10. 如图，AB，CD为$\odot O$的两条直径，点E，F在直径CD上，且$CE=DF$. 猜想AF，BE的关系并说明理由.

10.解:$AF=BE$且$AF// BE$.
理由:$\because AB,CD$为$\odot O$的两条直径,
$\therefore OA=OB,OC=OD.$
$\because CE=DF,\therefore OC-CE=OD-DF,\therefore OE=OF.$
在$△ AOF$和$△ BOE$中,$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AOF=∠ BOE,\\ OF=OE,\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ BOE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AF=BE,∠ A=∠ B,\therefore AF// BE.$

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB，CD的延长线交于点E，$AB=2DE$，若$∠ E=20°$，求$∠ AOC$的度数.

11.解:如答图,连接OD.
$\because AB=2DE$,且$AB=2OD,\therefore OD=DE,$
$\therefore ∠ DOE=∠ E=20°,$
$\therefore ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=40°.$
又$\because OC=OD,\therefore ∠ C=∠ ODC=40°,$
$\therefore ∠ AOC=∠ C+∠ E=60°.$

12.(2025·宿迁泗阳县期中)如图,点A,B和点C,D分别在以点O为圆心的两个同心圆上,且∠AOB=∠COD.
(1)∠C与∠D相等吗?为什么?
(2)若B,O,D三点在同一直线上,∠A=40°,∠C=30°,求∠AOC的度数.

12.解:(1)$∠ C=∠ D$,理由:$\because ∠ AOB=∠ COD,$
$\therefore ∠ AOB+∠ AOC=∠ COD+∠ AOC,$
即$∠ AOD=∠ BOC.$
又$\because OA=OB,OD=OC,$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ C=∠ D.$
(2)$\because ∠ A=40°,∠ C=∠ D=30°,$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ A-∠ D=110°.$
同理$∠ BOC=110°.$
$\because B,O,D$三点在同一直线上,
$\therefore ∠ BOD=180°,\therefore ∠ AOC=110°+110°-180°=40°.$

13.如图,在平面直角坐标系中,$C(0,4),A(3,0),\odot A$的半径为2,P为$\odot A$上任意一点,E是PC的中点,求OE长度的最小值. 第13题图

13.解:如答图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH,AP.
$\because CE=EP,CH=AH,\therefore EH=\frac{1}{2}PA=1,$
$\therefore$点E的运动轨迹是以点H为圆心,1为半径的圆.
$\because C(0,4),A(3,0),\therefore$点H的坐标为$(1.5,2),$
$\therefore OH=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5,$
$\therefore OE$长度的最小值为$OH-EH=2.5-1=1.5.$