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4. ★★★(2026·阜阳月考)已知:四边形ABCD内接于$\odot O$,对角线AC,BD交于点E,且$OA⊥ BD$.
(1)如图①,求证:CA平分$∠ BCD$;
(2)如图②,若BD是$\odot O$的直径,且BD的长为6,AE的长为$2\sqrt{3}$,求弦AC的长.
(1)如图①,求证:CA平分$∠ BCD$;
(2)如图②,若BD是$\odot O$的直径,且BD的长为6,AE的长为$2\sqrt{3}$,求弦AC的长.
答案
(1)$\because OA ⊥ BD$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$,即 CA 平分$∠ BCD$.
(2)$\because BD$ 为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAD=90^{\circ }$,由(1)可知 $AB=AD$,$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形,则 $AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=3\sqrt{2}$,$∠ ABD=∠ ADB=45^{\circ }$.$\because ∠ ACD=∠ ABD$,$\therefore ∠ ACD=∠ ADB$,即 $∠ ACD=∠ ADE$. 又 $\because ∠ CAD=∠ DAE$,$\therefore △ ADE ∽ △ ACD$,$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$.$\because AD=3\sqrt{2}$,$AE=2\sqrt{3}$,$\therefore AC=\frac{AD^2}{AE}=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CA平分$∠BCD$，即证$∠ACB=∠ACD$，根据圆周角定理，相等的弧所对的圆周角相等，因此只需证明两角对应的弧相等即可；已知$OA⊥BD$，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，即可推出两角相等。
(2) 已知BD是直径，首先根据直径所对的圆周角为直角，得$∠BAD=90°$，结合(1)中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$可知$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，可求出AD的长度；再通过同弧所对的圆周角相等找到等角，证明$△ ADE$和$△ ACD$相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AC的长。
【解析】
(1) 证明：$\because OA ⊥ BD$，OA是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\because$ 同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AB}$对应$∠ACB$，$\overset{\frown}{AD}$对应$∠ACD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$，即 CA 平分$∠ BCD$。
(2) 解：$\because BD$ 为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90^{\circ }$（直径所对的圆周角是直角），
由(1)可知 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，
$\because BD=6$，$\therefore AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=3\sqrt{2}$，$∠ ABD=∠ ADB=45^{\circ }$。
$\because ∠ ACD$和$∠ ABD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$\therefore ∠ ACD=∠ ABD$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ADB$，即 $∠ ACD=∠ ADE$，
又 $\because ∠ CAD=∠ DAE$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACD$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE· AC$。
$\because AD=3\sqrt{2}$，$AE=2\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\frac{AD^2}{AE}=\frac{(3\sqrt{2})^2}{2\sqrt{3}}=\frac{18}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $AC=3\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的性质与相似三角形的综合题，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合等腰直角三角形的性质，通过圆周角相等实现角的转化，进而证明相似求解线段长，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明CA平分$∠BCD$，即证$∠ACB=∠ACD$，根据圆周角定理，相等的弧所对的圆周角相等，因此只需证明两角对应的弧相等即可；已知$OA⊥BD$，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，即可推出两角相等。
(2) 已知BD是直径，首先根据直径所对的圆周角为直角，得$∠BAD=90°$，结合(1)中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$可知$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，可求出AD的长度；再通过同弧所对的圆周角相等找到等角，证明$△ ADE$和$△ ACD$相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AC的长。
【解析】
(1) 证明：$\because OA ⊥ BD$，OA是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\because$ 同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{AB}$对应$∠ACB$，$\overset{\frown}{AD}$对应$∠ACD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$，即 CA 平分$∠ BCD$。
(2) 解：$\because BD$ 为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90^{\circ }$（直径所对的圆周角是直角），
由(1)可知 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，
$\because BD=6$，$\therefore AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=3\sqrt{2}$，$∠ ABD=∠ ADB=45^{\circ }$。
$\because ∠ ACD$和$∠ ABD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$\therefore ∠ ACD=∠ ABD$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ADB$，即 $∠ ACD=∠ ADE$，
又 $\because ∠ CAD=∠ DAE$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACD$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE· AC$。
$\because AD=3\sqrt{2}$，$AE=2\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\frac{AD^2}{AE}=\frac{(3\sqrt{2})^2}{2\sqrt{3}}=\frac{18}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $AC=3\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的性质与相似三角形的综合题，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合等腰直角三角形的性质，通过圆周角相等实现角的转化，进而证明相似求解线段长，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
5. ★★★ (2025·合肥模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以点C为圆心,AC的长为半径的圆与AB交于点D,与BC交于点E,连结DE,$AD=DE$.
(1)求$∠ BDE$的度数;
(2)若$AC=4$,$BD=7$,求BE的长.
(1)求$∠ BDE$的度数;
(2)若$AC=4$,$BD=7$,求BE的长.
答案
(1)如图,连结 CD,$\because AD=DE$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$. 又 $\because ∠ ACB=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECD=∠ ACD=45^{\circ }$.$\because CA=CD=CE$,$\therefore ∠ ADC=∠ EDC=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-45^{\circ })=67.5^{\circ }$,$\therefore ∠ BDE=180^{\circ }-∠ ADC-∠ EDC=45^{\circ }$.
(2)$\because ∠ BDE=∠ BCD=45^{\circ }$,$∠ B=∠ B$,$\therefore △ BDE ∽ △ BCD$,$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BC}$,$\therefore \frac{BE}{7}=\frac{7}{BE+4}$,整理得 $BE^2+4BE-49=0$,解得 $BE=-2+\sqrt{53}$ 或 $BE=-2-\sqrt{53}$(舍去),$\therefore BE$ 的长为 $-2+\sqrt{53}$.
(2)$\because ∠ BDE=∠ BCD=45^{\circ }$,$∠ B=∠ B$,$\therefore △ BDE ∽ △ BCD$,$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BC}$,$\therefore \frac{BE}{7}=\frac{7}{BE+4}$,整理得 $BE^2+4BE-49=0$,解得 $BE=-2+\sqrt{53}$ 或 $BE=-2-\sqrt{53}$(舍去),$\therefore BE$ 的长为 $-2+\sqrt{53}$.
解析
【分析】
(1)求∠BDE的度数时，首先利用同圆中相等的弦对应相等的弧，由AD=DE得到弧AD=弧DE，进而推出对应圆心角相等，结合∠ACB=90°可得两个圆心角均为45°；再利用半径相等得到等腰三角形，算出∠ADC和∠EDC的度数，最后根据平角的定义计算∠BDE即可。
(2)求BE的长时，先通过公共角∠B和(1)中得到的等角证明△BDE∽△BCD，得到对应边成比例；再结合半径长度将BC用含BE的式子表示，代入比例式列一元二次方程求解，舍去负根即可得到结果。
【解析】
(1) 连结CD，
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且$AD=DE$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴弧对应的圆心角相等，即$∠ACD=∠ECD$，
又
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD=∠ECD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∵$CA、CD、CE$均为圆C的半径，即$CA=CD=CE$，
∴$△ ACD$和$△ ECD$均为等腰三角形，
∴$∠ADC=∠EDC=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$，
∴$∠BDE=180°-∠ADC-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°$。
(2) 由(1)可知$∠BDE=45°$，$∠BCD=45°$，即$∠BDE=∠BCD$，
又
∵$∠B$是$△ BDE$和$△ BCD$的公共角，
∴$△ BDE ∽ △ BCD$（两角对应相等，两三角形相似），
∴对应边成比例：$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BC}$，
∵圆C的半径$CE=AC=4$，
∴$BC=BE+EC=BE+4$，已知$BD=7$，
代入比例式得：$\frac{BE}{7}=\frac{7}{BE+4}$，
交叉相乘整理得：$BE^2+4BE-49=0$，
解得$BE=-2+\sqrt{53}$或$BE=-2-\sqrt{53}$，
∵BE为线段长度，为正数，故舍去负根，
∴$BE=-2+\sqrt{53}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{-2+\sqrt{53}}$
【知识点】
1. 圆的弧弦圆心角关系
2. 相似三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与相似三角形的综合题型，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合圆的基本性质得到等角，进而证明相似三角形，再结合方程思想求解线段长度，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.6
(1)求∠BDE的度数时，首先利用同圆中相等的弦对应相等的弧，由AD=DE得到弧AD=弧DE，进而推出对应圆心角相等，结合∠ACB=90°可得两个圆心角均为45°；再利用半径相等得到等腰三角形，算出∠ADC和∠EDC的度数，最后根据平角的定义计算∠BDE即可。
(2)求BE的长时，先通过公共角∠B和(1)中得到的等角证明△BDE∽△BCD，得到对应边成比例；再结合半径长度将BC用含BE的式子表示，代入比例式列一元二次方程求解，舍去负根即可得到结果。
【解析】
(1) 连结CD，
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且$AD=DE$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴弧对应的圆心角相等，即$∠ACD=∠ECD$，
又
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD=∠ECD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∵$CA、CD、CE$均为圆C的半径，即$CA=CD=CE$，
∴$△ ACD$和$△ ECD$均为等腰三角形，
∴$∠ADC=∠EDC=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$，
∴$∠BDE=180°-∠ADC-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°$。
(2) 由(1)可知$∠BDE=45°$，$∠BCD=45°$，即$∠BDE=∠BCD$，
又
∵$∠B$是$△ BDE$和$△ BCD$的公共角，
∴$△ BDE ∽ △ BCD$（两角对应相等，两三角形相似），
∴对应边成比例：$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BC}$，
∵圆C的半径$CE=AC=4$，
∴$BC=BE+EC=BE+4$，已知$BD=7$，
代入比例式得：$\frac{BE}{7}=\frac{7}{BE+4}$，
交叉相乘整理得：$BE^2+4BE-49=0$，
解得$BE=-2+\sqrt{53}$或$BE=-2-\sqrt{53}$，
∵BE为线段长度，为正数，故舍去负根，
∴$BE=-2+\sqrt{53}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{-2+\sqrt{53}}$
【知识点】
1. 圆的弧弦圆心角关系
2. 相似三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与相似三角形的综合题型，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合圆的基本性质得到等角，进而证明相似三角形，再结合方程思想求解线段长度，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.6
6. （2026·南京月考）如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$AC ⊥ BD$，垂足为E，连结AO并延长交BD于点F.
(1)求证: $△ ABC ∽ △ AFD$;
(2)若$AO=3,OF=1,CD=2$,则四边形ABCD的面积为
(1)求证: $△ ABC ∽ △ AFD$;
(2)若$AO=3,OF=1,CD=2$,则四边形ABCD的面积为
10√2
.答案
(1)如图①,延长 AF 交$\odot O$于 H,连结 BH,$\because AH$ 为直径,$AC ⊥ BD$,$\therefore ∠ ABH=∠ AED=90^{\circ }$.又 $\because ∠ AHB=∠ ADB$,$\therefore △ ABH ∽ △ AED$,$\therefore ∠ 1=∠ 2$,$\therefore ∠ BAC=∠ DAF$.$\because ∠ ACB=∠ ADB$,$\therefore △ ABC ∽ △ AFD$.
(2)$10\sqrt{2}$ 解析:由(1)得$∠ 1=∠ 2$,$\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore BH=CD=2$.$\because AH=2AO=6$ 且 $∠ ABH=90^{\circ }$,$\therefore FH=AH-AO-OF=6-3-1=2$,$AB=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,$\therefore BH=FH$,$\therefore ∠ FBH=∠ BFH$.
$\because ∠ FBH=∠ FAD$,$∠ AFD=∠ BFH$,$\therefore ∠ AFD=∠ FAD$,$\therefore DF=DA$. 由(1)得$△ ABC ∽ △ AFD$,$\therefore CA=BC$,连结 CO 并延长交 AB 于 M,连结 OB.如图②,则 $CM ⊥ AB$,$AM=BM=2\sqrt{2}$,$\therefore OM=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,$CM=3+1=4$,$\therefore AC=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{6}$.$\because ∠ 1=∠ 2$,$∠ ACD=∠ ABD$,$\therefore △ ABF ∽ △ ACD$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CD}=\frac{AF}{AD}$,即 $\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{BF}{2}=\frac{4}{AD}$,$BF=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,$AD=2\sqrt{3}$,$\therefore FD=AD=2\sqrt{3}$,$\therefore BD=2\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACB}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC · BE+\frac{1}{2}AC · DE=\frac{1}{2}AC · (BE+DE)=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\frac{10\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△AFD，需找到两组对应角相等。首先构造辅助线：延长AF交⊙O于H，连结BH，利用直径所对圆周角为直角，结合AC⊥BD得到两个直角，再结合同弧所对圆周角相等证△ABH∽△AED，推出∠BAC=∠DAF，再结合同弧所对的∠ACB=∠ADB，即可完成相似证明。
(2) 先由(1)的角相等结论推出弧BH=弧CD，得到BH=CD，结合直径长度用勾股定理求AB，再推导角相等得到DF=AD，结合相似三角形的性质分别求出AC、BD的长度，最后利用AC⊥BD的性质，四边形ABCD的面积等于$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图①，延长AF交$\odot O$于H，连结BH。
$\because AH$为$\odot O$的直径，$AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABH=∠ AED=90^{\circ }$。
$\because$同弧$AB$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ AHB=∠ ADB$，
$\therefore △ ABH ∽ △ AED$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，即$∠ BAC=∠ DAF$。
又$\because$同弧$AB$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB$，
$\therefore △ ABC ∽ △ AFD$。
(2) 解：由(1)得$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore BH=CD=2$。
$\because AH=2AO=6$，$∠ ABH=90^{\circ }$，
$\therefore AB=\sqrt{AH^2-BH^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，$FH=AH-AO-OF=6-3-1=2$，
$\therefore BH=FH=2$，$\therefore ∠ FBH=∠ BFH$。
$\because ∠ FBH=∠ FAD$，$∠ AFD=∠ BFH$，
$\therefore ∠ AFD=∠ FAD$，$\therefore DF=DA$。
由(1)$△ ABC ∽ △ AFD$，可得$CA=BC$，连结$CO$并延长交$AB$于$M$，连结$OB$，如图②，
根据等腰三角形三线合一及垂径定理得$CM ⊥ AB$，$AM=BM=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$，
在$Rt△OMB$中，$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$，
$\therefore CM=OC+OM=3+1=4$，
在$Rt△ACM$中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{6}$。
$\because ∠ 1=∠ 2$，$∠ ACD=∠ ABD$，
$\therefore △ ABF ∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CD}=\frac{AF}{AD}$，代入数据得$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{BF}{2}=\frac{4}{AD}$，
解得$BF=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$AD=2\sqrt{3}$，
$\therefore FD=AD=2\sqrt{3}$，
$\therefore BD=BF+FD=\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
$\because AC⊥BD$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ACB}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC · BE+\frac{1}{2}AC · DE=\frac{1}{2}AC · (BE+DE)=\frac{1}{2}AC · BD$，
代入数据得$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\frac{10\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{10\sqrt{2}}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和相似三角形的应用，第一问构造直径辅助线转化角的关系是圆中证角相等的常用思路；第二问需要结合弧弦关系、勾股定理、相似性质逐步推导线段长度，最后利用对角线垂直的四边形面积公式求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明△ABC∽△AFD，需找到两组对应角相等。首先构造辅助线：延长AF交⊙O于H，连结BH，利用直径所对圆周角为直角，结合AC⊥BD得到两个直角，再结合同弧所对圆周角相等证△ABH∽△AED，推出∠BAC=∠DAF，再结合同弧所对的∠ACB=∠ADB，即可完成相似证明。
(2) 先由(1)的角相等结论推出弧BH=弧CD，得到BH=CD，结合直径长度用勾股定理求AB，再推导角相等得到DF=AD，结合相似三角形的性质分别求出AC、BD的长度，最后利用AC⊥BD的性质，四边形ABCD的面积等于$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图①，延长AF交$\odot O$于H，连结BH。
$\because AH$为$\odot O$的直径，$AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABH=∠ AED=90^{\circ }$。
$\because$同弧$AB$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ AHB=∠ ADB$，
$\therefore △ ABH ∽ △ AED$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，即$∠ BAC=∠ DAF$。
又$\because$同弧$AB$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB$，
$\therefore △ ABC ∽ △ AFD$。
(2) 解：由(1)得$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore \overset{\frown}{BH}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore BH=CD=2$。
$\because AH=2AO=6$，$∠ ABH=90^{\circ }$，
$\therefore AB=\sqrt{AH^2-BH^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，$FH=AH-AO-OF=6-3-1=2$，
$\therefore BH=FH=2$，$\therefore ∠ FBH=∠ BFH$。
$\because ∠ FBH=∠ FAD$，$∠ AFD=∠ BFH$，
$\therefore ∠ AFD=∠ FAD$，$\therefore DF=DA$。
由(1)$△ ABC ∽ △ AFD$，可得$CA=BC$，连结$CO$并延长交$AB$于$M$，连结$OB$，如图②，
根据等腰三角形三线合一及垂径定理得$CM ⊥ AB$，$AM=BM=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$，
在$Rt△OMB$中，$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$，
$\therefore CM=OC+OM=3+1=4$，
在$Rt△ACM$中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{6}$。
$\because ∠ 1=∠ 2$，$∠ ACD=∠ ABD$，
$\therefore △ ABF ∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CD}=\frac{AF}{AD}$，代入数据得$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{BF}{2}=\frac{4}{AD}$，
解得$BF=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$AD=2\sqrt{3}$，
$\therefore FD=AD=2\sqrt{3}$，
$\therefore BD=BF+FD=\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
$\because AC⊥BD$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ACB}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC · BE+\frac{1}{2}AC · DE=\frac{1}{2}AC · (BE+DE)=\frac{1}{2}AC · BD$，
代入数据得$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\frac{10\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{10\sqrt{2}}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和相似三角形的应用，第一问构造直径辅助线转化角的关系是圆中证角相等的常用思路；第二问需要结合弧弦关系、勾股定理、相似性质逐步推导线段长度，最后利用对角线垂直的四边形面积公式求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
7. （2026·温州期中）如图①，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ ABC＞90°$，延长$△ ABC$的角平分线$BE$交$\odot O$于点$D$.
(1)求证:$∠ AED=∠ DAB$;
(2)若$AD=5$，$BD=6$，则$DE$的长为
(3)如图②，作$AF// BC$交$BD$于点$F$，若$\dfrac{AB}{BF}=\dfrac{5}{6}$，$AD=16$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:$∠ AED=∠ DAB$;
(2)若$AD=5$，$BD=6$，则$DE$的长为
$\dfrac{25}{6}$
;(3)如图②，作$AF// BC$交$BD$于点$F$，若$\dfrac{AB}{BF}=\dfrac{5}{6}$，$AD=16$，求$\odot O$的半径.
答案
(1)$\because BD$ 是$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$. $\because ∠ DAC=∠ CBD$,$\therefore ∠ DAC=∠ ABD$. $\because ∠ AED=∠ ABD+∠ BAC$,$∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC$,$\therefore ∠ AED=∠ DAB$.
(2)$\frac{25}{6}$ 解析:由(1)知:$∠ AED=∠ DAB$. $\because ∠ D=∠ D$,$\therefore △ DAE ∽ △ DBA$,$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{DE}{DA}$.$\because AD=5$,$BD=6$,$\therefore \frac{5}{6}=\frac{DE}{5}$,$\therefore DE=\frac{25}{6}$.
(3)作$\odot O$的直径 AM,连结 DM,过点 A 作 $AG ⊥ BF$ 于点 G,如图,
$\because AF // BC$,$\therefore ∠ AFB=∠ CBD$. $\because BD$ 是$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,$\therefore ∠ AFB=∠ ABD$,$\therefore AB=AF$.$\because AG ⊥ BF$,$\therefore BG=FG=\frac{1}{2}BF$.$\because \frac{AB}{BF}=\frac{5}{6}$,$\therefore$ 设 $AB=5k$,则 $BF=6k$,$\therefore BG=FG=3k$,$\therefore AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=4k$,
$\therefore \frac{AG}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$.$\because AM$ 为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADM=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ADM=∠ AGB=90^{\circ }$.$\because ∠ M=∠ ABD$,$\therefore △ ADM ∽ △ AGB$,$\therefore \frac{AD}{AM}=\frac{AG}{AB}$.$\because AD=16$,$\frac{AG}{AB}=\frac{4}{5}$,$\therefore \frac{16}{AM}=\frac{4}{5}$,$\therefore AM=20$,$\therefore \odot O$的半径为 10.
解析
【分析】
(1) 要证明∠AED=∠DAB，先根据角平分线性质得∠ABD=∠CBD，再由同弧所对圆周角相等推出∠DAC=∠CBD，得到∠ABD=∠DAC；最后结合三角形外角性质，将两个待证角拆分为含相同加项的和式，即可证明相等。
(2) 利用(1)的结论，结合公共角∠D可证明△DAE与△DBA相似，再根据相似三角形对应边成比例列式，代入已知边长即可求出DE的长度。
(3) 先由平行线性质和角平分线推出AB=AF，作AG⊥BF，结合等腰三角形三线合一和AB、BF的比例关系，用勾股定理求出AG与AB的比值；再构造直径AM，连接DM，利用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等证明△ADM与△AGB相似，通过相似比求出直径长度，即可得到圆的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠ABD。
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠ABD+∠BAC，
又
∵∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠AED=∠DAB。
(2) 由(1)得∠AED=∠DAB，又
∵∠D=∠D（公共角），
∴△DAE∽△DBA，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{DA}$。
将AD=5，BD=6代入得$\frac{5}{6}=\frac{DE}{5}$，
解得$DE=\frac{25}{6}$。
(3) 作$\odot O$的直径AM，连结DM，过点A作 $AG ⊥ BF$ 于点G，如图，
∵AF//BC，
∴∠AFB=∠CBD。
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠AFB=∠ABD，
∴AB=AF。
∵AG⊥BF，
∴BG=FG=$\frac{1}{2}$BF。
∵$\frac{AB}{BF}=\frac{5}{6}$，设AB=5k，则BF=6k，
∴BG=3k，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$。
∵AM为$\odot O$的直径，
∴∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠AGB=90°。
∵∠M与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠M=∠ABD，
∴△ADM∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AM}=\frac{AG}{AB}$。
将AD=16，$\frac{AG}{AB}=\frac{4}{5}$代入得$\frac{16}{AM}=\frac{4}{5}$，
解得AM=20，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{25}{6}$；
(3) $\odot O$的半径为10，辅助线图见
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何综合的典型题型，融合了角平分线、平行线、等腰三角形、相似三角形、圆周角相关的多个知识点，解题核心是通过角的等量代换推导线段或角的关系，合理构造辅助线是解决第三问的关键，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠AED=∠DAB，先根据角平分线性质得∠ABD=∠CBD，再由同弧所对圆周角相等推出∠DAC=∠CBD，得到∠ABD=∠DAC；最后结合三角形外角性质，将两个待证角拆分为含相同加项的和式，即可证明相等。
(2) 利用(1)的结论，结合公共角∠D可证明△DAE与△DBA相似，再根据相似三角形对应边成比例列式，代入已知边长即可求出DE的长度。
(3) 先由平行线性质和角平分线推出AB=AF，作AG⊥BF，结合等腰三角形三线合一和AB、BF的比例关系，用勾股定理求出AG与AB的比值；再构造直径AM，连接DM，利用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等证明△ADM与△AGB相似，通过相似比求出直径长度，即可得到圆的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠ABD。
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠ABD+∠BAC，
又
∵∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠AED=∠DAB。
(2) 由(1)得∠AED=∠DAB，又
∵∠D=∠D（公共角），
∴△DAE∽△DBA，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{DA}$。
将AD=5，BD=6代入得$\frac{5}{6}=\frac{DE}{5}$，
解得$DE=\frac{25}{6}$。
(3) 作$\odot O$的直径AM，连结DM，过点A作 $AG ⊥ BF$ 于点G，如图
，∵AF//BC，
∴∠AFB=∠CBD。
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠AFB=∠ABD，
∴AB=AF。
∵AG⊥BF，
∴BG=FG=$\frac{1}{2}$BF。
∵$\frac{AB}{BF}=\frac{5}{6}$，设AB=5k，则BF=6k，
∴BG=3k，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$。
∵AM为$\odot O$的直径，
∴∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠AGB=90°。
∵∠M与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠M=∠ABD，
∴△ADM∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AM}=\frac{AG}{AB}$。
将AD=16，$\frac{AG}{AB}=\frac{4}{5}$代入得$\frac{16}{AM}=\frac{4}{5}$，
解得AM=20，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{25}{6}$；
(3) $\odot O$的半径为10，辅助线图见
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何综合的典型题型，融合了角平分线、平行线、等腰三角形、相似三角形、圆周角相关的多个知识点，解题核心是通过角的等量代换推导线段或角的关系，合理构造辅助线是解决第三问的关键，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
