23.如图，是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按的方式拼成一个正方形。
(1)图②中阴影部分的边长等于。
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积。
方法1：；
方法2：。
(3)观察图②，你能写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$这三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据(3)中的等量关系，解决如下问题：若$a+b=6,ab=4$，求$(a-b)^2$的值。

23.(1)$m-n$ (2)$(m-n)^2$；$(m+n)^2-4mn$ (3)$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn.$ (4)$20.$

【分析】
1. 第(1)问：先确定分割后每个小长方形的长为m、宽为n，观察图②可知阴影部分正方形的边长为小长方形的长减去宽，直接计算即可。
2. 第(2)问：方法1直接利用正方形面积公式，用阴影正方形的边长求面积；方法2用大正方形的总面积减去周围4个小长方形的总面积，即可得到阴影面积。
3. 第(3)问：两种方法表示的都是阴影部分的面积，因此两个代数式相等，整理即可得到三个代数式的等量关系。
4. 第(4)问：将$a+b=6$、$ab=4$直接代入第(3)问得到的等量关系中计算，即可求出结果。
【解析】
(1) 原长为2m、宽为2n的长方形被均分后，每个小长方形的长为m，宽为n，观察图②可得阴影部分正方形的边长为$m-n$。
(2) 方法1：阴影部分是边长为$(m-n)$的正方形，根据正方形面积公式，面积为$\boldsymbol{(m-n)^2}$；
方法2：图②中大正方形的边长为$(m+n)$，面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为$\boldsymbol{(m+n)^2-4mn}$。
(3) 由于两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此二者相等，可得等量关系：$\boldsymbol{(m-n)^2=(m+n)^2-4mn}$。
(4) 根据(3)的结论可得：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，
将$a+b=6$，$ab=4$代入上式：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=6^2-4×4\\&=36-16\\&=20\end{aligned}$
【答案】
(1) $m-n$
(2) $(m-n)^2$；$(m+n)^2-4mn$
(3) $(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
(4) $20$
【知识点】
完全平方公式的几何背景；面积和差计算；代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的推导与应用，体现了数形结合的数学思想，掌握完全平方公式的变形规律、会用面积法列代数式是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7

24.已知整式$P=x^2+x-1,Q=x^2-x+1,R=-x^2+x+1$，若一个次数不高于二次的整式可以表示为$aP+bQ+cR$（其中$a,b,c$为常数），则可以进行如下分类：
①若$a≠0,b=c=0$，则称该整式为“$P$类整式”；
②若$a≠0,b≠0,c=0$，则称该整式为“$PQ$类整式”；
③若$a≠0,b≠0,c≠0$，则称该整式为“$PQR$类整式”；
……
(1)模仿上面的分类方式，请给出$R$类整式和$QR$类整式的定义.若，则称该整式为“$R$类整式”；若，则称该整式为“$QR$类整式”.
(2)说明整式$x^2-5x+5$为“$PQ$类整式”.
(3)$x^2+x+1$是哪一类整式？说明理由.

24.(1)$a=b=0,c≠0$；$a=0,b≠0,c≠0$
(2)因为$-2P+3Q=-2(x^2+x-1)+3(x^2-x+1)=-2x^2-2x+2+3x^2-3x+3=x^2-5x+5.$即$x^2-5x+5=-2P+3Q.$
所以$x^2-5x+5$是“$PQ$类整式”.
(3)因为$x^2+x+1=(x^2+x-1)+(x^2-x+1)+(-x^2+x+1)=P+Q+R$,
所以该整式为“$PQR$类整式”.

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先理解题目给出的分类规则：整式名称中出现的字母对应的系数不为0，未出现的字母对应的系数为0。
(1) 模仿已知的P类、PQ类整式的定义即可直接推导：R类整式说明只有R的系数不为0，其余系数为0；QR类整式说明Q和R的系数不为0，P的系数为0。
(2) 要证明整式是PQ类整式，根据定义只需找到非零常数a、b，使得aP+bQ等于该整式即可。我们可以先将aP+bQ展开合并同类项，再和目标整式对比同类项系数，列等式求出a、b，验证a、b均不为0即可。
(3) 判断$x^2+x+1$的类别，先将其表示为$aP+bQ+cR$的形式，展开合并同类项后对比系数求出a、b、c的值，再根据系数为0的情况对应分类即可。
【解析】
(1) 对照已知分类规则：“R类整式”只含R项，因此P、Q的系数为0，R的系数不为0，即$\boldsymbol{a=b=0,c≠0}$；“QR类整式”含Q、R项，不含P项，因此P的系数为0，Q、R的系数不为0，即$\boldsymbol{a=0,b≠0,c≠0}$。
(2) 设$x^2-5x+5 = aP + bQ$（$c=0$），将$P=x^2+x-1$，$Q=x^2-x+1$代入右侧展开合并同类项，对比左右同类项系数可得$\begin{cases}a+b=1\\a-b=-5\end{cases}$，解得$a=-2$，$b=3$。即$x^2-5x+5=-2P+3Q$，其中$a≠0,b≠0,c=0$，符合PQ类整式的定义。
(3) 设$x^2+x+1 = aP + bQ + cR$，将P、Q、R代入右侧展开合并同类项，对比同类项系数可得$\begin{cases}a+b -c=1\\a -b +c=1\\-a + b + c=1\end{cases}$，解得$a=1,b=1,c=1$。即$x^2+x+1=P+Q+R$，其中$a≠0,b≠0,c≠0$，符合PQR类整式的定义。
【答案】
(1)$a=b=0,c≠0$；$a=0,b≠0,c≠0$
(2)因为$-2P+3Q=-2(x^2+x-1)+3(x^2-x+1)=-2x^2-2x+2+3x^2-3x+3=x^2-5x+5$，即$x^2-5x+5=-2P+3Q$，所以$x^2-5x+5$是“$PQ$类整式”。
(3)$x^2+x+1$是“$PQR$类整式”，理由：因为$x^2+x+1=(x^2+x-1)+(x^2-x+1)+(-x^2+x+1)=P+Q+R$，符合PQR类整式的定义。
【知识点】
1.新定义问题 2.整式的加减 3.合并同类项
【点评】
本题是典型的新定义应用题型，侧重考察对新概念的理解能力和整式加减的运算能力，解题的关键是抓住分类的本质是对应系数是否为0，通过系数对应求解参数即可判断类别，整体运算量不大。
【难度系数】
0.7