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例1 下图为抛物线$y=ax^2+bx+c$的一部分，其对称轴为直线$x=2$，若其与$x$轴的一交点为$B(6,0)$，则由图象可知，不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是（
A.$x＞6$
B.$0＜x＜6$
C.$x＜-2$或$x＞6$
D.$-2＜x＜6$
D
）A.$x＞6$
B.$0＜x＜6$
C.$x＜-2$或$x＞6$
D.$-2＜x＜6$
答案
D
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找抛物线$y=ax^2+bx+c$图像位于x轴上方时对应的x的取值范围。已知抛物线对称轴为直线$x=2$，与x轴的一个交点为$B(6,0)$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，我们可以先求出另一个交点坐标，再结合抛物线开口方向，就能确定x轴上方图像对应的x的范围，也就是不等式的解集。
【解析】
1. 明确不等式的几何意义：不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，就是抛物线$y=ax^2+bx+c$的图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。
2. 求抛物线与x轴的另一个交点：抛物线对称轴为直线$x=2$，已知一个交点为$B(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，根据二次函数对称性，两个交点到对称轴的距离相等，可得：
$2 - x = 6 - 2$
解得$x=-2$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-2,0)$。
3. 结合图像判断解集：由图可知抛物线开口向下，因此当$y＞0$时，x的取值在两个交点之间，即$-2＜x＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次不等式的关系
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型基础题，解题核心是利用二次函数的对称性求出x轴上的另一个交点，再结合图像开口方向直观判断解集，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找抛物线$y=ax^2+bx+c$图像位于x轴上方时对应的x的取值范围。已知抛物线对称轴为直线$x=2$，与x轴的一个交点为$B(6,0)$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，我们可以先求出另一个交点坐标，再结合抛物线开口方向，就能确定x轴上方图像对应的x的范围，也就是不等式的解集。
【解析】
1. 明确不等式的几何意义：不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，就是抛物线$y=ax^2+bx+c$的图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。
2. 求抛物线与x轴的另一个交点：抛物线对称轴为直线$x=2$，已知一个交点为$B(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，根据二次函数对称性，两个交点到对称轴的距离相等，可得：
$2 - x = 6 - 2$
解得$x=-2$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-2,0)$。
3. 结合图像判断解集：由图可知抛物线开口向下，因此当$y＞0$时，x的取值在两个交点之间，即$-2＜x＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次不等式的关系
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型基础题，解题核心是利用二次函数的对称性求出x轴上的另一个交点，再结合图像开口方向直观判断解集，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
变式1 若二次函数 $y=x^2 -6x +c$ 的图象经过点$A(1,1)$，则方程 $x^2 -6x +c =1$ 的解为 （
A.$x=1$
B.$x=6$
C.$x=1$或$x=-7$
D.$x=1$或$x=5$
D
）A.$x=1$
B.$x=6$
C.$x=1$或$x=-7$
D.$x=1$或$x=5$
答案
D
解析
【分析】
解题可选用两种思路：思路1：先利用二次函数图象过点A的坐标特征，代入求出参数c的值，再将c代入目标一元二次方程求解即可，该思路直观易想到；思路2：根据二次函数与一元二次方程的关系，先确定x=1是方程的一个解，再结合二次函数的对称轴，利用对称性快速求出另一个解，该方法计算量更小。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点$A(1,1)$
∴ 将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c =1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴ $x_1=1$，$x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c =1$的解对应二次函数$y=x^2 -6x +c$的函数值为1时的x取值，
∵ 图象过$A(1,1)$，
∴ $x=1$是方程的一个解，
二次函数$y=x^2 -6x +c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$，
根据二次函数对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，
∴ 另一个解为$x=2×3 -1=5$，
即方程的解为$x=1$或$x=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，属于二次函数章节的基础题型，既可以用代入求参的常规方法求解，也可以利用函数对称性简化计算，熟练掌握二者的转化关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题可选用两种思路：思路1：先利用二次函数图象过点A的坐标特征，代入求出参数c的值，再将c代入目标一元二次方程求解即可，该思路直观易想到；思路2：根据二次函数与一元二次方程的关系，先确定x=1是方程的一个解，再结合二次函数的对称轴，利用对称性快速求出另一个解，该方法计算量更小。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点$A(1,1)$
∴ 将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c =1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴ $x_1=1$，$x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c =1$的解对应二次函数$y=x^2 -6x +c$的函数值为1时的x取值，
∵ 图象过$A(1,1)$，
∴ $x=1$是方程的一个解，
二次函数$y=x^2 -6x +c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$，
根据二次函数对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，
∴ 另一个解为$x=2×3 -1=5$，
即方程的解为$x=1$或$x=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，属于二次函数章节的基础题型，既可以用代入求参的常规方法求解，也可以利用函数对称性简化计算，熟练掌握二者的转化关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
变式2 如图，二次函数$y=(x-1)(x-a)$（$a$为常数）的图象的对称轴为直线$x=2$，当$y$小于0时，自变量$x$的取值范围是
$1＜x＜3$
。答案
$1＜x＜3$
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先，二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$的图象与x轴交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，本题可先确定抛物线与x轴的其中一个交点为$(1,0)$，另一个交点为$(a,0)$；其次，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的平均数，结合已知对称轴$x=2$即可求出参数$a$的值；最后，根据抛物线开口向上的性质，$y＜0$的部分对应x轴下方的图象，也就是x在两个交点之间的范围，即可得出结果。
【解析】
1. 求参数$a$的值：
对于二次函数$y=(x-1)(x-a)$，其与x轴交点的横坐标为$x=1$和$x=a$，
二次函数的对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{1+a}{2}$，
已知对称轴为$x=2$，因此列方程：
$\frac{1+a}{2}=2$
两边同乘2得：$1+a=4$，解得$a=3$。
2. 确定$y＜0$时x的取值范围：
将$a=3$代入解析式得$y=(x-1)(x-3)$，抛物线与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，
该二次函数二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，
开口向上的抛物线中，$y＜0$的部分对应x轴下方的图象，即x的取值在两个交点之间，
因此$y＜0$时，$1＜x＜3$。
【答案】
$1＜x＜3$
【知识点】
二次函数交点式性质；二次函数对称轴；二次函数与不等式关系
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型基础题，核心是利用交点式的性质结合对称轴求参数，再通过数形结合思想根据抛物线开口方向确定不等式的解集，需要熟练掌握二次函数图象与对应方程、不等式的关联。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：首先，二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$的图象与x轴交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，本题可先确定抛物线与x轴的其中一个交点为$(1,0)$，另一个交点为$(a,0)$；其次，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的平均数，结合已知对称轴$x=2$即可求出参数$a$的值；最后，根据抛物线开口向上的性质，$y＜0$的部分对应x轴下方的图象，也就是x在两个交点之间的范围，即可得出结果。
【解析】
1. 求参数$a$的值：
对于二次函数$y=(x-1)(x-a)$，其与x轴交点的横坐标为$x=1$和$x=a$，
二次函数的对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{1+a}{2}$，
已知对称轴为$x=2$，因此列方程：
$\frac{1+a}{2}=2$
两边同乘2得：$1+a=4$，解得$a=3$。
2. 确定$y＜0$时x的取值范围：
将$a=3$代入解析式得$y=(x-1)(x-3)$，抛物线与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，
该二次函数二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，
开口向上的抛物线中，$y＜0$的部分对应x轴下方的图象，即x的取值在两个交点之间，
因此$y＜0$时，$1＜x＜3$。
【答案】
$1＜x＜3$
【知识点】
二次函数交点式性质；二次函数对称轴；二次函数与不等式关系
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型基础题，核心是利用交点式的性质结合对称轴求参数，再通过数形结合思想根据抛物线开口方向确定不等式的解集，需要熟练掌握二次函数图象与对应方程、不等式的关联。
【难度系数】
0.7
例2 如图，一次函数$y=x+a$和二次函数$y=x^2+bx$的图象交于点$A(-3,0)$和点$B$，则$x+a＞x^2+bx$的解集是（
）
A.$x＞1$
B.$x＞1$或$x＜-3$
C.$-3＜x＜\frac{1}{2}$
D.$-3＜x＜1$
）A.$x＞1$
B.$x＞1$或$x＜-3$
C.$-3＜x＜\frac{1}{2}$
D.$-3＜x＜1$
答案
D
解析
【分析】
要解不等式$x+a＞x^2+bx$，本质是找一次函数$y=x+a$的图象在二次函数$y=x^2+bx$图象上方时对应的x的取值范围。首先利用已知交点A(-3,0)代入两个函数解析式，求出未知参数a、b的值，再联立两个函数解析式求出另一个交点B的横坐标，最后结合图象的上下位置关系即可确定解集。
【解析】
1. 求参数值：
将点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+a$，得$0=-3+a$，解得$a=3$，因此一次函数解析式为$y=x+3$。
将点$A(-3,0)$代入二次函数$y=x^2+bx$，得$0=(-3)^2-3b$，即$9-3b=0$，解得$b=3$，因此二次函数解析式为$y=x^2+3x$。
2. 求两个函数的交点横坐标：
联立两个函数解析式，令$x+3=x^2+3x$，整理得一元二次方程$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即两个交点的横坐标分别为$-3$和$1$。
3. 结合图象确定解集：
二次函数$y=x^2+3x$开口向上，观察图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，x的取值范围是$-3＜x＜1$，即不等式$x+a＞x^2+bx$的解集为$-3＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数与不等式的关系
2. 待定系数法求解析式
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，通过求交点坐标结合图象即可快速得到解集，避免了复杂的不等式计算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
要解不等式$x+a＞x^2+bx$，本质是找一次函数$y=x+a$的图象在二次函数$y=x^2+bx$图象上方时对应的x的取值范围。首先利用已知交点A(-3,0)代入两个函数解析式，求出未知参数a、b的值，再联立两个函数解析式求出另一个交点B的横坐标，最后结合图象的上下位置关系即可确定解集。
【解析】
1. 求参数值：
将点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+a$，得$0=-3+a$，解得$a=3$，因此一次函数解析式为$y=x+3$。
将点$A(-3,0)$代入二次函数$y=x^2+bx$，得$0=(-3)^2-3b$，即$9-3b=0$，解得$b=3$，因此二次函数解析式为$y=x^2+3x$。
2. 求两个函数的交点横坐标：
联立两个函数解析式，令$x+3=x^2+3x$，整理得一元二次方程$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即两个交点的横坐标分别为$-3$和$1$。
3. 结合图象确定解集：
二次函数$y=x^2+3x$开口向上，观察图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，x的取值范围是$-3＜x＜1$，即不等式$x+a＞x^2+bx$的解集为$-3＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数与不等式的关系
2. 待定系数法求解析式
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，通过求交点坐标结合图象即可快速得到解集，避免了复杂的不等式计算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
变式 如图，二次函数$y_1=x^2+bx+c$的图象的对称轴为直线$x=1$，与直线$y_2=x+2$相交于点A和点B(3,5)，其中点A在y轴上。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$y_1＞y_2$时，根据图象写出$x$的取值范围。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$y_1＞y_2$时，根据图象写出$x$的取值范围。
答案
解:(1)在 $y_2=x+2$ 中,令 $x=0$,得 $y_2=2$,所以$A(0,2)$。
把 $A(0,2)$ 的坐标代入二次函数 $y_1=x^2+bx+c$,得 $c=2$,所以 $y_1=x^2+bx+2$。
由题意可得 $-\frac{b}{2}=1$,所以 $b=-2$。
所以该二次函数的表达式为 $y_1=x^2-2x+2$。
(2)因为抛物线与直线 $y_2=x+2$ 相交于点 $A(0,2),B(3,5)$,
所以由图象可得,当 $y_1＞y_2$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜0$或 $x＞3$。
把 $A(0,2)$ 的坐标代入二次函数 $y_1=x^2+bx+c$,得 $c=2$,所以 $y_1=x^2+bx+2$。
由题意可得 $-\frac{b}{2}=1$,所以 $b=-2$。
所以该二次函数的表达式为 $y_1=x^2-2x+2$。
(2)因为抛物线与直线 $y_2=x+2$ 相交于点 $A(0,2),B(3,5)$,
所以由图象可得,当 $y_1＞y_2$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜0$或 $x＞3$。
解析
【分析】
(1) 要确定二次函数的表达式，已知表达式形式为$y_1=x^2+bx+c$，只需求出系数$b、c$即可。首先求点A的坐标：点A是直线$y_2=x+2$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入直线解析式即可得到A点坐标；将A点坐标代入二次函数可求出$c$的值，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题中$a=1$，对称轴为$x=1$），就能求出$b$的值，得到二次函数表达式。
(2) $y_1＞y_2$对应图象上抛物线在直线上方的部分，首先确定两个函数交点A、B的横坐标，结合抛物线开口向上的性质，直接读取对应x的取值范围即可。
【解析】
(1) 在$y_2=x+2$中，令$x=0$，得$y_2=0+2=2$，因此点A的坐标为$(0,2)$。
将$A(0,2)$代入$y_1=x^2+bx+c$，得$2=0+0+c$，即$c=2$，此时二次函数为$y_1=x^2+bx+2$。
已知二次函数对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=1$）可得：
$-\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$。
因此二次函数的表达式为$y_1=x^2-2x+2$。
(2) 由题意可知二次函数与直线$y_2=x+2$的交点为$A(0,2)$、$B(3,5)$，观察图象可得：开口向上的抛物线在$x＜0$和$x＞3$的区域位于直线上方，即满足$y_1＞y_2$。
因此$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$x＜0$或$x＞3$。
【答案】
(1) $y_1=x^2-2x+2$
(2) $x＜0$或$x＞3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴；函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质与数形结合思想的应用，解题关键是熟练掌握二次函数相关公式，学会结合函数图象的位置关系求解不等式的取值范围。
【难度系数】
0.75
(1) 要确定二次函数的表达式，已知表达式形式为$y_1=x^2+bx+c$，只需求出系数$b、c$即可。首先求点A的坐标：点A是直线$y_2=x+2$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入直线解析式即可得到A点坐标；将A点坐标代入二次函数可求出$c$的值，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题中$a=1$，对称轴为$x=1$），就能求出$b$的值，得到二次函数表达式。
(2) $y_1＞y_2$对应图象上抛物线在直线上方的部分，首先确定两个函数交点A、B的横坐标，结合抛物线开口向上的性质，直接读取对应x的取值范围即可。
【解析】
(1) 在$y_2=x+2$中，令$x=0$，得$y_2=0+2=2$，因此点A的坐标为$(0,2)$。
将$A(0,2)$代入$y_1=x^2+bx+c$，得$2=0+0+c$，即$c=2$，此时二次函数为$y_1=x^2+bx+2$。
已知二次函数对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=1$）可得：
$-\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$。
因此二次函数的表达式为$y_1=x^2-2x+2$。
(2) 由题意可知二次函数与直线$y_2=x+2$的交点为$A(0,2)$、$B(3,5)$，观察图象可得：开口向上的抛物线在$x＜0$和$x＞3$的区域位于直线上方，即满足$y_1＞y_2$。
因此$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$x＜0$或$x＞3$。
【答案】
(1) $y_1=x^2-2x+2$
(2) $x＜0$或$x＞3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴；函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质与数形结合思想的应用，解题关键是熟练掌握二次函数相关公式，学会结合函数图象的位置关系求解不等式的取值范围。
【难度系数】
0.75
