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1.(2025·宿迁泗阳县期中)三角形的外心就是三角形外接圆圆心,是三角形 (
A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
C
)A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查三角形外心的定义，解题时可按以下思路推导：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，外接圆经过三角形的三个顶点，因此外心到三个顶点的距离相等；再结合线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），可推知三边垂直平分线的交点满足到三个顶点距离相等，即为外心；最后逐一匹配各选项对应的三角形特殊交点，排除错误选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 三角形三边上的高线的交点是垂心，不符合外心的定义，故A错误；
B. 三角形三边中线的交点是重心，不符合外心的定义，故B错误；
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心即外心，故C正确；
D. 三角形三个内角平分线的交点是内心（内切圆的圆心），不符合外心的定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形特殊交点的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对三角形各类特殊交点的定义区分，熟练掌握各特殊点的性质即可快速判断，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外心的定义，解题时可按以下思路推导：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，外接圆经过三角形的三个顶点，因此外心到三个顶点的距离相等；再结合线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），可推知三边垂直平分线的交点满足到三个顶点距离相等，即为外心；最后逐一匹配各选项对应的三角形特殊交点，排除错误选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 三角形三边上的高线的交点是垂心，不符合外心的定义，故A错误；
B. 三角形三边中线的交点是重心，不符合外心的定义，故B错误；
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心即外心，故C正确；
D. 三角形三个内角平分线的交点是内心（内切圆的圆心），不符合外心的定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形特殊交点的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对三角形各类特殊交点的定义区分，熟练掌握各特殊点的性质即可快速判断，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.(2025·无锡期中)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
$\sqrt{5}$
.答案
2.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要找到能完全覆盖△ABC的最小圆面，首先明确该最小圆是△ABC的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。解题思路如下：1. 结合网格特点给三个顶点设坐标，方便计算；2. 利用垂直平分线的性质找到外心的位置：AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，再求出另一条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是外心；3. 用勾股定理计算外心到任意顶点的距离，即为外接圆的半径。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为$(0,0)$，则点B坐标为$(4,0)$，点C坐标为$(3,3)$。
1. 能够完全覆盖三角形的最小圆是三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点（外心）。
2. 求AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点坐标为$(2,0)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$。
3. 求AC的垂直平分线：AC的中点坐标为$(1.5,1.5)$，AC的斜率为$\frac{3-0}{3-0}=1$，因此AC垂直平分线的斜率为$-1$，可得其方程为$y-1.5=-(x-1.5)$，化简得$y=-x+3$。
4. 联立$x=2$与$y=-x+3$，解得外心坐标为$(2,1)$。
5. 计算外心到点A的距离，即为外接圆半径：$r=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，验证外心到B、C的距离也为$\sqrt{5}$，符合要求。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
三角形外接圆，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查三角形最小覆盖圆的相关知识，解题的关键是明确最小覆盖圆就是三角形的外接圆，再通过找垂直平分线交点确定外心，最后用勾股定理计算半径，灵活运用坐标系可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
要找到能完全覆盖△ABC的最小圆面，首先明确该最小圆是△ABC的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。解题思路如下：1. 结合网格特点给三个顶点设坐标，方便计算；2. 利用垂直平分线的性质找到外心的位置：AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，再求出另一条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是外心；3. 用勾股定理计算外心到任意顶点的距离，即为外接圆的半径。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为$(0,0)$，则点B坐标为$(4,0)$，点C坐标为$(3,3)$。
1. 能够完全覆盖三角形的最小圆是三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点（外心）。
2. 求AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点坐标为$(2,0)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$。
3. 求AC的垂直平分线：AC的中点坐标为$(1.5,1.5)$，AC的斜率为$\frac{3-0}{3-0}=1$，因此AC垂直平分线的斜率为$-1$，可得其方程为$y-1.5=-(x-1.5)$，化简得$y=-x+3$。
4. 联立$x=2$与$y=-x+3$，解得外心坐标为$(2,1)$。
5. 计算外心到点A的距离，即为外接圆半径：$r=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，验证外心到B、C的距离也为$\sqrt{5}$，符合要求。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
三角形外接圆，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查三角形最小覆盖圆的相关知识，解题的关键是明确最小覆盖圆就是三角形的外接圆，再通过找垂直平分线交点确定外心，最后用勾股定理计算半径，灵活运用坐标系可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
3.(2025·宿迁沭阳外国语学校期末)已知直角$△ ABC$的两条直角边长分别为6和8,则这个三角形的外接圆的半径等于
5
.答案
3.5
4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,分别以点$A$,$C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AC$长为半径画弧,两弧相交于点$E$,$F$,直线$EF$与$AD$交于点$P$,若$PA=2$,则$△ ABC$外接圆的面积为________.
答案
4.$4π$
解析
【分析】
首先，根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是BC边上的中线，可推出AD是BC的垂直平分线，因此△ABC的外心（外接圆圆心）必在AD上；其次，根据题中的尺规作图痕迹，可知直线EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，EF上的点到A、C的距离相等，因此AD与EF的交点P同时满足到A、B、C三点距离相等，即P为△ABC的外心，PA就是外接圆的半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1.
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分BC，
∴△ABC的外心在AD上。
2. 由尺规作图的方法可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
∵点P在EF上，
∴PA=PC。
3. 又
∵点P在BC的垂直平分线AD上，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC，即点P是△ABC的外接圆的圆心，外接圆半径$r=PA=2$。
4. 因此△ABC外接圆的面积为：$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
$4π$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外接圆的概念
【点评】
本题综合了尺规作图、等腰三角形性质、垂直平分线性质与三角形外心的判定，解题的核心是通过两条垂直平分线的交点确定外心的位置，进而得到外接圆半径，属于基础综合题，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先，根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是BC边上的中线，可推出AD是BC的垂直平分线，因此△ABC的外心（外接圆圆心）必在AD上；其次，根据题中的尺规作图痕迹，可知直线EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，EF上的点到A、C的距离相等，因此AD与EF的交点P同时满足到A、B、C三点距离相等，即P为△ABC的外心，PA就是外接圆的半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1.
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分BC，
∴△ABC的外心在AD上。
2. 由尺规作图的方法可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
∵点P在EF上，
∴PA=PC。
3. 又
∵点P在BC的垂直平分线AD上，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC，即点P是△ABC的外接圆的圆心，外接圆半径$r=PA=2$。
4. 因此△ABC外接圆的面积为：$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
$4π$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外接圆的概念
【点评】
本题综合了尺规作图、等腰三角形性质、垂直平分线性质与三角形外心的判定，解题的核心是通过两条垂直平分线的交点确定外心的位置，进而得到外接圆半径，属于基础综合题，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C，交弦AB于点D.已知AB=24 cm，CD=8 cm.
(1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.
(1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.
答案
5.解:(1)如答图,$\odot O$即为所求.
(2)如答图,连接$OA$,设$OA=x$ cm.
根据题意,得$AD=12$ cm,$OD=(x-8)$cm,
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,根据勾股定理,得$x^2=12^2+(x-8)^2$,
解得$x=13$. 所以所作圆的半径为 13 cm.
解析
【分析】
(1) 要确定残片所在的圆，关键是找到圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此作弦AC的垂直平分线，与CD的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可得到所求圆。
(2) 求半径时，结合垂径定理可知CD垂直平分AB，可得AD为AB长度的一半；设圆半径为x，即可表示出OD的长度，再在Rt△AOD中利用勾股定理列方程，即可求解半径。
【解析】
(1) 作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线CD交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为残片所在的圆，作图痕迹如答图所示。
(2) 连接$OA$，设$OA=x$ cm。
∵CD是AB的垂直平分线，AB=24 cm
∴$AD=\frac{1}{2}AB=12$ cm，$∠ADO=90°$
又
∵CD=8 cm
∴$OD=OC-CD=(x-8)$ cm
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，根据勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：$x^2=12^2+(x-8)^2$
展开化简：$x^2=144+x^2-16x+64$，解得$x=13$。
【答案】
(1)如答图,$\odot O$即为所求.
(2)所作圆的半径为 13 cm.
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，将作图与几何计算结合考查，解题核心是熟练掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，通过构造直角三角形、利用方程思想求解线段长度，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定残片所在的圆，关键是找到圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此作弦AC的垂直平分线，与CD的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可得到所求圆。
(2) 求半径时，结合垂径定理可知CD垂直平分AB，可得AD为AB长度的一半；设圆半径为x，即可表示出OD的长度，再在Rt△AOD中利用勾股定理列方程，即可求解半径。
【解析】
(1) 作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线CD交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为残片所在的圆，作图痕迹如答图所示。
(2) 连接$OA$，设$OA=x$ cm。
∵CD是AB的垂直平分线，AB=24 cm
∴$AD=\frac{1}{2}AB=12$ cm，$∠ADO=90°$
又
∵CD=8 cm
∴$OD=OC-CD=(x-8)$ cm
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，根据勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：$x^2=12^2+(x-8)^2$
展开化简：$x^2=144+x^2-16x+64$，解得$x=13$。
【答案】
(1)如答图,$\odot O$即为所求.
(2)所作圆的半径为 13 cm.
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，将作图与几何计算结合考查，解题核心是熟练掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，通过构造直角三角形、利用方程思想求解线段长度，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
6.(2025·苏州相城区期中)下列命题:①经过三点一定可以作圆;②任意一个圆只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;④三角形的外心到三角形的三边距离相等.其中,真命题的个数是 (
A.4
B.3
C.2
D.1
D
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查与圆相关的命题真假判断，解题思路是逐个分析4个命题，结合确定圆的条件、三角形外接圆、外心的性质逐一判断真假，最后统计真命题的个数即可得出答案。解题时先回忆相关核心概念：不在同一直线上的三点确定一个圆；圆的内接三角形是指顶点都在圆上的三角形；三角形的外接圆是过三角形三个顶点的圆；三角形的外心是三边垂直平分线的交点。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 命题①：经过三点一定可以作圆。只有当三点不在同一条直线上时才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，故①是假命题；
2. 命题②：任意一个圆只有一个内接三角形。在圆上任意选取3个不重合的点连接得到的三角形都是圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故②是假命题；
3. 命题③：任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆。三角形的三个顶点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三点确定唯一的圆”，可知任意三角形有且只有一个外接圆，故③是真命题；
4. 命题④：三角形的外心到三角形的三边距离相等。三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，故④是假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】D
【知识点】确定圆的条件；三角形外接圆与外心
【点评】本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握相关核心概念，注意避开易错点：一是作圆的三点要求不共线，二是区分外心和内心的性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
本题考查与圆相关的命题真假判断，解题思路是逐个分析4个命题，结合确定圆的条件、三角形外接圆、外心的性质逐一判断真假，最后统计真命题的个数即可得出答案。解题时先回忆相关核心概念：不在同一直线上的三点确定一个圆；圆的内接三角形是指顶点都在圆上的三角形；三角形的外接圆是过三角形三个顶点的圆；三角形的外心是三边垂直平分线的交点。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 命题①：经过三点一定可以作圆。只有当三点不在同一条直线上时才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，故①是假命题；
2. 命题②：任意一个圆只有一个内接三角形。在圆上任意选取3个不重合的点连接得到的三角形都是圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故②是假命题；
3. 命题③：任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆。三角形的三个顶点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三点确定唯一的圆”，可知任意三角形有且只有一个外接圆，故③是真命题；
4. 命题④：三角形的外心到三角形的三边距离相等。三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，故④是假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】D
【知识点】确定圆的条件；三角形外接圆与外心
【点评】本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握相关核心概念，注意避开易错点：一是作圆的三点要求不共线，二是区分外心和内心的性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
