{2}BD=BH$，
∴ ∠HBC=∠HCB，
∴ ∠GBF=∠GFB，
∴ BG=FG。
问题拓展
过点F作 $FM⊥AD$，则四边形MFCD是矩形，连结AF，
∵ AD=2CF=CD，
∴ AM=MD=FC=$\frac{1}{2}AD$，设AD=2a，则MF=CD=2a，AM=a。
在Rt△AMF中， $AF=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$。
∵ AG=FG，BG=FG，
∴ AG=BG。
又
∵ E是AB的中点，
∴ EF垂直平分AB，
∴ AF=BF，∠BEG=90°。
在 △AFG 和 △BFG 中， $\begin{cases} AG=BG \\ GF=GF \\ FA=FB \end{cases}$，
∴ △AFG≌△BFG(SSS)。
设∠GBF=∠GFB=α，则∠GAF=∠GFA=α，
∴ ∠BGE=∠GBF+∠GFB=2α。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠MAF=∠AFB=∠GFA+∠GFB=2α，
∴ ∠MAF=∠EGB。
又
∵ ∠BEG=∠AMF=90°，
∴ △BEG∽△FMA，
∴ $\frac{EG}{GF}=\frac{EG}{BG}=\frac{AM}{AF}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
问题背景：△BCD∽△FBE，证明成立；
问题探究：BG=FG，证明成立；
问题拓展：$\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，直角三角形性质
【点评】
本题是分层递进的几何综合题，从基础定理应用到辅助线构造，再到拓展计算，考查了几何核心知识的灵活运用，以及逻辑推理、转化思想和参数法解题的能力，对综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
1. 问题背景：要证两个三角形相似，已知矩形的直角条件，结合中点给出的边的比例关系，利用“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理即可证明。
2. 问题探究：要证BG=FG，可转化为证对应底角相等。通过取BD中点构造三角形中位线，结合已知AD和CF的数量关系，证得平行四边形后得到平行线，再利用直角三角形斜边中线的性质推导角相等，即可得证。
3. 问题拓展：结合前序结论AG=FG=BG，可推出EF垂直平分AB，得到AF=BF；通过作FM⊥AD构造直角三角形，设参数表示各边长度，证明三角形相似后利用相似的性质即可求出比值。
【解析】
问题背景
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠EBF=∠C=90°。
∵ E，F分别是AB，BC的中点，
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $△BCD∽△FBE$。
问题探究
取BD的中点H，连结EH，HC，∵ E是AB的中点，H是BD的中点，
∴ $EH=\frac{1}{2}AD$，$EH// AD$。
又
∵ AD=2CF，
∴ EH=CF。
∵ AD//BC，
∴ EH//FC，
∴ 四边形EHCF是平行四边形，
∴ EF//CH，
∴ ∠GFB=∠HCB。
又
∵ ∠BCD=90°，H是BD的中点，
∴ $HC=\frac{1}{2}BD=BH$，
∴ ∠HBC=∠HCB，
∴ ∠GBF=∠GFB，
∴ BG=FG。
问题拓展
过点F作 $FM⊥AD$，则四边形MFCD是矩形，连结AF，
∵ AD=2CF=CD，
∴ AM=MD=FC=$\frac{1}{2}AD$，设AD=2a，则MF=CD=2a，AM=a。
在Rt△AMF中， $AF=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$。
∵ AG=FG，BG=FG，
∴ AG=BG。
又
∵ E是AB的中点，
∴ EF垂直平分AB，
∴ AF=BF，∠BEG=90°。
在 △AFG 和 △BFG 中， $\begin{cases} AG=BG \\ GF=GF \\ FA=FB \end{cases}$，
∴ △AFG≌△BFG(SSS)。
设∠GBF=∠GFB=α，则∠GAF=∠GFA=α，
∴ ∠BGE=∠GBF+∠GFB=2α。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠MAF=∠AFB=∠GFA+∠GFB=2α，
∴ ∠MAF=∠EGB。
又
∵ ∠BEG=∠AMF=90°，
∴ △BEG∽△FMA，
∴ $\frac{EG}{GF}=\frac{EG}{BG}=\frac{AM}{AF}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
问题背景：△BCD∽△FBE，证明成立；
问题探究：BG=FG，证明成立；
问题拓展：$\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，直角三角形性质
【点评】
本题是分层递进的几何综合题，从基础定理应用到辅助线构造，再到拓展计算，考查了几何核心知识的灵活运用，以及逻辑推理、转化思想和参数法解题的能力，对综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
