登录
8. 用12 m长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是 (
方案1 方案2 方案3
A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.方案1或方案2
C
)方案1 方案2 方案3
A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.方案1或方案2
答案
8. C
【解析】方案1:设垂直于墙面的一边长为$x$ m,则平行于墙面的边长为$(12-2x)\mathrm{m}$,
则菜园面积 $y=x(12-2x)=-2x^2+12x=-2(x-3)^2+18(0＜x＜6)$,
所以当$x=3$时,$y$有最大值,最大值为18。
方案2:如图,设等腰三角形底边长$AB$为$d$ m,高$CD$为$h$ m,
因为$△ ABC$为等腰三角形,
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{d}{2}$,$AC=BC=\frac{1}{2}×12=6$。
因为$AD^2+CD^2=AC^2$,即$(\frac{d}{2})^2+h^2=36$,
整理得 $h^2=36-\frac{d^2}{4}$。
因为 $S=\frac{1}{2}dh$,
所以 $S^2=\frac{1}{4}d^2h^2=\frac{1}{4}d^2(36-\frac{d^2}{4})$。
令$d^2=T$,则$S^2=\frac{1}{4}T(36-\frac{T}{4})=-\frac{T^2}{16}+9T=-\frac{1}{16}(T-72)^2+324$,
所以当$T=72$时,$S^2$有最大值,最大值为324,
所以当$d=6\sqrt{2}$时,$S$有最大值,最大值为18。
方案3:设半圆半径为$r$ m,因为半圆的弧长为12 m,
所以$π r=12$,解得 $r=\frac{12}{π}$,
所以 $S=\frac{1}{2}π· (\frac{12}{π})^2=\frac{72}{π}$。
因为 $18＜\frac{72}{π}$,所以最佳方案是方案3。
解析
【分析】
要确定最佳方案，需分别求出三种方案下菜园的最大面积，再比较面积大小即可。首先处理方案1的矩形：设垂直墙面的边长为x，用围栏总长表示出平行墙面的边长，写出面积关于x的二次函数，利用二次函数性质求最大值；接着处理方案2的等腰三角形：利用等腰三角形三线合一和勾股定理得到底边长和高的关系，写出面积表达式后转化为二次函数求最大值；最后处理方案3的半圆：根据弧长等于围栏长求出半径，计算半圆面积；最终比较三个最大值，面积最大的方案即为最佳方案。
【解析】
方案1:设垂直于墙面的一边长为$x$ m，则平行于墙面的边长为$(12-2x)\mathrm{m}$，
则菜园面积 $y=x(12-2x)=-2x^2+12x=-2(x-3)^2+18(0＜x＜6)$，
所以当$x=3$时，$y$有最大值，最大值为$18\ \mathrm{m^2}$。
方案2:设等腰三角形底边长$AB$为$d$ m，高$CD$为$h$ m，
因为$△ ABC$为等腰三角形，$CD⊥ AB$，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{d}{2}$，两腰长$AC=BC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，即$(\frac{d}{2})^2+h^2=36$，
整理得 $h^2=36-\frac{d^2}{4}$。
三角形面积 $S=\frac{1}{2}dh$，
所以 $S^2=\frac{1}{4}d^2h^2=\frac{1}{4}d^2(36-\frac{d^2}{4})$。
令$d^2=T$，则$S^2=\frac{1}{4}T(36-\frac{T}{4})=-\frac{T^2}{16}+9T=-\frac{1}{16}(T-72)^2+324$，
所以当$T=72$时，$S^2$有最大值324，
即当$d=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$时，$S$有最大值，最大值为$18\ \mathrm{m^2}$。
方案3:设半圆半径为$r$ m，因为围栏长等于半圆的弧长，
所以$π r=12$，解得 $r=\frac{12}{π}\ \mathrm{m}$，
所以半圆面积 $S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π· (\frac{12}{π})^2=\frac{72}{π}\ \mathrm{m^2}$。
比较三个最大面积：$\frac{72}{π}\approx22.9＞18$，因此方案3的面积最大。
【答案】C
【知识点】
二次函数最值应用、勾股定理、圆的相关计算
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，需要结合不同几何图形的面积公式，通过转化为二次函数求最值的方法计算各方案的最大面积，再比较得出结论，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要确定最佳方案，需分别求出三种方案下菜园的最大面积，再比较面积大小即可。首先处理方案1的矩形：设垂直墙面的边长为x，用围栏总长表示出平行墙面的边长，写出面积关于x的二次函数，利用二次函数性质求最大值；接着处理方案2的等腰三角形：利用等腰三角形三线合一和勾股定理得到底边长和高的关系，写出面积表达式后转化为二次函数求最大值；最后处理方案3的半圆：根据弧长等于围栏长求出半径，计算半圆面积；最终比较三个最大值，面积最大的方案即为最佳方案。
【解析】
方案1:设垂直于墙面的一边长为$x$ m，则平行于墙面的边长为$(12-2x)\mathrm{m}$，
则菜园面积 $y=x(12-2x)=-2x^2+12x=-2(x-3)^2+18(0＜x＜6)$，
所以当$x=3$时，$y$有最大值，最大值为$18\ \mathrm{m^2}$。
方案2:设等腰三角形底边长$AB$为$d$ m，高$CD$为$h$ m，
因为$△ ABC$为等腰三角形，$CD⊥ AB$，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{d}{2}$，两腰长$AC=BC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，即$(\frac{d}{2})^2+h^2=36$，
整理得 $h^2=36-\frac{d^2}{4}$。
三角形面积 $S=\frac{1}{2}dh$，
所以 $S^2=\frac{1}{4}d^2h^2=\frac{1}{4}d^2(36-\frac{d^2}{4})$。
令$d^2=T$，则$S^2=\frac{1}{4}T(36-\frac{T}{4})=-\frac{T^2}{16}+9T=-\frac{1}{16}(T-72)^2+324$，
所以当$T=72$时，$S^2$有最大值324，
即当$d=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$时，$S$有最大值，最大值为$18\ \mathrm{m^2}$。
方案3:设半圆半径为$r$ m，因为围栏长等于半圆的弧长，
所以$π r=12$，解得 $r=\frac{12}{π}\ \mathrm{m}$，
所以半圆面积 $S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π· (\frac{12}{π})^2=\frac{72}{π}\ \mathrm{m^2}$。
比较三个最大面积：$\frac{72}{π}\approx22.9＞18$，因此方案3的面积最大。
【答案】C
【知识点】
二次函数最值应用、勾股定理、圆的相关计算
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，需要结合不同几何图形的面积公式，通过转化为二次函数求最值的方法计算各方案的最大面积，再比较得出结论，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，从一个直角边长为8 cm的等腰直角三角形纸板中裁出一个面积最大的矩形，最大面积是
16 cm²
。答案
9. 16 cm²
解析
【分析】
要解决等腰直角三角形中裁出最大面积矩形的问题，核心思路是将矩形面积转化为关于某边长的二次函数，再利用二次函数性质求最值。首先观察图形可知矩形的一个顶点在大三角形斜边上，结合等腰直角三角形的45°角性质，可得到矩形相邻两边的长度关系；我们设矩形的一边长为未知数，用该未知数表示出另一边的长度，即可列出面积的二次函数表达式，最终求二次函数的最大值即可得到结果。
【解析】
设矩形ABCD的边$ AB = x\ \mathrm{cm} $。
∵大三角形是直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB上方的小三角形也为等腰直角三角形，因此矩形的另一边长$ AD = (8 - x)\ \mathrm{cm} $。
矩形面积$ S = AB · AD = x(8 - x) $，整理得：
$ S = -x^2 + 8x $
该二次函数开口向下，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2×(-1)} = 4\ \mathrm{cm} $时，S取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 4×(8 - 4) = 16\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 16\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
二次函数的应用；等腰直角三角形的性质；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，将几何图形性质与二次函数最值结合考查，解题关键是利用几何关系建立面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值。
【难度系数】
0.7
要解决等腰直角三角形中裁出最大面积矩形的问题，核心思路是将矩形面积转化为关于某边长的二次函数，再利用二次函数性质求最值。首先观察图形可知矩形的一个顶点在大三角形斜边上，结合等腰直角三角形的45°角性质，可得到矩形相邻两边的长度关系；我们设矩形的一边长为未知数，用该未知数表示出另一边的长度，即可列出面积的二次函数表达式，最终求二次函数的最大值即可得到结果。
【解析】
设矩形ABCD的边$ AB = x\ \mathrm{cm} $。
∵大三角形是直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB上方的小三角形也为等腰直角三角形，因此矩形的另一边长$ AD = (8 - x)\ \mathrm{cm} $。
矩形面积$ S = AB · AD = x(8 - x) $，整理得：
$ S = -x^2 + 8x $
该二次函数开口向下，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2×(-1)} = 4\ \mathrm{cm} $时，S取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 4×(8 - 4) = 16\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 16\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
二次函数的应用；等腰直角三角形的性质；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，将几何图形性质与二次函数最值结合考查，解题关键是利用几何关系建立面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值。
【难度系数】
0.7
10. 求下列二次函数的最大值或最小值。
(1) $y=-x^2+2x$。
(2) $y=2x^2-2x+1$。
(1) $y=-x^2+2x$。
(2) $y=2x^2-2x+1$。
答案
10. 解:(1)因为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,
所以二次函数有最大值,最大值为1。
(2)因为 $y=2x^2-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$,
所以二次函数有最小值,最小值为$\frac{1}{2}$。
所以二次函数有最大值,最大值为1。
(2)因为 $y=2x^2-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$,
所以二次函数有最小值,最小值为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
求解二次函数的最值可按以下思路展开：第一步先判断二次项系数a的正负：若a＞0，二次函数开口向上，存在最小值；若a＜0，二次函数开口向下，存在最大值。第二步用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点的纵坐标k就是对应的最值。
【解析】
(1) 对$y=-x^2+2x$进行配方：
$y=-x^2+2x=-(x^2-2x)=-(x^2-2x+1-1)=-(x-1)^2+1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
∴该二次函数有最大值，最大值为1。
(2) 对$y=2x^2-2x+1$进行配方：
$y=2x^2-2x+1=2(x^2-x)+1=2(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+1=2(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$
∵二次项系数$a=2＞0$，函数图象开口向上，
∴该二次函数有最小值，最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 最大值为1；(2) 最小值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法化顶点式；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，核心考查配方法的运用，以及二次项系数正负与开口方向、最值类型的对应关系，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
求解二次函数的最值可按以下思路展开：第一步先判断二次项系数a的正负：若a＞0，二次函数开口向上，存在最小值；若a＜0，二次函数开口向下，存在最大值。第二步用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点的纵坐标k就是对应的最值。
【解析】
(1) 对$y=-x^2+2x$进行配方：
$y=-x^2+2x=-(x^2-2x)=-(x^2-2x+1-1)=-(x-1)^2+1$
∵二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
∴该二次函数有最大值，最大值为1。
(2) 对$y=2x^2-2x+1$进行配方：
$y=2x^2-2x+1=2(x^2-x)+1=2(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+1=2(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$
∵二次项系数$a=2＞0$，函数图象开口向上，
∴该二次函数有最小值，最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 最大值为1；(2) 最小值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；配方法化顶点式；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，核心考查配方法的运用，以及二次项系数正负与开口方向、最值类型的对应关系，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 浙教版九上数学课本有下面的例题:如图1,窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6 m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到0.01 m)?
这道例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05 m²。
我们如果改变这个窗户的形状,上部分改为一个等边三角形(如图2),材料总长度仍为6 m,利用图2,解答下列问题:
(1)当AB=1 m时,求此时窗户的透光面积。
(2)与课本中例题比较,改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值是否变大?请通过计算说明理由。
($\sqrt{3}$取1.7)
这道例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05 m²。
我们如果改变这个窗户的形状,上部分改为一个等边三角形(如图2),材料总长度仍为6 m,利用图2,解答下列问题:
(1)当AB=1 m时,求此时窗户的透光面积。
(2)与课本中例题比较,改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值是否变大?请通过计算说明理由。
($\sqrt{3}$取1.7)
答案
11. 解:(1)由已知可得 $CD=\frac{6-4×1}{2}=1(\mathrm{m})$,
设窗户的透光面积为 $S$,
则 $S=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+1×1=(\frac{\sqrt{3}}{4}+1)\mathrm{m}^2$。
(2)窗户的透光面积的最大值变大了。理由如下:
设 $BC=x$ m,则 $CD=\frac{1}{2}(6-4x)=(3-2x)\mathrm{m}$。
因为 $3-2x＞0$,所以 $0＜x＜\frac{3}{2}$。
由已知得 $S=S_{△ ABC}+S_{\mathrm{矩形}BCDE}=\frac{1}{2}x· \frac{\sqrt{3}}{2}x+x(3-2x)=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2-2x^2+3x=[(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)x^2+3x]\mathrm{m}^2$,
当 $x=-\frac{3}{2(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx0.95$ 时,
$S_{\mathrm{最大值}}=\frac{0-9}{4×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx1.43(\mathrm{m}^2)$。
因为 $1.43＞1.05$,
所以改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值变大了。
设窗户的透光面积为 $S$,
则 $S=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+1×1=(\frac{\sqrt{3}}{4}+1)\mathrm{m}^2$。
(2)窗户的透光面积的最大值变大了。理由如下:
设 $BC=x$ m,则 $CD=\frac{1}{2}(6-4x)=(3-2x)\mathrm{m}$。
因为 $3-2x＞0$,所以 $0＜x＜\frac{3}{2}$。
由已知得 $S=S_{△ ABC}+S_{\mathrm{矩形}BCDE}=\frac{1}{2}x· \frac{\sqrt{3}}{2}x+x(3-2x)=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2-2x^2+3x=[(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)x^2+3x]\mathrm{m}^2$,
当 $x=-\frac{3}{2(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx0.95$ 时,
$S_{\mathrm{最大值}}=\frac{0-9}{4×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx1.43(\mathrm{m}^2)$。
因为 $1.43＞1.05$,
所以改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值变大了。
解析
【分析】
(1) 首先明确图2的结构：上半部分是等边△ABC，故AB=AC=BC；下半部分是矩形BCDE，故BC=DE，BE=CD。边框总长度为AB+AC+BC+CD+DE+BE=6m。已知AB=1m时，先根据总长度求出CD的长度，再分别计算等边三角形面积和矩形面积，求和即可得到透光面积。
(2) 要判断透光面积最大值是否变大，先设BC的长度为x m，根据边框总长度表示出CD的长度，同时确定x的取值范围；再列出透光面积S关于x的二次函数表达式，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出最大面积，和例题给出的1.05m²比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得△ABC为等边三角形，因此AB=AC=BC=1m，矩形BCDE中DE=BC=1m。
边框总长度为6m，因此BE和CD的总长度为$6 - 4×1=2\ \mathrm{m}$，
又BE=CD，因此$CD=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$。
设透光面积为S，
等边△ABC的面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{m}^2$，
矩形BCDE的面积为$1×1=1\ \mathrm{m}^2$，
因此$S=\frac{\sqrt{3}}{4}+1\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$BC=x\ \mathrm{m}$，同理可得AB=AC=DE=x m，
则BE与CD的总长度为$6-4x$，因此$CD=\frac{6-4x}{2}=3-2x$，
由边长为正可得$3-2x＞0$，即x的取值范围为$0＜x＜\frac{3}{2}$。
透光面积$S=S_{△ ABC}+S_{矩形BCDE}$，代入得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + x(3-2x)=(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)x^2 + 3x$，
该二次函数二次项系数$\frac{\sqrt{3}}{4}-2＜0$，图象开口向下，顶点处S取最大值。
根据二次函数顶点公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx0.95$时，
$S_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0 - 3^2}{4×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx1.43\ \mathrm{m}^2$。
因为$1.43＞1.05$，因此改变窗户形状后，透光面积的最大值变大了。
【答案】
(1) 此时窗户的透光面积为$(\frac{\sqrt{3}}{4}+1)\mathrm{m}^2$；
(2) 改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大了，理由见解析。
【知识点】
组合图形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的窗户设计场景，考查了组合图形面积计算和二次函数最值的实际应用，解题核心是理清边框总长度对应的线段构成，准确表示各边长度后列出面积的函数表达式，求解最值时要注意自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确图2的结构：上半部分是等边△ABC，故AB=AC=BC；下半部分是矩形BCDE，故BC=DE，BE=CD。边框总长度为AB+AC+BC+CD+DE+BE=6m。已知AB=1m时，先根据总长度求出CD的长度，再分别计算等边三角形面积和矩形面积，求和即可得到透光面积。
(2) 要判断透光面积最大值是否变大，先设BC的长度为x m，根据边框总长度表示出CD的长度，同时确定x的取值范围；再列出透光面积S关于x的二次函数表达式，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出最大面积，和例题给出的1.05m²比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得△ABC为等边三角形，因此AB=AC=BC=1m，矩形BCDE中DE=BC=1m。
边框总长度为6m，因此BE和CD的总长度为$6 - 4×1=2\ \mathrm{m}$，
又BE=CD，因此$CD=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$。
设透光面积为S，
等边△ABC的面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{m}^2$，
矩形BCDE的面积为$1×1=1\ \mathrm{m}^2$，
因此$S=\frac{\sqrt{3}}{4}+1\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$BC=x\ \mathrm{m}$，同理可得AB=AC=DE=x m，
则BE与CD的总长度为$6-4x$，因此$CD=\frac{6-4x}{2}=3-2x$，
由边长为正可得$3-2x＞0$，即x的取值范围为$0＜x＜\frac{3}{2}$。
透光面积$S=S_{△ ABC}+S_{矩形BCDE}$，代入得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + x(3-2x)=(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)x^2 + 3x$，
该二次函数二次项系数$\frac{\sqrt{3}}{4}-2＜0$，图象开口向下，顶点处S取最大值。
根据二次函数顶点公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx0.95$时，
$S_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0 - 3^2}{4×(\frac{\sqrt{3}}{4}-2)}\approx1.43\ \mathrm{m}^2$。
因为$1.43＞1.05$，因此改变窗户形状后，透光面积的最大值变大了。
【答案】
(1) 此时窗户的透光面积为$(\frac{\sqrt{3}}{4}+1)\mathrm{m}^2$；
(2) 改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大了，理由见解析。
【知识点】
组合图形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的窗户设计场景，考查了组合图形面积计算和二次函数最值的实际应用，解题核心是理清边框总长度对应的线段构成，准确表示各边长度后列出面积的函数表达式，求解最值时要注意自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.6
