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1. 如图,某中学教学楼前喷水池喷出的水柱为抛物线形,其函数表达式为$y=-(x-2)^2+6$,则水柱的最大高度是 （
A.2
B.4
C.6
D.$2+\sqrt{6}$
C
）A.2
B.4
C.6
D.$2+\sqrt{6}$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察给出的二次函数表达式是顶点式，对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点$(h,k)$是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值，对应本题就是水柱的最大高度，只需要找到表达式里的$k$值即可。
【解析】
已知水柱对应的二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+6$，这是二次函数的顶点式，其中$a=-1＜0$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
该函数的顶点坐标为$(2,6)$，即当$x=2$时，$y$取得最大值$6$，因此水柱的最大高度是6。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的简单应用，核心考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中各参数的意义即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先观察给出的二次函数表达式是顶点式，对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点$(h,k)$是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值，对应本题就是水柱的最大高度，只需要找到表达式里的$k$值即可。
【解析】
已知水柱对应的二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+6$，这是二次函数的顶点式，其中$a=-1＜0$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
该函数的顶点坐标为$(2,6)$，即当$x=2$时，$y$取得最大值$6$，因此水柱的最大高度是6。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的简单应用，核心考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中各参数的意义即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm²，则y与x的函数表达式是（
A.$y=10x$
B.$y=x(20-x)$
C.$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
D.$y=x(10-x)$
C
）A.$y=10x$
B.$y=x(20-x)$
C.$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
D.$y=x(10-x)$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步先根据两条直角边的总长和其中一条边长，表示出另一条直角边的长度；第二步回忆直角三角形的面积计算公式；第三步将两条直角边的长度代入面积公式，整理后就能得到y与x的函数表达式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知直角三角形两条直角边的和为20 cm，其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20 - x)$ cm。
根据直角三角形的面积公式：$\mathrm{面积}=\frac{1}{2} × \mathrm{直角边1} × \mathrm{直角边2}$，代入数据可得：
$y=\frac{1}{2} × x × (20-x) = \frac{1}{2}x(20-x)$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形面积计算；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对几何图形面积公式的应用，以及根据数量关系列函数表达式的能力，找准变量间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步先根据两条直角边的总长和其中一条边长，表示出另一条直角边的长度；第二步回忆直角三角形的面积计算公式；第三步将两条直角边的长度代入面积公式，整理后就能得到y与x的函数表达式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知直角三角形两条直角边的和为20 cm，其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20 - x)$ cm。
根据直角三角形的面积公式：$\mathrm{面积}=\frac{1}{2} × \mathrm{直角边1} × \mathrm{直角边2}$，代入数据可得：
$y=\frac{1}{2} × x × (20-x) = \frac{1}{2}x(20-x)$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形面积计算；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对几何图形面积公式的应用，以及根据数量关系列函数表达式的能力，找准变量间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知二次函数的图象$(0≤ x≤ 1+2\sqrt{2})$。关于该函数在所给自变量取值范围内的最值情况,下列说法正确的是（
A.有最小值$-2$,无最大值
B.有最小值$-2$,有最大值$-1.5$
C.有最小值$-2$,有最大值$2$
D.有最小值$-1.5$,有最大值$2$
C
）A.有最小值$-2$,无最大值
B.有最小值$-2$,有最大值$-1.5$
C.有最小值$-2$,有最大值$2$
D.有最小值$-1.5$,有最大值$2$
答案
3. C
解析
【分析】
解这道题的核心是明确二次函数在闭区间（自变量有明确上下限范围）内的最值判断逻辑：最值要么出现在函数顶点，要么出现在区间的两个端点处，不能只看顶点。首先观察图像可知二次函数开口向上，顶点是函数的最小值点，先判断顶点是否在给定的$0≤ x≤1+2\sqrt{2}$范围内，确认顶点在区间内即可得到最小值；再分别对比区间两个端点的函数值，较大的就是区间内的最大值，对应选出正确选项即可。
【解析】
观察给定的二次函数图象，自变量取值范围为$0≤ x≤1+2\sqrt{2}$：
1. 求最小值：该二次函数开口向上，顶点纵坐标为$-2$，且顶点的横坐标在给定的取值范围内，因此函数在该区间内的最小值为$-2$；
2. 求最大值：分别看区间两端点的函数值：当$x=0$时，$y=-1.5$；当$x=1+2\sqrt{2}$时，$y=2$。比较得$2＞-1.5$，因此函数在该区间内的最大值为$2$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-2$，有最大值$2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次函数最值
3. 自变量取值范围
【点评】
本题考查二次函数在限定区间内的最值求解，解题时需注意不能只考虑顶点的函数值，要结合区间端点的函数值综合判断，运用数形结合思想可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解这道题的核心是明确二次函数在闭区间（自变量有明确上下限范围）内的最值判断逻辑：最值要么出现在函数顶点，要么出现在区间的两个端点处，不能只看顶点。首先观察图像可知二次函数开口向上，顶点是函数的最小值点，先判断顶点是否在给定的$0≤ x≤1+2\sqrt{2}$范围内，确认顶点在区间内即可得到最小值；再分别对比区间两个端点的函数值，较大的就是区间内的最大值，对应选出正确选项即可。
【解析】
观察给定的二次函数图象，自变量取值范围为$0≤ x≤1+2\sqrt{2}$：
1. 求最小值：该二次函数开口向上，顶点纵坐标为$-2$，且顶点的横坐标在给定的取值范围内，因此函数在该区间内的最小值为$-2$；
2. 求最大值：分别看区间两端点的函数值：当$x=0$时，$y=-1.5$；当$x=1+2\sqrt{2}$时，$y=2$。比较得$2＞-1.5$，因此函数在该区间内的最大值为$2$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-2$，有最大值$2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次函数最值
3. 自变量取值范围
【点评】
本题考查二次函数在限定区间内的最值求解，解题时需注意不能只考虑顶点的函数值，要结合区间端点的函数值综合判断，运用数形结合思想可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
4. 某烟花厂特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)之间的表达式是$h=-\dfrac{5}{2}t^2+20t+1$。若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，从点火升空到引爆需要的时间为（
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
B
）A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
4. B
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的最值应用问题，礼炮升空到最高点引爆，对应二次函数的最大值点。首先观察给定的$h$关于$t$的函数表达式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，其顶点就是最高点，顶点的横坐标即为从点火到引爆需要的时间，因此只需求出该二次函数顶点的横坐标即可。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的函数关系为$h=-\dfrac{5}{2}t^2+20t+1$，这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，对应礼炮的最高点。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点的横坐标为$t=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{5}{2}$，$b=20$得：
$t=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{2})}=\dfrac{-20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数最值的相关知识，解题核心是将实际场景中的“最高点”转化为二次函数的顶点特征，只要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际场景中的最值应用问题，礼炮升空到最高点引爆，对应二次函数的最大值点。首先观察给定的$h$关于$t$的函数表达式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，其顶点就是最高点，顶点的横坐标即为从点火到引爆需要的时间，因此只需求出该二次函数顶点的横坐标即可。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的函数关系为$h=-\dfrac{5}{2}t^2+20t+1$，这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，对应礼炮的最高点。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点的横坐标为$t=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{5}{2}$，$b=20$得：
$t=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{2})}=\dfrac{-20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数最值的相关知识，解题核心是将实际场景中的“最高点”转化为二次函数的顶点特征，只要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$Rt△ AOB$中，$AB⊥ OB$，且$AB=OB=3$，设直线$x=t$截此三角形所得阴影部分的面积为$S$，则下列选项中，$S$与$t$之间的函数关系的图象为（
D
）答案
5. D
解析
【分析】
首先我们可以通过建立平面直角坐标系确定Rt△AOB各顶点的坐标，求出斜边OA的直线解析式；再分析直线x=t截三角形后阴影部分面积的计算方式，这里用割补法更简便：用大三角形的面积减去右侧未被阴影覆盖的小等腰直角三角形的面积，即可得到S关于t的函数解析式；最后根据函数类型、开口方向、自变量取值范围对应判断函数图象即可。
【解析】
设点O为坐标原点，OB在x轴上，
∵AB⊥OB，AB=OB=3，
∴各点坐标为：O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(3,3)代入得3=3k，解得k=1，即OA的解析式为y=x。
当直线x=t（取值范围0≤t≤3）截三角形时，交OA于点(t,t)，交x轴于点(t,0)，右侧未被阴影覆盖的图形为等腰直角三角形，直角边长为3-t，其面积为$\frac{1}{2}(3-t)^2$。
大Rt△AOB的面积为$\frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$，因此阴影部分面积：
$S = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}(3-t)^2 = -\frac{1}{2}t^2 + 3t \quad (0 ≤ t ≤ 3)$
该函数是开口向下的二次函数，自变量t的取值范围为0~3，当t=0时S=0，t=3时S=$\frac{9}{2}$，对应图象为开口向下的抛物线在第一象限的一段，符合条件的为选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用，割补法求面积，函数图象识别
【点评】
本题结合几何图形考查函数表达式的求解与图象判断，解题核心是利用几何图形的性质求出面积的函数关系式，需注意结合自变量的实际取值范围确定图象的截取区间，避免忽略范围误选完整抛物线的选项。
【难度系数】
0.7
首先我们可以通过建立平面直角坐标系确定Rt△AOB各顶点的坐标，求出斜边OA的直线解析式；再分析直线x=t截三角形后阴影部分面积的计算方式，这里用割补法更简便：用大三角形的面积减去右侧未被阴影覆盖的小等腰直角三角形的面积，即可得到S关于t的函数解析式；最后根据函数类型、开口方向、自变量取值范围对应判断函数图象即可。
【解析】
设点O为坐标原点，OB在x轴上，
∵AB⊥OB，AB=OB=3，
∴各点坐标为：O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(3,3)代入得3=3k，解得k=1，即OA的解析式为y=x。
当直线x=t（取值范围0≤t≤3）截三角形时，交OA于点(t,t)，交x轴于点(t,0)，右侧未被阴影覆盖的图形为等腰直角三角形，直角边长为3-t，其面积为$\frac{1}{2}(3-t)^2$。
大Rt△AOB的面积为$\frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$，因此阴影部分面积：
$S = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}(3-t)^2 = -\frac{1}{2}t^2 + 3t \quad (0 ≤ t ≤ 3)$
该函数是开口向下的二次函数，自变量t的取值范围为0~3，当t=0时S=0，t=3时S=$\frac{9}{2}$，对应图象为开口向下的抛物线在第一象限的一段，符合条件的为选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用，割补法求面积，函数图象识别
【点评】
本题结合几何图形考查函数表达式的求解与图象判断，解题核心是利用几何图形的性质求出面积的函数关系式，需注意结合自变量的实际取值范围确定图象的截取区间，避免忽略范围误选完整抛物线的选项。
【难度系数】
0.7
6. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
科学家推测出$l$与$t$之间是二次函数关系。由此可以推测出最适合这种植物生长的温度为
科学家推测出$l$与$t$之间是二次函数关系。由此可以推测出最适合这种植物生长的温度为
-1
℃。答案
6. -1 ℃
解析
【分析】
要确定最适合植物生长的温度，即求植物高度增长量l最大时对应的温度t。已知l与t为二次函数关系，二次函数开口向下时顶点处取得最大值，因此可先通过待定系数法求出二次函数的解析式，再计算顶点的横坐标即可得到所求温度，优先选取包含t=0的点代入计算，可简化求系数的过程。
【解析】
设l关于t的二次函数解析式为$\boldsymbol{l=at^2+bt+c(a≠0)}$，
选取表格中三组数据$(-2,49)$、$(0,49)$、$(4,25)$代入解析式：
1. 当$t=0$，$l=49$时，代入得$c=49$；
2. 当$t=-2$，$l=49$时，代入得$4a-2b+49=49$，化简得$2a-b=0$ ①；
3. 当$t=4$，$l=25$时，代入得$16a+4b+49=25$，化简得$4a+b=-6$ ②；
联立①②，①+②得$6a=-6$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入①，得$2×(-1)-b=0$，解得$b=-2$，
因此二次函数解析式为$l=-t^2-2t+49$。
由于$a=-1＜0$，函数开口向下，顶点处l取得最大值，
顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，即温度为$-1° C$时植物高度增长量最大。
【答案】
$-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际探究场景考查二次函数的应用，解题核心是理解“最适合生长温度对应增长量最大”，即对应二次函数的最大值点，通过待定系数法求出解析式后即可计算得到结果，解题时可通过选取方便计算的点代入降低运算量。
【难度系数】
0.7
要确定最适合植物生长的温度，即求植物高度增长量l最大时对应的温度t。已知l与t为二次函数关系，二次函数开口向下时顶点处取得最大值，因此可先通过待定系数法求出二次函数的解析式，再计算顶点的横坐标即可得到所求温度，优先选取包含t=0的点代入计算，可简化求系数的过程。
【解析】
设l关于t的二次函数解析式为$\boldsymbol{l=at^2+bt+c(a≠0)}$，
选取表格中三组数据$(-2,49)$、$(0,49)$、$(4,25)$代入解析式：
1. 当$t=0$，$l=49$时，代入得$c=49$；
2. 当$t=-2$，$l=49$时，代入得$4a-2b+49=49$，化简得$2a-b=0$ ①；
3. 当$t=4$，$l=25$时，代入得$16a+4b+49=25$，化简得$4a+b=-6$ ②；
联立①②，①+②得$6a=-6$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入①，得$2×(-1)-b=0$，解得$b=-2$，
因此二次函数解析式为$l=-t^2-2t+49$。
由于$a=-1＜0$，函数开口向下，顶点处l取得最大值，
顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，即温度为$-1° C$时植物高度增长量最大。
【答案】
$-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际探究场景考查二次函数的应用，解题核心是理解“最适合生长温度对应增长量最大”，即对应二次函数的最大值点，通过待定系数法求出解析式后即可计算得到结果，解题时可通过选取方便计算的点代入降低运算量。
【难度系数】
0.7
7. 用一根长为20 cm的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是
25
cm²。答案
7. 25 cm²
解析
【分析】
首先明确铁丝长度为矩形的周长，可先设矩形的一边长为未知数，结合周长公式表示出邻边的长度，再根据矩形面积公式得到面积关于边长的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求解最大值即可，注意边长需为正数，要验证最值对应的自变量取值符合实际意义。
【解析】
解：设矩形的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则其邻边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 10 $（边长为正）。
设矩形的面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(10 - x) $
整理为二次函数的一般形式：
$ S = -x^2 + 10x $
对函数进行配方：
$ S = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25 $
∵ 二次项系数$ -1 ＜ 0 $，
∴ 该抛物线开口向下，函数有最大值。
当$ x = 5 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 25 \, \mathrm{cm}^2 $，此时邻边长为$ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，为正方形（属于特殊矩形），符合题意。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值；矩形的周长与面积计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题的核心是通过几何量的关系建立面积的函数模型，再利用二次函数的性质求最值，需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
首先明确铁丝长度为矩形的周长，可先设矩形的一边长为未知数，结合周长公式表示出邻边的长度，再根据矩形面积公式得到面积关于边长的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求解最大值即可，注意边长需为正数，要验证最值对应的自变量取值符合实际意义。
【解析】
解：设矩形的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则其邻边长为$ \frac{20}{2} - x = (10 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 10 $（边长为正）。
设矩形的面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(10 - x) $
整理为二次函数的一般形式：
$ S = -x^2 + 10x $
对函数进行配方：
$ S = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25 $
∵ 二次项系数$ -1 ＜ 0 $，
∴ 该抛物线开口向下，函数有最大值。
当$ x = 5 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 25 \, \mathrm{cm}^2 $，此时邻边长为$ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，为正方形（属于特殊矩形），符合题意。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值；矩形的周长与面积计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题的核心是通过几何量的关系建立面积的函数模型，再利用二次函数的性质求最值，需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
