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6.(2025·宿迁宿豫区期中)某商场经销的某种商品,每件成本为40元,经市场调研,当每件商品的售价为50元时,平均每周可销售200件;若每件商品的售价每增加1元,平均每周销售量将减少10件.
(1)如果涨价后商场销售这种商品平均每周盈利2250元,那么每件商品的售价为多少元?
(2)涨价后商场销售这种商品平均每周盈利是否可以达到2500元?请说明理由.
(1)如果涨价后商场销售这种商品平均每周盈利2250元,那么每件商品的售价为多少元?
(2)涨价后商场销售这种商品平均每周盈利是否可以达到2500元?请说明理由.
答案
6.解:(1)设每件商品的售价为x元,根据题意,得$(x-40)[200-10(x-50)]=2250$,
整理,得$x^2-110x+3025=0$,
解得$x_1=x_2=55$.
答:每件商品的售价为55元.
(2)不可达到,理由:
设每件商品的售价为y元,根据题意,得$(y-40)[200-10(y-50)]=2500$,
整理,得$y^2-110y+3050=0$,易知此方程无实数根.
∴涨价后商场销售这种商品平均每周盈利不可以达到2500元.
整理,得$x^2-110x+3025=0$,
解得$x_1=x_2=55$.
答:每件商品的售价为55元.
(2)不可达到,理由:
设每件商品的售价为y元,根据题意,得$(y-40)[200-10(y-50)]=2500$,
整理,得$y^2-110y+3050=0$,易知此方程无实数根.
∴涨价后商场销售这种商品平均每周盈利不可以达到2500元.
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为“总盈利=每件商品的利润×销售数量”。
(1)求解售价时，可先设售价为x元：单件利润为售价减成本即(x-40)元；销售量随售价上涨减少，售价每涨1元销量减10件，现售价比50元高(x-50)元，因此实际销量为[200-10(x-50)]件，结合总盈利2250元列方程求解即可。
(2)判断盈利能否达到2500元，可类比第一问的逻辑列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若有符合实际意义的实根则可达到，若无实根则无法达到。
【解析】
(1)设每件商品的售价为x元，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(x-40)[200-10(x-50)]&=2250\\(x-40)(700-10x)&=2250\\x^2-110x+3025&=0\\(x-55)^2&=0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=55$。
(2)不可达到，理由如下：
设每件商品的售价为y元，若盈利为2500元，列方程得：
$\begin{aligned}(y-40)[200-10(y-50)]&=2500\\y^2-110y+3050&=0\end{aligned}$
计算根的判别式$\Delta = (-110)^2 - 4×1×3050 = -100 ＜ 0$，因此该方程无实数根，不存在符合条件的售价。
【答案】
(1)每件商品的售价为55元；
(2)不可以达到，因为对应一元二次方程无实数根，不存在满足条件的售价。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题关键是理清售价、单件利润、销售量三者的数量关系，正确建立方程模型，第二问利用判别式判断根的情况即可验证盈利是否可实现，考查了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为“总盈利=每件商品的利润×销售数量”。
(1)求解售价时，可先设售价为x元：单件利润为售价减成本即(x-40)元；销售量随售价上涨减少，售价每涨1元销量减10件，现售价比50元高(x-50)元，因此实际销量为[200-10(x-50)]件，结合总盈利2250元列方程求解即可。
(2)判断盈利能否达到2500元，可类比第一问的逻辑列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若有符合实际意义的实根则可达到，若无实根则无法达到。
【解析】
(1)设每件商品的售价为x元，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(x-40)[200-10(x-50)]&=2250\\(x-40)(700-10x)&=2250\\x^2-110x+3025&=0\\(x-55)^2&=0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=55$。
(2)不可达到，理由如下：
设每件商品的售价为y元，若盈利为2500元，列方程得：
$\begin{aligned}(y-40)[200-10(y-50)]&=2500\\y^2-110y+3050&=0\end{aligned}$
计算根的判别式$\Delta = (-110)^2 - 4×1×3050 = -100 ＜ 0$，因此该方程无实数根，不存在符合条件的售价。
【答案】
(1)每件商品的售价为55元；
(2)不可以达到，因为对应一元二次方程无实数根，不存在满足条件的售价。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题关键是理清售价、单件利润、销售量三者的数量关系，正确建立方程模型，第二问利用判别式判断根的情况即可验证盈利是否可实现，考查了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7.(2025·宿迁泗洪县期中)某商店在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出
(2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
(1)如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出
8
件;(2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
答案
7.(1)8
(2)解:设每件童装应降价x元,则销售量为$(20+2x)$件,根据题意,得
$(40-x)(20+2x)=1200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10,x_2=20$.
∵尽量减少库存,
∴$x=20$.
答:每件童装应降价20元.
(2)解:设每件童装应降价x元,则销售量为$(20+2x)$件,根据题意,得
$(40-x)(20+2x)=1200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10,x_2=20$.
∵尽量减少库存,
∴$x=20$.
答:每件童装应降价20元.
解析
【分析】
(1) 第一小问根据题干给出的“每件降价1元，平均每天多售出2件”的数量关系，直接用降价金额乘2即可得到多售出的件数。
(2) 第二小问是销售利润类应用题，核心等量关系为：总盈利=每件利润×销售总件数。首先设每件降价x元，先分别表示出降价后的每件利润（原盈利40元减去降价金额x）和降价后的总销售量（原销量20件加上多售出的2x件），再根据总盈利1200元列一元二次方程求解，最后结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可，因为降价越多销量越高，库存减少越快。
【解析】
(1) 已知每件每降价1元多售出2件，降价4元时，多售出的件数为：$4×2=8$（件）。
(2) 解：设每件童装应降价x元，则降价后每件盈利为$(40-x)$元，每天的销售量为$(20+2x)$件。
根据总盈利的等量关系列方程得：
$(40-x)(20+2x)=1200$
展开整理得：
$x^2-30x+200=0$
因式分解得$(x-10)(x-20)=0$，解得$x_1=10，x_2=20$。
∵要尽量减少库存，降价越多销售量越高，库存越少，
∴取$x=20$。
答：每件童装应降价20元。
【答案】
(1) 8；(2) 20元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是找准总利润的等量关系，同时要注意题干中“尽量减少库存”这类附加限制条件，对求出的方程解进行合理取舍，有效考查了信息提取和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问根据题干给出的“每件降价1元，平均每天多售出2件”的数量关系，直接用降价金额乘2即可得到多售出的件数。
(2) 第二小问是销售利润类应用题，核心等量关系为：总盈利=每件利润×销售总件数。首先设每件降价x元，先分别表示出降价后的每件利润（原盈利40元减去降价金额x）和降价后的总销售量（原销量20件加上多售出的2x件），再根据总盈利1200元列一元二次方程求解，最后结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可，因为降价越多销量越高，库存减少越快。
【解析】
(1) 已知每件每降价1元多售出2件，降价4元时，多售出的件数为：$4×2=8$（件）。
(2) 解：设每件童装应降价x元，则降价后每件盈利为$(40-x)$元，每天的销售量为$(20+2x)$件。
根据总盈利的等量关系列方程得：
$(40-x)(20+2x)=1200$
展开整理得：
$x^2-30x+200=0$
因式分解得$(x-10)(x-20)=0$，解得$x_1=10，x_2=20$。
∵要尽量减少库存，降价越多销售量越高，库存越少，
∴取$x=20$。
答：每件童装应降价20元。
【答案】
(1) 8；(2) 20元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是找准总利润的等量关系，同时要注意题干中“尽量减少库存”这类附加限制条件，对求出的方程解进行合理取舍，有效考查了信息提取和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
8.(2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是
$(60+10x)$
件；(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
答案
8.(1)$(60+10x)$
(2)解:设该款巴小虎吉祥物降价x元,根据题意,得
$(40-30-x)(60+10x)=630$,
整理,得$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
∵要让利于游客,
∴$x=3$.
答:该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
(3)解:设该款巴小虎吉祥物降价x元,根据题意,得
$W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$,
∵$-10＜0$,
∴当$x=2$时,W取最大值为640元,此时销售价为38元.
答:售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.
(2)解:设该款巴小虎吉祥物降价x元,根据题意,得
$(40-30-x)(60+10x)=630$,
整理,得$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
∵要让利于游客,
∴$x=3$.
答:该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
(3)解:设该款巴小虎吉祥物降价x元,根据题意,得
$W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x^2+40x+600=-10(x-2)^2+640$,
∵$-10＜0$,
∴当$x=2$时,W取最大值为640元,此时销售价为38元.
答:售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.
解析
【分析】
(1) 已知售价每降价1元可多售出10件，降价x元就会多售出10x件，在原有日销量60件的基础上加上多售出的数量，即可得到降价后的日销量；
(2) 销售利润的核心等量关系为：日利润=单件利润×日销售量。先表示出降价x元后的单件利润为(40-30-x)元，日销售量为第(1)问的结果，令二者乘积等于630列一元二次方程求解，再结合“让利于游客”的要求，选择降价幅度更大的解即可；
(3) 按照上述利润等量关系写出利润W关于x的二次函数表达式，根据二次函数的性质求最值，再对应计算出此时的售价即可。
【解析】
(1) 原日销量为60件，降价x元后多售出10x件，因此每天售出的数量是$(60+10x)$件；
(2) 设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意列方程：
$(40-30-x)(60+10x)=630$
整理得：$x^2-4x+3=0$
解得$x_1=1,x_2=3$
∵要让利于游客，需选择降价幅度更大的方案，
∴$x=3$。
答：该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元。
(3) 设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据利润公式得：
$W=(40-30-x)(60+10x)$
$=(10-x)(60+10x)$
$=-10x^2+40x+600$
配方得：$W=-10(x-2)^2+640$
∵$-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=2$时，W取得最大值640元，此时销售价为$40-2=38$元。
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60+10x)}$
(2) 3元
(3) 售价为38元时，最大利润为640元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的最值
3. 销售利润问题
【点评】
本题结合文旅推广的实际场景命制，贴近生活，是一元二次方程和二次函数实际应用的典型题型，解题核心是抓住“利润=单件利润×销量”的基础数量关系，同时要注意题目附加的实际限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知售价每降价1元可多售出10件，降价x元就会多售出10x件，在原有日销量60件的基础上加上多售出的数量，即可得到降价后的日销量；
(2) 销售利润的核心等量关系为：日利润=单件利润×日销售量。先表示出降价x元后的单件利润为(40-30-x)元，日销售量为第(1)问的结果，令二者乘积等于630列一元二次方程求解，再结合“让利于游客”的要求，选择降价幅度更大的解即可；
(3) 按照上述利润等量关系写出利润W关于x的二次函数表达式，根据二次函数的性质求最值，再对应计算出此时的售价即可。
【解析】
(1) 原日销量为60件，降价x元后多售出10x件，因此每天售出的数量是$(60+10x)$件；
(2) 设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意列方程：
$(40-30-x)(60+10x)=630$
整理得：$x^2-4x+3=0$
解得$x_1=1,x_2=3$
∵要让利于游客，需选择降价幅度更大的方案，
∴$x=3$。
答：该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元。
(3) 设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据利润公式得：
$W=(40-30-x)(60+10x)$
$=(10-x)(60+10x)$
$=-10x^2+40x+600$
配方得：$W=-10(x-2)^2+640$
∵$-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=2$时，W取得最大值640元，此时销售价为$40-2=38$元。
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60+10x)}$
(2) 3元
(3) 售价为38元时，最大利润为640元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的最值
3. 销售利润问题
【点评】
本题结合文旅推广的实际场景命制，贴近生活，是一元二次方程和二次函数实际应用的典型题型，解题核心是抓住“利润=单件利润×销量”的基础数量关系，同时要注意题目附加的实际限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
