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1. 如图，由二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象可知，不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是（
A.$-6＜x＜2$
B.$x＞2$
C.$x＜-6$或$x＞2$
D.$x＜-6$
第1题图 第4题图
A
）A.$-6＜x＜2$
B.$x＞2$
C.$x＜-6$或$x＞2$
D.$x＜-6$
第1题图 第4题图
答案
A
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，可结合二次函数图像的几何意义分析：不等式成立对应二次函数图像位于x轴上方的部分，只需先确定抛物线与x轴的交点横坐标，再结合开口方向，找到图像在x轴上方对应的x的取值范围即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞0$的含义是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0，对应图像中抛物线位于x轴上方的部分。
由图可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-6,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向下，因此当$-6＜x＜2$时，抛物线在x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与不等式的关系，二次函数的图像特征
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数与不等式问题中的应用，解题关键是将不等式的求解转化为判断函数图像与x轴的位置关系，结合交点坐标可快速得到解集。
【难度系数】
0.85
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，可结合二次函数图像的几何意义分析：不等式成立对应二次函数图像位于x轴上方的部分，只需先确定抛物线与x轴的交点横坐标，再结合开口方向，找到图像在x轴上方对应的x的取值范围即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞0$的含义是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0，对应图像中抛物线位于x轴上方的部分。
由图可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(-6,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向下，因此当$-6＜x＜2$时，抛物线在x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与不等式的关系，二次函数的图像特征
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数与不等式问题中的应用，解题关键是将不等式的求解转化为判断函数图像与x轴的位置关系，结合交点坐标可快速得到解集。
【难度系数】
0.85
2. 若二次函数$y=ax^2 -3x +2$的图象与x轴有两个不同的交点，则a可以是（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需抓住两个核心解题条件：第一，题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0；第二，二次函数图象与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。我们先根据这两个条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再对照选项选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵ 该函数为二次函数
∴ 二次项系数$a≠0$，首先排除选项A
∵ 二次函数$y=ax^2 -3x +2$的图象与x轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$ax^2 -3x +2=0$有两个不相等的实数根，根据根的判别式规则，满足$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
代入$b=-3$、$c=2$得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a× 2 ＞ 0$
$9 - 8a ＞ 0$
解得$a ＜ \frac{9}{8}=1.125$
结合$a≠0$的前提，观察剩余选项：
1＜1.125，2、3均大于1.125，因此只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的前提条件，解题时需先确定二次项系数的取值限制，再结合判别式的符号求解参数范围，最后对照选项判断即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需抓住两个核心解题条件：第一，题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0；第二，二次函数图象与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。我们先根据这两个条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再对照选项选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵ 该函数为二次函数
∴ 二次项系数$a≠0$，首先排除选项A
∵ 二次函数$y=ax^2 -3x +2$的图象与x轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$ax^2 -3x +2=0$有两个不相等的实数根，根据根的判别式规则，满足$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
代入$b=-3$、$c=2$得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× a× 2 ＞ 0$
$9 - 8a ＞ 0$
解得$a ＜ \frac{9}{8}=1.125$
结合$a≠0$的前提，观察剩余选项：
1＜1.125，2、3均大于1.125，因此只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的前提条件，解题时需先确定二次项系数的取值限制，再结合判别式的符号求解参数范围，最后对照选项判断即可。
【难度系数】
0.7
3. 若二次函数 $ y = ax^2 - 1(a ≠ 0) $ 的图象经过点 $(-2,0)$，则关于 $ x $ 的方程 $ a(x-2)^2 -1 =0 $ 的实数根为（
A.$ x_1=0, x_2=4 $
B.$ x_1=-2, x_2=6 $
C.$ x_1=\frac{3}{2}, x_2=\frac{5}{2} $
D.$ x_1=-4, x_2=0 $
A
）A.$ x_1=0, x_2=4 $
B.$ x_1=-2, x_2=6 $
C.$ x_1=\frac{3}{2}, x_2=\frac{5}{2} $
D.$ x_1=-4, x_2=0 $
答案
A
解析
【分析】
解题可按两个步骤思考：第一步，题目中二次函数解析式含有未知参数a，且已知图象过定点(-2,0)，因此先将点坐标代入二次函数解析式，求出a的值；第二步，把求得的a代入关于x的方程a(x-2)²-1=0，按解一元二次方程的步骤计算即可得到实数根。也可利用二次函数平移的性质：y=a(x-2)²-1是y=ax²-1向右平移2个单位得到的，函数零点也对应右移2个单位，可快速得解。
【解析】
解法1：常规求解
∵ 二次函数$y = ax^2 - 1(a ≠ 0)$的图象经过点$(-2,0)$
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入解析式得：
$a× (-2)^2 -1=0$
$4a-1=0$，解得$a=\frac{1}{4}$
将$a=\frac{1}{4}$代入方程$a(x-2)^2 -1 =0$得：
$\frac{1}{4}(x-2)^2 -1=0$
移项得：$\frac{1}{4}(x-2)^2=1$
两边同乘4得：$(x-2)^2=4$
开平方得：$x-2=\pm 2$
当$x-2=2$时，$x=4$；当$x-2=-2$时，$x=0$
即方程的实数根为$x_1=0$，$x_2=4$。
解法2：平移法
二次函数$y=ax^2-1$的对称轴为y轴，已知图象过$(-2,0)$，由对称性可知图象也过$(2,0)$，即$ax^2-1=0$的根为$x=-2$和$x=2$。
$y=a(x-2)^2-1$是$y=ax^2-1$向右平移2个单位得到的，对应方程$a(x-2)^2-1=0$的根也向右平移2个单位，即$x=-2+2=0$，$x=2+2=4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程；二次函数图象的平移
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，既可以用先求参数再解方程的常规方法解答，也可以利用函数平移的规律简化运算，掌握基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题可按两个步骤思考：第一步，题目中二次函数解析式含有未知参数a，且已知图象过定点(-2,0)，因此先将点坐标代入二次函数解析式，求出a的值；第二步，把求得的a代入关于x的方程a(x-2)²-1=0，按解一元二次方程的步骤计算即可得到实数根。也可利用二次函数平移的性质：y=a(x-2)²-1是y=ax²-1向右平移2个单位得到的，函数零点也对应右移2个单位，可快速得解。
【解析】
解法1：常规求解
∵ 二次函数$y = ax^2 - 1(a ≠ 0)$的图象经过点$(-2,0)$
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入解析式得：
$a× (-2)^2 -1=0$
$4a-1=0$，解得$a=\frac{1}{4}$
将$a=\frac{1}{4}$代入方程$a(x-2)^2 -1 =0$得：
$\frac{1}{4}(x-2)^2 -1=0$
移项得：$\frac{1}{4}(x-2)^2=1$
两边同乘4得：$(x-2)^2=4$
开平方得：$x-2=\pm 2$
当$x-2=2$时，$x=4$；当$x-2=-2$时，$x=0$
即方程的实数根为$x_1=0$，$x_2=4$。
解法2：平移法
二次函数$y=ax^2-1$的对称轴为y轴，已知图象过$(-2,0)$，由对称性可知图象也过$(2,0)$，即$ax^2-1=0$的根为$x=-2$和$x=2$。
$y=a(x-2)^2-1$是$y=ax^2-1$向右平移2个单位得到的，对应方程$a(x-2)^2-1=0$的根也向右平移2个单位，即$x=-2+2=0$，$x=2+2=4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程；二次函数图象的平移
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，既可以用先求参数再解方程的常规方法解答，也可以利用函数平移的规律简化运算，掌握基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 与x轴相交于点A(-1,0), B(2,0)。
(1)方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解为 ______。
(2)不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 ______。
(3)不等式 $ ax^2 + bx + c ≤ 0 $ 的解集为 ______。
(1)方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解为 ______。
(2)不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 ______。
(3)不等式 $ ax^2 + bx + c ≤ 0 $ 的解集为 ______。
答案
(1)$x_1=-1,x_2=2$
(2)$-1＜x＜2$
(3)$x≤-1$或$x≥2$
(2)$-1＜x＜2$
(3)$x≤-1$或$x≥2$
解析
【分析】
解题时要利用二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系思考：① 二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解；② 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，是抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围；③ 不等式$ax^2+bx+c≤0$的解集，是抛物线在x轴下方及与x轴交点处对应的x的取值范围。结合本题给出的交点坐标和图象特征，即可直接得出结果。
【解析】
(1) 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解对应抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交点的横坐标，已知抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(2,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
(2) 不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$即函数值$y＞0$，对应抛物线在x轴上方的部分，观察图象可得该部分x的取值范围是$-1＜x＜2$，即不等式的解集为$-1＜x＜2$。
(3) 不等式$ax^2 + bx + c ≤ 0$即函数值$y≤0$，对应抛物线在x轴下方及与x轴交点的部分，观察图象可得该部分x的取值范围是$x≤-1$或$x≥2$，即不等式的解集为$x≤-1$或$x≥2$。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=2$
(2)$-1＜x＜2$
(3)$x≤-1$或$x≥2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与一元二次不等式的关系；二次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是掌握二次函数图象和对应方程、不等式之间的转化规律，结合图象直观判断取值范围即可快速解题，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时要利用二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系思考：① 二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解；② 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，是抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围；③ 不等式$ax^2+bx+c≤0$的解集，是抛物线在x轴下方及与x轴交点处对应的x的取值范围。结合本题给出的交点坐标和图象特征，即可直接得出结果。
【解析】
(1) 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解对应抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交点的横坐标，已知抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(2,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
(2) 不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$即函数值$y＞0$，对应抛物线在x轴上方的部分，观察图象可得该部分x的取值范围是$-1＜x＜2$，即不等式的解集为$-1＜x＜2$。
(3) 不等式$ax^2 + bx + c ≤ 0$即函数值$y≤0$，对应抛物线在x轴下方及与x轴交点的部分，观察图象可得该部分x的取值范围是$x≤-1$或$x≥2$，即不等式的解集为$x≤-1$或$x≥2$。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=2$
(2)$-1＜x＜2$
(3)$x≤-1$或$x≥2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与一元二次不等式的关系；二次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是掌握二次函数图象和对应方程、不等式之间的转化规律，结合图象直观判断取值范围即可快速解题，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的部分图象，写出一个满足不等式$ax^2+bx+c＜-1$的$x$的值是
1(答案不唯一)
。答案
1(答案不唯一)
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜-1$，本质是找二次函数图象上y值小于-1时对应的x的取值范围。首先从图象提取已知信息：①函数过点$(0,-1)$，②对称轴为直线$x=1.4$，③抛物线开口向上。接下来利用二次函数的对称性，求出点$(0,-1)$关于对称轴的对称点，得到$y=-1$对应的两个x值，再结合开口向上的性质，就能确定$y＜-1$的x的范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
1. 观察图象可得：二次函数$y=ax^2+bx+c$过点$(0,-1)$，对称轴为直线$x=1.4$，抛物线开口向上。
2. 求点$(0,-1)$关于对称轴的对称点：设对称点横坐标为$x$，根据对称轴是对称点连线的中点，可得$\frac{0+x}{2}=1.4$，解得$x=2.8$，即点$(2.8,-1)$也在二次函数图象上。
3. 不等式$ax^2+bx+c＜-1$对应图象中y值小于-1的部分，因为抛物线开口向上，因此当x在两个点$(0,-1)$和$(2.8,-1)$的横坐标之间时，$y＜-1$，即x的取值范围是$0＜x＜2.8$。
4. 在该区间内任取一个值即可，例如$x=1$。
【答案】
1（答案不唯一，满足$0＜x＜2.8$均可）
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；二次函数与不等式关系
【点评】
本题考查二次函数图象与不等式的结合应用，解题关键是利用二次函数对称性找到$y=-1$对应的两个x值，再结合开口方向判断取值范围，结合图象分析会更直观简便。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＜-1$，本质是找二次函数图象上y值小于-1时对应的x的取值范围。首先从图象提取已知信息：①函数过点$(0,-1)$，②对称轴为直线$x=1.4$，③抛物线开口向上。接下来利用二次函数的对称性，求出点$(0,-1)$关于对称轴的对称点，得到$y=-1$对应的两个x值，再结合开口向上的性质，就能确定$y＜-1$的x的范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
1. 观察图象可得：二次函数$y=ax^2+bx+c$过点$(0,-1)$，对称轴为直线$x=1.4$，抛物线开口向上。
2. 求点$(0,-1)$关于对称轴的对称点：设对称点横坐标为$x$，根据对称轴是对称点连线的中点，可得$\frac{0+x}{2}=1.4$，解得$x=2.8$，即点$(2.8,-1)$也在二次函数图象上。
3. 不等式$ax^2+bx+c＜-1$对应图象中y值小于-1的部分，因为抛物线开口向上，因此当x在两个点$(0,-1)$和$(2.8,-1)$的横坐标之间时，$y＜-1$，即x的取值范围是$0＜x＜2.8$。
4. 在该区间内任取一个值即可，例如$x=1$。
【答案】
1（答案不唯一，满足$0＜x＜2.8$均可）
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；二次函数与不等式关系
【点评】
本题考查二次函数图象与不等式的结合应用，解题关键是利用二次函数对称性找到$y=-1$对应的两个x值，再结合开口方向判断取值范围，结合图象分析会更直观简便。
【难度系数】
0.7
6. 如图，抛物线$y=-x^2+mx$与直线$y=x+b$相交于点A和点B，直线AB与y轴相交于点$C(0,-2)$。
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标。
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x的不等式$-x^2+mx≤x+b$的解集。
(3)若关于x的方程$-x^2+mx=n$在$-1≤x≤2$的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围。
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标。
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x的不等式$-x^2+mx≤x+b$的解集。
(3)若关于x的方程$-x^2+mx=n$在$-1≤x≤2$的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围。
答案
解:(1)由题意,将点 $C(0,-2)$ 的坐标代入 $y=x+b$,得 $b=-2$,所以 $y=x-2$。
当 $y=0$ 时,$x-2=0$,解得 $x=2$,所以 $B(2,0)$。
将点 $B(2,0)$ 的坐标代入 $y=-x^2+mx$,得 $-2^2+2m=0$,
解得 $m=2$。
所以抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+2x$。
因为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,所以顶点坐标为$(1,1)$。
(2)因为直线 $y=x-2$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 的交点A 在第三象限,由 $-x^2+2x=x-2$,
得 $x=2$(不符合题意,舍去)或 $x=-1$,所以 $y=-3$,
所以点 A 的坐标为 $(-1,-3)$。
观察图象,得不等式 $-x^2+mx≤x+b$ 的解集为 $x≤-1$ 或 $x≥2$。
(3)方程 $-x^2+mx=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个交点。
如图,当 $-3≤n＜0$ 时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 始终有一个交点;当直线 $y=n$ 经过抛物线的顶点时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 有一个交点。
所以 $n$ 的取值范围为 $-3≤n＜0$ 或 $n=1$。
解析
【分析】
(1) 先利用直线过点C(0,-2)求出直线解析式中的参数b，再求出直线与x轴交点B的坐标，将B代入抛物线解析式求出m，最后将抛物线配方即可得到顶点坐标；
(2) 联立抛物线和直线的解析式解方程，结合点A在第三象限的位置特征确定A的坐标；不等式$-x^2+mx≤x+b$对应抛物线图象在直线下方的区域，结合两个交点的横坐标即可得到解集；
(3) 方程$-x^2+mx=n$的根等价于抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=n$的交点横坐标，要在$-1≤x≤2$范围内只有一个交点，分两种情况讨论：一是直线过抛物线顶点（相切，有一个交点），二是直线位于x=-1对应的函数值到x=0对应的函数值之间，结合图象判断边界取舍即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 将点$C(0,-2)$代入$y=x+b$，得$b=-2$，因此直线解析式为$y=x-2$。
令$y=0$，则$x-2=0$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。
将$B(2,0)$代入$y=-x^2+mx$，得$-4+2m=0$，解得$m=2$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x$，配方得$y=-(x-1)^2+1$，所以顶点坐标为$(1,1)$。
(2) 联立$\begin{cases}y=x-2\\y=-x^2+2x\end{cases}$，得$-x^2+2x=x-2$，整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
因为点A在第三象限，所以$x=-1$，代入$y=x-2$得$y=-3$，即$A(-1,-3)$。
观察图象，抛物线在直线下方对应的x取值为$x≤-1$或$x≥2$，即不等式的解集为$x≤-1$或$x≥2$。
(3) 方程$-x^2+mx=n$在$-1≤x≤2$范围内只有一个根，等价于抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=n$在$-1≤x≤2$范围内只有一个交点。
结合图象，当$n=1$时，直线过抛物线顶点，只有一个交点；当$-3≤n＜0$时，直线与抛物线在范围内也只有一个交点，因此n的取值范围为$-3≤n＜0$或$n=1$。
【答案】
解:(1)由题意,将点 $C(0,-2)$ 的坐标代入 $y=x+b$,得 $b=-2$,所以 $y=x-2$。
当 $y=0$ 时,$x-2=0$,解得 $x=2$,所以 $B(2,0)$。
将点 $B(2,0)$ 的坐标代入 $y=-x^2+mx$,得 $-2^2+2m=0$,
解得 $m=2$。
所以抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+2x$。
因为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,所以顶点坐标为$(1,1)$。
(2)因为直线 $y=x-2$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 的交点A 在第三象限,由 $-x^2+2x=x-2$,
得 $x=2$(不符合题意,舍去)或 $x=-1$,所以 $y=-3$,
所以点 A 的坐标为 $(-1,-3)$。
观察图象,得不等式 $-x^2+mx≤x+b$ 的解集为 $x≤-1$ 或 $x≥2$。
(3)方程 $-x^2+mx=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个交点。
如图,当 $-3≤n＜0$ 时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 始终有一个交点;当直线 $y=n$ 经过抛物线的顶点时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 有一个交点。
所以 $n$ 的取值范围为 $-3≤n＜0$ 或 $n=1$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数与方程、不等式的关系
【点评】
本题为二次函数综合题，将解析式求解、不等式解集、方程根的问题与函数图象结合，重点考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的性质，能灵活将代数问题转化为图象交点问题求解。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用直线过点C(0,-2)求出直线解析式中的参数b，再求出直线与x轴交点B的坐标，将B代入抛物线解析式求出m，最后将抛物线配方即可得到顶点坐标；
(2) 联立抛物线和直线的解析式解方程，结合点A在第三象限的位置特征确定A的坐标；不等式$-x^2+mx≤x+b$对应抛物线图象在直线下方的区域，结合两个交点的横坐标即可得到解集；
(3) 方程$-x^2+mx=n$的根等价于抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=n$的交点横坐标，要在$-1≤x≤2$范围内只有一个交点，分两种情况讨论：一是直线过抛物线顶点（相切，有一个交点），二是直线位于x=-1对应的函数值到x=0对应的函数值之间，结合图象判断边界取舍即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 将点$C(0,-2)$代入$y=x+b$，得$b=-2$，因此直线解析式为$y=x-2$。
令$y=0$，则$x-2=0$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。
将$B(2,0)$代入$y=-x^2+mx$，得$-4+2m=0$，解得$m=2$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x$，配方得$y=-(x-1)^2+1$，所以顶点坐标为$(1,1)$。
(2) 联立$\begin{cases}y=x-2\\y=-x^2+2x\end{cases}$，得$-x^2+2x=x-2$，整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
因为点A在第三象限，所以$x=-1$，代入$y=x-2$得$y=-3$，即$A(-1,-3)$。
观察图象，抛物线在直线下方对应的x取值为$x≤-1$或$x≥2$，即不等式的解集为$x≤-1$或$x≥2$。
(3) 方程$-x^2+mx=n$在$-1≤x≤2$范围内只有一个根，等价于抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=n$在$-1≤x≤2$范围内只有一个交点。
结合图象，当$n=1$时，直线过抛物线顶点，只有一个交点；当$-3≤n＜0$时，直线与抛物线在范围内也只有一个交点，因此n的取值范围为$-3≤n＜0$或$n=1$。
【答案】
解:(1)由题意,将点 $C(0,-2)$ 的坐标代入 $y=x+b$,得 $b=-2$,所以 $y=x-2$。
当 $y=0$ 时,$x-2=0$,解得 $x=2$,所以 $B(2,0)$。
将点 $B(2,0)$ 的坐标代入 $y=-x^2+mx$,得 $-2^2+2m=0$,
解得 $m=2$。
所以抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+2x$。
因为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,所以顶点坐标为$(1,1)$。
(2)因为直线 $y=x-2$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 的交点A 在第三象限,由 $-x^2+2x=x-2$,
得 $x=2$(不符合题意,舍去)或 $x=-1$,所以 $y=-3$,
所以点 A 的坐标为 $(-1,-3)$。
观察图象,得不等式 $-x^2+mx≤x+b$ 的解集为 $x≤-1$ 或 $x≥2$。
(3)方程 $-x^2+mx=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=n$ 在 $-1≤x≤2$ 的范围内只有一个交点。
如图,当 $-3≤n＜0$ 时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 始终有一个交点;当直线 $y=n$ 经过抛物线的顶点时,直线 $y=n$ 与抛物线 $y=-x^2+2x$ 有一个交点。
所以 $n$ 的取值范围为 $-3≤n＜0$ 或 $n=1$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数与方程、不等式的关系
【点评】
本题为二次函数综合题，将解析式求解、不等式解集、方程根的问题与函数图象结合，重点考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的性质，能灵活将代数问题转化为图象交点问题求解。
【难度系数】
0.6
