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7.(2025·宿迁泗洪县期中)在平面上任意画3个半径相同的圆(两两都不重复)构成一个图形，下列说法:①这个图形可能不是轴对称图形;②这个图形可能只有一条对称轴;③这个图形可能有两条对称轴;④这个图形可能有三条对称轴;⑤这个图形可能有无数条对称轴,其中说法成立的个数是 (
A.5
B.4
C.3
D.2
B
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案
7.B
解析
【分析】
解题先明确轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线为对称轴。接下来分类讨论3个等半径、不重合圆的圆心摆放位置，逐一验证5个说法是否成立：1. 三个圆心构成不等边三角形，验证①；2. 三个圆心构成非等边的等腰三角形，验证②；3. 三个圆心共线且中间圆心是另外两圆心连线的中点，验证③；4. 三个圆心构成等边三角形，验证④；5. 结合“两两不重复的圆”的条件，验证⑤是否存在，最后统计成立的说法个数即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
① 当3个圆的圆心构成三边均不相等的三角形时，整个图形找不到对折后能完全重合的直线，不是轴对称图形，故①成立；
② 当3个圆的圆心构成底和腰不相等的等腰三角形时，整个图形只有1条对称轴（等腰三角形底边的高所在直线），故②成立；
③ 当3个圆的圆心共线，且中间圆的圆心恰好是另外两个圆心连线的中点时，整个图形有2条对称轴：一条是3个圆心所在的直线，另一条是过中间圆心且垂直于三圆心连线的直线，故③成立；
④ 当3个圆的圆心构成等边三角形时，整个图形有3条对称轴（等边三角形的三条高所在直线），故④成立；
⑤ 要使图形有无数条对称轴，需3个圆完全重合，题目明确三个圆两两不重复，不可能重合，故⑤不成立。
综上，成立的说法有①②③④，共4个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，圆的基本性质，三角形对称性
【点评】
本题考查轴对称图形的判断，需要结合三个等圆不同的摆放位置分类讨论，解题的关键是全面考虑所有可能的摆放情况，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
解题先明确轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线为对称轴。接下来分类讨论3个等半径、不重合圆的圆心摆放位置，逐一验证5个说法是否成立：1. 三个圆心构成不等边三角形，验证①；2. 三个圆心构成非等边的等腰三角形，验证②；3. 三个圆心共线且中间圆心是另外两圆心连线的中点，验证③；4. 三个圆心构成等边三角形，验证④；5. 结合“两两不重复的圆”的条件，验证⑤是否存在，最后统计成立的说法个数即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
① 当3个圆的圆心构成三边均不相等的三角形时，整个图形找不到对折后能完全重合的直线，不是轴对称图形，故①成立；
② 当3个圆的圆心构成底和腰不相等的等腰三角形时，整个图形只有1条对称轴（等腰三角形底边的高所在直线），故②成立；
③ 当3个圆的圆心共线，且中间圆的圆心恰好是另外两个圆心连线的中点时，整个图形有2条对称轴：一条是3个圆心所在的直线，另一条是过中间圆心且垂直于三圆心连线的直线，故③成立；
④ 当3个圆的圆心构成等边三角形时，整个图形有3条对称轴（等边三角形的三条高所在直线），故④成立；
⑤ 要使图形有无数条对称轴，需3个圆完全重合，题目明确三个圆两两不重复，不可能重合，故⑤不成立。
综上，成立的说法有①②③④，共4个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别，圆的基本性质，三角形对称性
【点评】
本题考查轴对称图形的判断，需要结合三个等圆不同的摆放位置分类讨论，解题的关键是全面考虑所有可能的摆放情况，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
8.(2025·宿迁泗阳县期中)若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-m,m²-6)能确定一个圆，则m≠
4和-2
.答案
8.4和-2
解析
【分析】
要使三个点能确定一个圆，需满足三个点不在同一条直线上，因此我们可以先求出过A、B两点的直线解析式，再计算当点C在直线AB上时m的取值，要能确定圆，m就不能取这些值。具体步骤：①利用待定系数法求直线AB的解析式；②将点C坐标代入直线解析式，求解三点共线时对应的m值；③得到需排除的m值。
【解析】
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，因此若A、B、C三点能确定一个圆，则三点不共线。
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$ y = kx + b $，将A(1,0)、B(0,2)代入得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = 2\end{cases}$
解得$ k = -2, b = 2 $，因此直线AB的解析式为$ y = -2x + 2 $。
2. 计算三点共线时的m值：
若点C(-m, $ m^2 - 6 $)在直线AB上，将坐标代入解析式得：
$ m^2 - 6 = -2×(-m) + 2 $
整理得：$ m^2 - 2m - 8 = 0 $
因式分解得：$ (m - 4)(m + 2) = 0 $
解得$ m = 4 $或$ m = -2 $。
因此当三点不共线能确定圆时，$ m ≠ 4 $和$ -2 $。
【答案】
4和-2
【知识点】
确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式、解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是将三点确定圆的条件转化为三点不共线的判定，通过一次函数和一元二次方程的结合求解，属于基础类的综合考题，熟练掌握基本概念和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要使三个点能确定一个圆，需满足三个点不在同一条直线上，因此我们可以先求出过A、B两点的直线解析式，再计算当点C在直线AB上时m的取值，要能确定圆，m就不能取这些值。具体步骤：①利用待定系数法求直线AB的解析式；②将点C坐标代入直线解析式，求解三点共线时对应的m值；③得到需排除的m值。
【解析】
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，因此若A、B、C三点能确定一个圆，则三点不共线。
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$ y = kx + b $，将A(1,0)、B(0,2)代入得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = 2\end{cases}$
解得$ k = -2, b = 2 $，因此直线AB的解析式为$ y = -2x + 2 $。
2. 计算三点共线时的m值：
若点C(-m, $ m^2 - 6 $)在直线AB上，将坐标代入解析式得：
$ m^2 - 6 = -2×(-m) + 2 $
整理得：$ m^2 - 2m - 8 = 0 $
因式分解得：$ (m - 4)(m + 2) = 0 $
解得$ m = 4 $或$ m = -2 $。
因此当三点不共线能确定圆时，$ m ≠ 4 $和$ -2 $。
【答案】
4和-2
【知识点】
确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式、解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是将三点确定圆的条件转化为三点不共线的判定，通过一次函数和一元二次方程的结合求解，属于基础类的综合考题，熟练掌握基本概念和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9.(2025·宿迁宿城区期中)设$x,y$是一个直角三角形两条直角边的长,且$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1)=56$,则这个直角三角形的外接圆面积为
$2π$
.答案
9.$2π$
解析
【分析】
要求直角三角形的外接圆面积，首先需明确直角三角形外接圆的直径等于斜边长，因此需要先求出斜边的长度。根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，即$c^2=x^2+y^2$，观察题干给出的等式是关于$x^2+y^2$的方程，因此可采用换元法，设$t=x^2+y^2$（$t＞0$），将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，得到$t$的值后即可算出斜边长度，进而求出外接圆半径和面积。
【解析】
设$t=x^2+y^2$，
∵$x$、$y$是直角三角形的两条直角边，
∴根据勾股定理，斜边长$c$满足$c^2=x^2+y^2=t$，且$t＞0$。
将$t=x^2+y^2$代入原方程得：
$t(t-1)=56$，
整理得$t^2 - t - 56 = 0$，
因式分解得$(t-8)(t+7)=0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-7$，
∵$t＞0$，
∴舍去$t=-7$，即$c^2=8$。
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴外接圆半径$R=\frac{c}{2}$，
外接圆面积$S=π R^2=π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{4}$，
将$c^2=8$代入得：$S=\frac{π × 8}{4}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；换元法解一元二次方程；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是利用换元法将$x^2+y^2$看作整体求解，同时要注意结合实际意义舍去一元二次方程的负根，熟练掌握直角三角形外接圆的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的外接圆面积，首先需明确直角三角形外接圆的直径等于斜边长，因此需要先求出斜边的长度。根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，即$c^2=x^2+y^2$，观察题干给出的等式是关于$x^2+y^2$的方程，因此可采用换元法，设$t=x^2+y^2$（$t＞0$），将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，得到$t$的值后即可算出斜边长度，进而求出外接圆半径和面积。
【解析】
设$t=x^2+y^2$，
∵$x$、$y$是直角三角形的两条直角边，
∴根据勾股定理，斜边长$c$满足$c^2=x^2+y^2=t$，且$t＞0$。
将$t=x^2+y^2$代入原方程得：
$t(t-1)=56$，
整理得$t^2 - t - 56 = 0$，
因式分解得$(t-8)(t+7)=0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-7$，
∵$t＞0$，
∴舍去$t=-7$，即$c^2=8$。
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴外接圆半径$R=\frac{c}{2}$，
外接圆面积$S=π R^2=π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{4}$，
将$c^2=8$代入得：$S=\frac{π × 8}{4}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；换元法解一元二次方程；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是利用换元法将$x^2+y^2$看作整体求解，同时要注意结合实际意义舍去一元二次方程的负根，熟练掌握直角三角形外接圆的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
10.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$\odot O$的半径为5，则$AB=$
$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
.答案
10.$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
解析
【分析】
本题是等腰三角形外接圆相关的计算问题，解题思路如下：①由等腰三角形三线合一的性质可知，底边BC的高AD同时是BC的垂直平分线；②三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，因此外心O必然在直线AD上；③连接半径OB，在Rt△OBD中用勾股定理求出O到BC的距离OD；④分两种情况讨论：外心在△ABC内部、外心在△ABC外部，分别求出高AD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理计算腰长AB即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6，
∴D是BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=3$，且AD是BC的垂直平分线。
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴圆心O在直线AD上，连接OB，则$OB=OA=5$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
分两种情况讨论：
1. 当圆心O在△ABC内部时：
$AD=AO+OD=5+4=9$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$；
2. 当圆心O在△ABC外部时：
$AD=AO-OD=5-4=1$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
综上，AB的长为$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上，需注意分类讨论外心在三角形内部和外部两种情况，避免漏解，结合勾股定理即可完成计算。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形外接圆相关的计算问题，解题思路如下：①由等腰三角形三线合一的性质可知，底边BC的高AD同时是BC的垂直平分线；②三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，因此外心O必然在直线AD上；③连接半径OB，在Rt△OBD中用勾股定理求出O到BC的距离OD；④分两种情况讨论：外心在△ABC内部、外心在△ABC外部，分别求出高AD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理计算腰长AB即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6，
∴D是BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=3$，且AD是BC的垂直平分线。
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴圆心O在直线AD上，连接OB，则$OB=OA=5$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
分两种情况讨论：
1. 当圆心O在△ABC内部时：
$AD=AO+OD=5+4=9$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$；
2. 当圆心O在△ABC外部时：
$AD=AO-OD=5-4=1$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
综上，AB的长为$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上，需注意分类讨论外心在三角形内部和外部两种情况，避免漏解，结合勾股定理即可完成计算。
【难度系数】
0.6
11.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，动点E，F分别在边AB，AC上，且BE=AF。连接OE，OF。求证：∠BAC+∠EOF=180°。
第11题图
第11题图答案
11.证明:如答图,连接$OA$,$OB$,$OC$.
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AO$所在的直线垂直平分$BC$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC,\therefore ∠ OBA=∠ OAC.$
在$△ BOE$和$△ AOF$中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ OBE=∠ OAF, \\ OB=OA, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ AOF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BOE=∠ AOF,$
$\therefore ∠ BOE+∠ AOE=∠ AOF+∠ AOE,$
即$∠ AOB=∠ EOF.$
在$△ AOB$中,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OAF+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EOF=180°.$
解析
【分析】
要证明∠BAC+∠EOF=180°，可通过角的等量代换推导：首先连接OA、OB、OC，利用圆半径相等和AB=AC的条件，可证AO平分∠BAC，得到∠OBE=∠OAF；再结合已知BE=AF，证明△BOE≌△AOF，通过角的等量推导可得∠EOF=∠AOB；最后在△AOB中利用三角形内角和定理，对角进行代换即可得到待证结论。
【解析】
证明:如答图,连接$OA$,$OB$,$OC$.
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AO$所在的直线垂直平分$BC$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC,\therefore ∠ OBA=∠ OAC.$
在$△ BOE$和$△ AOF$中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ OBE=∠ OAF, \\ OB=OA, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ AOF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BOE=∠ AOF,$
$\therefore ∠ BOE+∠ AOE=∠ AOF+∠ AOE,$
即$∠ AOB=∠ EOF.$
在$△ AOB$中,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OAF+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EOF=180°.$
【答案】
证明:如答图,连接$OA$,$OB$,$OC$.
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AO$所在的直线垂直平分$BC$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC,\therefore ∠ OBA=∠ OAC.$
在$△ BOE$和$△ AOF$中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ OBE=∠ OAF, \\ OB=OA, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ AOF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BOE=∠ AOF,$
$\therefore ∠ BOE+∠ AOE=∠ AOF+∠ AOE,$
即$∠ AOB=∠ EOF.$
在$△ AOB$中,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OAF+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EOF=180°.$
【知识点】
圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等三角形实现角的等量转化，考查了对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
要证明∠BAC+∠EOF=180°，可通过角的等量代换推导：首先连接OA、OB、OC，利用圆半径相等和AB=AC的条件，可证AO平分∠BAC，得到∠OBE=∠OAF；再结合已知BE=AF，证明△BOE≌△AOF，通过角的等量推导可得∠EOF=∠AOB；最后在△AOB中利用三角形内角和定理，对角进行代换即可得到待证结论。
【解析】
证明:如答图,连接$OA$,$OB$,$OC$.
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AO$所在的直线垂直平分$BC$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC,\therefore ∠ OBA=∠ OAC.$
在$△ BOE$和$△ AOF$中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ OBE=∠ OAF, \\ OB=OA, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ AOF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BOE=∠ AOF,$
$\therefore ∠ BOE+∠ AOE=∠ AOF+∠ AOE,$
即$∠ AOB=∠ EOF.$
在$△ AOB$中,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OAF+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EOF=180°.$
【答案】
证明:如答图,连接$OA$,$OB$,$OC$.
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AO$所在的直线垂直平分$BC$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC,\therefore ∠ OBA=∠ OAC.$
在$△ BOE$和$△ AOF$中,$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠ OBE=∠ OAF, \\ OB=OA, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ AOF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BOE=∠ AOF,$
$\therefore ∠ BOE+∠ AOE=∠ AOF+∠ AOE,$
即$∠ AOB=∠ EOF.$
在$△ AOB$中,$∠ OAB+∠ OBA+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ OAB+∠ OAF+∠ AOB=180°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EOF=180°.$
【知识点】
圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等三角形实现角的等量转化，考查了对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
12. 如图,在平面直角坐标系中,$A(0,4),B(4,4),C(6,2)$.
(1)经过$A,B,C$三点的圆弧所在圆的圆心$D$点的坐标为
(2)$\odot D$的半径为
(3)$M$是第一象限网格中的一个格点,直线$CM⊥ CD$,点$M$的坐标为
(1)经过$A,B,C$三点的圆弧所在圆的圆心$D$点的坐标为
(2,0)
;(2)$\odot D$的半径为
$2\sqrt{5}$
,$∠ ADC$的度数为$90°$
;(3)$M$是第一象限网格中的一个格点,直线$CM⊥ CD$,点$M$的坐标为
(5,4)
.答案
12.(1)(2,0) (2)$2\sqrt{5}$ $90°$ (3)(5,4)
解析
【分析】
(1) 三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，首先根据A、B两点纵坐标相同的特征，先求出AB的垂直平分线，确定圆心的横坐标，再利用圆心到A、C两点距离相等（均为半径）列方程，求出纵坐标即可得到D点坐标；
(2) 用两点间距离公式直接计算半径，再通过勾股定理逆定理判断△ADC的形状，即可得到∠ADC的度数；
(3) 先求出直线CD的斜率，根据互相垂直的两条直线斜率乘积为-1，得到直线CM的斜率，写出直线CM的解析式，结合M是第一象限格点的条件筛选出符合要求的M点坐标。
【解析】
(1) 已知A(0,4)、B(4,4)，AB为水平线段，中点为(2,4)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心D的横坐标为2，设$D(2,m)$。
因为$DA=DC$（均为圆的半径），所以$DA^2=DC^2$：
$DA^2=(2-0)^2+(m-4)^2=4+(m-4)^2$
$DC^2=(6-2)^2+(2-m)^2=16+(2-m)^2$
代入等式化简得：$4+m^2-8m+16=16+4-4m+m^2$，解得$m=0$，即$D(2,0)$。
(2) 半径$AD=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$；
计算得$DC=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(6-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{40}$，满足$AD^2+DC^2=20+20=40=AC^2$，由勾股定理逆定理可知△ADC是等腰直角三角形，故$∠ADC=90°$。
(3) 直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{2-0}{6-2}=\frac{1}{2}$，因为$CM⊥CD$，所以$k_{CM}=-2$。
设直线CM解析式为$y=-2x+b$，代入$C(6,2)$得$2=-12+b$，解得$b=14$，即$y=-2x+14$。
M是第一象限格点，代入正整数试值得：$x=5$时$y=4$，符合要求，即$M(5,4)$。
【答案】
(1) $(2,0)$ (2) $2\sqrt{5}$，$90°$ (3) $(5,4)$
【知识点】
确定圆的条件，勾股定理逆定理，一次函数的性质
【点评】
本题综合考查了外心的性质、勾股定理逆定理及一次函数的应用，解题核心是掌握外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合坐标特征逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.6
(1) 三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，首先根据A、B两点纵坐标相同的特征，先求出AB的垂直平分线，确定圆心的横坐标，再利用圆心到A、C两点距离相等（均为半径）列方程，求出纵坐标即可得到D点坐标；
(2) 用两点间距离公式直接计算半径，再通过勾股定理逆定理判断△ADC的形状，即可得到∠ADC的度数；
(3) 先求出直线CD的斜率，根据互相垂直的两条直线斜率乘积为-1，得到直线CM的斜率，写出直线CM的解析式，结合M是第一象限格点的条件筛选出符合要求的M点坐标。
【解析】
(1) 已知A(0,4)、B(4,4)，AB为水平线段，中点为(2,4)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心D的横坐标为2，设$D(2,m)$。
因为$DA=DC$（均为圆的半径），所以$DA^2=DC^2$：
$DA^2=(2-0)^2+(m-4)^2=4+(m-4)^2$
$DC^2=(6-2)^2+(2-m)^2=16+(2-m)^2$
代入等式化简得：$4+m^2-8m+16=16+4-4m+m^2$，解得$m=0$，即$D(2,0)$。
(2) 半径$AD=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$；
计算得$DC=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(6-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{40}$，满足$AD^2+DC^2=20+20=40=AC^2$，由勾股定理逆定理可知△ADC是等腰直角三角形，故$∠ADC=90°$。
(3) 直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{2-0}{6-2}=\frac{1}{2}$，因为$CM⊥CD$，所以$k_{CM}=-2$。
设直线CM解析式为$y=-2x+b$，代入$C(6,2)$得$2=-12+b$，解得$b=14$，即$y=-2x+14$。
M是第一象限格点，代入正整数试值得：$x=5$时$y=4$，符合要求，即$M(5,4)$。
【答案】
(1) $(2,0)$ (2) $2\sqrt{5}$，$90°$ (3) $(5,4)$
【知识点】
确定圆的条件，勾股定理逆定理，一次函数的性质
【点评】
本题综合考查了外心的性质、勾股定理逆定理及一次函数的应用，解题核心是掌握外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合坐标特征逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.6
