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20.有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示，且$|a|=|b|$.
(1)化简$|b-1|+|a-1|$（用含$a$的式子表示）.
(2)化简$|a+c|-|a-b|+|b-c|$.
(1)化简$|b-1|+|a-1|$（用含$a$的式子表示）.
(2)化简$|a+c|-|a-b|+|b-c|$.
答案
20.(1)由图可知$b＜-1＜c＜0＜1＜a$,
所以$|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b.$
因为$|a|=|b|$,所以$b=-a.$所以$a-b=a-(-a)=2a.$
(2)由图可知$a+c＞0,a-b＞0,b-c＜0.$
所以$|a+c|-|a-b|+|b-c|=a+c-(a-b)+(c-b)=2c.$
所以$|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b.$
因为$|a|=|b|$,所以$b=-a.$所以$a-b=a-(-a)=2a.$
(2)由图可知$a+c＞0,a-b＞0,b-c＜0.$
所以$|a+c|-|a-b|+|b-c|=a+c-(a-b)+(c-b)=2c.$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定a、b、c的大小关系：$b＜-1＜c＜0＜1＜a$，同时结合已知$|a|=|b|$可得a、b互为相反数，即$b=-a$。再根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，分别判断每一问中绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并化简即可。第一问先判断$b-1$、$a-1$的正负，去绝对值后代入$b=-a$化简；第二问先判断$a+c$、$a-b$、$b-c$的正负，去绝对值后注意去括号的符号变化，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可得：$b＜-1＜c＜0＜1＜a$，
因此$b-1＜0$，$a-1＞0$，根据绝对值的性质：
$|b-1|+|a-1|=-(b-1)+(a-1)=1-b+a-1=a-b$，
已知$|a|=|b|$且a为正数、b为负数，因此$b=-a$，代入上式得：
$a-b=a-(-a)=2a$。
(2) 由数轴上各数的位置可得：
$a＞1$，$-1＜c＜0$，因此$a+c＞0$；
$a$为正、$b$为负，因此$a-b=a+|b|＞0$；
$b＜c$，因此$b-c＜0$。
根据绝对值的性质去掉绝对值符号：
$|a+c|-|a-b|+|b-c|=(a+c)-(a-b)+[-(b-c)]$
去括号得：$a+c -a +b +c -b$
合并同类项后得：$2c$。
【答案】
(1) $\boxed{2a}$；(2) $\boxed{2c}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题考查结合数轴判断数的取值范围，进而利用绝对值的性质化简代数式，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时注意符号的变化，是整式化简类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定a、b、c的大小关系：$b＜-1＜c＜0＜1＜a$，同时结合已知$|a|=|b|$可得a、b互为相反数，即$b=-a$。再根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，分别判断每一问中绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并化简即可。第一问先判断$b-1$、$a-1$的正负，去绝对值后代入$b=-a$化简；第二问先判断$a+c$、$a-b$、$b-c$的正负，去绝对值后注意去括号的符号变化，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可得：$b＜-1＜c＜0＜1＜a$，
因此$b-1＜0$，$a-1＞0$，根据绝对值的性质：
$|b-1|+|a-1|=-(b-1)+(a-1)=1-b+a-1=a-b$，
已知$|a|=|b|$且a为正数、b为负数，因此$b=-a$，代入上式得：
$a-b=a-(-a)=2a$。
(2) 由数轴上各数的位置可得：
$a＞1$，$-1＜c＜0$，因此$a+c＞0$；
$a$为正、$b$为负，因此$a-b=a+|b|＞0$；
$b＜c$，因此$b-c＜0$。
根据绝对值的性质去掉绝对值符号：
$|a+c|-|a-b|+|b-c|=(a+c)-(a-b)+[-(b-c)]$
去括号得：$a+c -a +b +c -b$
合并同类项后得：$2c$。
【答案】
(1) $\boxed{2a}$；(2) $\boxed{2c}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题考查结合数轴判断数的取值范围，进而利用绝对值的性质化简代数式，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时注意符号的变化，是整式化简类的基础题型。
【难度系数】
0.7
21.先化简，再求值.
(1)已知$A=3b^2-2a^2+5ab$，$B=4ab-2b^2-a^2$，当$a=1$，$b=-1$时，求$3A-4B$的值.
(2)若$A=x^2-2x-3$，$B=2x^2-5$，$C=12x^2-7x+6$，求$A-(B-4C)$的值.
(1)已知$A=3b^2-2a^2+5ab$，$B=4ab-2b^2-a^2$，当$a=1$，$b=-1$时，求$3A-4B$的值.
(2)若$A=x^2-2x-3$，$B=2x^2-5$，$C=12x^2-7x+6$，求$A-(B-4C)$的值.
答案
21.(1)原式$=17b^2-2a^2-ab=16.$ (2)原式$=47x^2-30x+26.$
解析
【分析】
(1) 求解3A-4B的值的思路：首先将A、B的表达式代入3A-4B中，再根据去括号法则去掉括号，然后合并同类项完成化简，最后将a=1、b=-1代入化简后的式子计算即可得到结果，先化简再代值可简化计算，避免出错。
(2) 求解A-(B-4C)的值的思路：先对原式去括号变形为A-B+4C，再将A、B、C的表达式代入，依次去括号、合并同类项得到最简结果即可，本题无未知数赋值，化简到最简多项式即为最终结果。
【解析】
(1) 先化简3A-4B：
将$A=3b^2-2a^2+5ab$，$B=4ab-2b^2-a^2$代入式子得：
$\begin{aligned}3A-4B&=3(3b^2-2a^2+5ab)-4(4ab-2b^2-a^2)\\&=9b^2-6a^2+15ab-16ab+8b^2+4a^2\\&=17b^2-2a^2-ab\end{aligned}$
将$a=1$，$b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=17×(-1)^2 -2×1^2 -1×(-1)\\&=17-2+1\\&=16\end{aligned}$
(2) 先化简$A-(B-4C)$：
去括号得$A-(B-4C)=A-B+4C$，将$A=x^2-2x-3$，$B=2x^2-5$，$C=12x^2-7x+6$代入式子得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-2x-3)-(2x^2-5)+4(12x^2-7x+6)\\&=x^2-2x-3-2x^2+5+48x^2-28x+24\\&=47x^2-30x+26\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{47x^2-30x+26}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式加减的运算规则，解题的易错点为去括号时符号的变化，当括号前为负号时，括号内每一项都要变号，先化简再求值的思路可大幅降低计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.75
(1) 求解3A-4B的值的思路：首先将A、B的表达式代入3A-4B中，再根据去括号法则去掉括号，然后合并同类项完成化简，最后将a=1、b=-1代入化简后的式子计算即可得到结果，先化简再代值可简化计算，避免出错。
(2) 求解A-(B-4C)的值的思路：先对原式去括号变形为A-B+4C，再将A、B、C的表达式代入，依次去括号、合并同类项得到最简结果即可，本题无未知数赋值，化简到最简多项式即为最终结果。
【解析】
(1) 先化简3A-4B：
将$A=3b^2-2a^2+5ab$，$B=4ab-2b^2-a^2$代入式子得：
$\begin{aligned}3A-4B&=3(3b^2-2a^2+5ab)-4(4ab-2b^2-a^2)\\&=9b^2-6a^2+15ab-16ab+8b^2+4a^2\\&=17b^2-2a^2-ab\end{aligned}$
将$a=1$，$b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=17×(-1)^2 -2×1^2 -1×(-1)\\&=17-2+1\\&=16\end{aligned}$
(2) 先化简$A-(B-4C)$：
去括号得$A-(B-4C)=A-B+4C$，将$A=x^2-2x-3$，$B=2x^2-5$，$C=12x^2-7x+6$代入式子得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-2x-3)-(2x^2-5)+4(12x^2-7x+6)\\&=x^2-2x-3-2x^2+5+48x^2-28x+24\\&=47x^2-30x+26\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{47x^2-30x+26}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式加减的运算规则，解题的易错点为去括号时符号的变化，当括号前为负号时，括号内每一项都要变号，先化简再求值的思路可大幅降低计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.75
22.小明在计算一个多项式减去$2(3a^2+a-5)$的差时，因疏忽，在去括号时忘了用“2”与括号里的“$3a^2+a-5$”的后两项相乘，结果得到的差为$a^2+3a-1$，求这个运算式的正确结果。
答案
22.设这个多项式为$A.$
由题意,得$A-(6a^2+a-5)=a^2+3a-1$,于是得$A=7a^2+4a-6$,
所以正确结果为$7a^2+4a-6-2(3a^2+a-5)=a^2+2a+4.$
由题意,得$A-(6a^2+a-5)=a^2+3a-1$,于是得$A=7a^2+4a-6$,
所以正确结果为$7a^2+4a-6-2(3a^2+a-5)=a^2+2a+4.$
解析
【分析】
本题属于整式加减中的“错中求解”类问题，解题思路分两步走：第一步先反推原多项式：小明的错误是去括号时仅用2乘了括号内的第一项，没给后两项乘2，所以他实际计算的算式是“原多项式-（6a²+a-5）=a²+3a-1”，我们可以根据这个错误的等式求出原多项式。第二步，将求出的原多项式代入正确的运算式，按照整式加减的规则（先去括号，再合并同类项）计算，即可得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$。
根据小明错误的运算过程，可得：
$A-(6a^2+a-5)=a^2+3a-1$
移项求$A$：
$A=a^2+3a-1+6a^2+a-5$
合并同类项得：
$A=7a^2+4a-6$
再计算正确结果，将$A$代入正确算式$A-2(3a^2+a-5)$：
$\begin{aligned}&7a^2+4a-6-2(3a^2+a-5)\\=&7a^2+4a-6-6a^2-2a+10\\=&a^2+2a+4\end{aligned}$
【答案】
$a^2+2a+4$
【知识点】
整式加减运算；去括号法则；错中求解
【点评】
本题重点考查整式加减的实际应用，解题核心是先借助错误的运算过程求出原多项式，再代入正确算式计算。运算时要注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题属于整式加减中的“错中求解”类问题，解题思路分两步走：第一步先反推原多项式：小明的错误是去括号时仅用2乘了括号内的第一项，没给后两项乘2，所以他实际计算的算式是“原多项式-（6a²+a-5）=a²+3a-1”，我们可以根据这个错误的等式求出原多项式。第二步，将求出的原多项式代入正确的运算式，按照整式加减的规则（先去括号，再合并同类项）计算，即可得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$。
根据小明错误的运算过程，可得：
$A-(6a^2+a-5)=a^2+3a-1$
移项求$A$：
$A=a^2+3a-1+6a^2+a-5$
合并同类项得：
$A=7a^2+4a-6$
再计算正确结果，将$A$代入正确算式$A-2(3a^2+a-5)$：
$\begin{aligned}&7a^2+4a-6-2(3a^2+a-5)\\=&7a^2+4a-6-6a^2-2a+10\\=&a^2+2a+4\end{aligned}$
【答案】
$a^2+2a+4$
【知识点】
整式加减运算；去括号法则；错中求解
【点评】
本题重点考查整式加减的实际应用，解题核心是先借助错误的运算过程求出原多项式，再代入正确算式计算。运算时要注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
