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1.利用二次函数求最大利润问题的一般步骤：
①引入自变量，用含自变量的代数式分别表示
②建立关于
③根据
①引入自变量，用含自变量的代数式分别表示
单件利润
及销售量
；②建立关于
销售利润
的函数关系式；③根据
函数关系式
求出最大值及取得最大值时自变量
的值。答案
①单件利润 销售量 ②销售利润
③函数关系式 自变量
③函数关系式 自变量
解析
【分析】
这道题考查利用二次函数求解最大利润问题的基本步骤，解题时要围绕利润问题的核心逻辑推导：首先总利润的计算基础是单件利润和销售量，所以第一步需要先用自变量表示出这两个核心量；其次我们的目标是求利润的最大值，因此要建立总利润和自变量之间的二次函数关系；最后结合得到的函数关系式，利用二次函数求最值的方法，算出最大利润以及此时对应的自变量取值即可。
【解析】
结合二次函数求最大利润的解题逻辑：
① 总利润的核心计算公式为总利润=单件利润×销售量，因此引入自变量后，首先需要用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量；
② 我们的求解目标是利润的最大值，因此要建立关于销售利润的函数关系式；
③ 得到函数关系式后，根据函数关系式的二次函数最值性质，求出最大值以及取得最大值时自变量的值。
【答案】
①单件利润 销售量 ②销售利润
③函数关系式 自变量
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察利用二次函数解决最大利润问题的标准步骤，是解决各类复杂二次函数利润应用问题的基础，熟练掌握该流程后可以快速梳理利润类应用题的解题思路。
【难度系数】
0.8
这道题考查利用二次函数求解最大利润问题的基本步骤，解题时要围绕利润问题的核心逻辑推导：首先总利润的计算基础是单件利润和销售量，所以第一步需要先用自变量表示出这两个核心量；其次我们的目标是求利润的最大值，因此要建立总利润和自变量之间的二次函数关系；最后结合得到的函数关系式，利用二次函数求最值的方法，算出最大利润以及此时对应的自变量取值即可。
【解析】
结合二次函数求最大利润的解题逻辑：
① 总利润的核心计算公式为总利润=单件利润×销售量，因此引入自变量后，首先需要用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量；
② 我们的求解目标是利润的最大值，因此要建立关于销售利润的函数关系式；
③ 得到函数关系式后，根据函数关系式的二次函数最值性质，求出最大值以及取得最大值时自变量的值。
【答案】
①单件利润 销售量 ②销售利润
③函数关系式 自变量
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察利用二次函数解决最大利润问题的标准步骤，是解决各类复杂二次函数利润应用问题的基础，熟练掌握该流程后可以快速梳理利润类应用题的解题思路。
【难度系数】
0.8
2.利用二次函数求最大利润时,如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围
内,那么二次函数的
内,那么二次函数的最大值
就是所求的最大利润;如果列出的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取值是在对称轴的哪一侧,然后结合二次函数的增减性求出最大利润。答案
最大值
解析
【分析】
首先回忆二次函数的最值特点：利润问题对应的二次函数通常开口向下，存在最大值。解题时先明确对称轴和自变量取值范围的关系：如果对称轴在自变量范围内，二次函数在顶点处取得的最值就是所求的最大利润，结合这一逻辑就能确定应填的内容。
【解析】
利润问题对应的二次函数一般二次项系数小于0，图象开口向下，函数存在最大值。当二次函数的对称轴在题目给定的自变量取值范围内时，函数在对称轴位置取得最大值，这个最大值就是所求的最大利润，因此此处填“最大值”。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数最值；二次函数的应用
【点评】
本题考查二次函数求最大利润的基础规则，需要结合二次函数的图象性质理解最值的取值条件，区分对称轴在自变量范围内外的不同情况，是解决二次函数实际最值问题的基础内容。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数的最值特点：利润问题对应的二次函数通常开口向下，存在最大值。解题时先明确对称轴和自变量取值范围的关系：如果对称轴在自变量范围内，二次函数在顶点处取得的最值就是所求的最大利润，结合这一逻辑就能确定应填的内容。
【解析】
利润问题对应的二次函数一般二次项系数小于0，图象开口向下，函数存在最大值。当二次函数的对称轴在题目给定的自变量取值范围内时，函数在对称轴位置取得最大值，这个最大值就是所求的最大利润，因此此处填“最大值”。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数最值；二次函数的应用
【点评】
本题考查二次函数求最大利润的基础规则，需要结合二次函数的图象性质理解最值的取值条件，区分对称轴在自变量范围内外的不同情况，是解决二次函数实际最值问题的基础内容。
【难度系数】
0.9
1.已知某商品的销售利润$y$(元)与该商品的销售单价$x$(元)之间满足$y=-20x^2 + 1400x - 20000$，则获利最多为(
A.4 500元
B.5 500元
C.450元
D.20 000元
A
)。A.4 500元
B.5 500元
C.450元
D.20 000元
答案
A
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解销售最大利润的问题，解题思路如下：1. 首先明确y是关于x的二次函数，观察二次项系数为-20＜0，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标；2. 可选用九年级要求掌握的顶点公式法或配方法计算最值，代入对应系数运算即可得到最大利润。
【解析】
解法1（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-20$，$b=1400$，$c=-20000$，且$a＜0$，因此y有最大值：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-20)×(-20000)-1400^2}{4×(-20)}\\&=\frac{1600000-1960000}{-80}\\&=\frac{-360000}{-80}=4500(\mathrm{元})\end{aligned}$
解法2（配方法）：
对函数表达式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-20x^2+1400x-20000\\&=-20(x^2-70x)-20000\\&=-20(x^2-70x+35^2-35^2)-20000\\&=-20(x-35)^2+24500-20000\\&=-20(x-35)^2+4500\end{aligned}$
$\because -20＜0$，$\therefore$当$x=35$时，y取得最大值4500元。
综上，获利最多为4500元，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数最值计算 2. 二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查二次函数最值性质的理解和计算能力，熟练掌握顶点公式或配方法求二次函数最值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是利用二次函数求解销售最大利润的问题，解题思路如下：1. 首先明确y是关于x的二次函数，观察二次项系数为-20＜0，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标；2. 可选用九年级要求掌握的顶点公式法或配方法计算最值，代入对应系数运算即可得到最大利润。
【解析】
解法1（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-20$，$b=1400$，$c=-20000$，且$a＜0$，因此y有最大值：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-20)×(-20000)-1400^2}{4×(-20)}\\&=\frac{1600000-1960000}{-80}\\&=\frac{-360000}{-80}=4500(\mathrm{元})\end{aligned}$
解法2（配方法）：
对函数表达式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-20x^2+1400x-20000\\&=-20(x^2-70x)-20000\\&=-20(x^2-70x+35^2-35^2)-20000\\&=-20(x-35)^2+24500-20000\\&=-20(x-35)^2+4500\end{aligned}$
$\because -20＜0$，$\therefore$当$x=35$时，y取得最大值4500元。
综上，获利最多为4500元，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数最值计算 2. 二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心考查二次函数最值性质的理解和计算能力，熟练掌握顶点公式或配方法求二次函数最值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.汽车刹车后行驶的距离$s(\mathrm{m})$关于行驶的时间$t(\mathrm{s})$的函数表达式是$s=20t-5t^2$，则汽车刹车后到停下来前进的距离是(
A.10 m
B.20 m
C.30 m
D.40 m
B
)。A.10 m
B.20 m
C.30 m
D.40 m
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：汽车刹车后到停下来时，行驶的距离s达到最大值，之后汽车不再前进，距离不会再增加。题目给出的s是关于t的二次函数，且二次项系数为-5＜0，函数图象开口向下，存在最大值，我们只需求出该二次函数的最大值，即为汽车刹车后前进的总距离，可通过配方法或二次函数顶点最值公式计算。
【解析】
方法一：配方法
将函数表达式整理为标准二次函数形式：
$s=-5t^2+20t$
对二次项和一次项提取公因式并配方：
$s=-5(t^2-4t)$
$s=-5(t^2-4t+4-4)$
$s=-5(t-2)^2+20$
$\because$ 二次项系数$-5＜0$，
$\therefore$ 当$t=2$时，$s$取得最大值，最大值为$20\mathrm{m}$，即汽车刹车后到停下来前进的距离是20m。
方法二：顶点最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-5$，$b=20$，$c=0$，代入公式得：
$s_{\mathrm{最大}}=\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20(\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数最值的求解，解题的核心是将实际问题中“刹车后前进的总距离”转化为二次函数的最大值，需要熟练掌握配方法、顶点公式两种求二次函数最值的方法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确：汽车刹车后到停下来时，行驶的距离s达到最大值，之后汽车不再前进，距离不会再增加。题目给出的s是关于t的二次函数，且二次项系数为-5＜0，函数图象开口向下，存在最大值，我们只需求出该二次函数的最大值，即为汽车刹车后前进的总距离，可通过配方法或二次函数顶点最值公式计算。
【解析】
方法一：配方法
将函数表达式整理为标准二次函数形式：
$s=-5t^2+20t$
对二次项和一次项提取公因式并配方：
$s=-5(t^2-4t)$
$s=-5(t^2-4t+4-4)$
$s=-5(t-2)^2+20$
$\because$ 二次项系数$-5＜0$，
$\therefore$ 当$t=2$时，$s$取得最大值，最大值为$20\mathrm{m}$，即汽车刹车后到停下来前进的距离是20m。
方法二：顶点最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-5$，$b=20$，$c=0$，代入公式得：
$s_{\mathrm{最大}}=\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20(\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数最值的求解，解题的核心是将实际问题中“刹车后前进的总距离”转化为二次函数的最大值，需要熟练掌握配方法、顶点公式两种求二次函数最值的方法。
【难度系数】
0.8
3.某种新型礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$之间的关系式为$h=-\dfrac{5}{2}t^2 +20t +1$。若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
A.$6\ \mathrm{s}$
B.$5\ \mathrm{s}$
C.$4\ \mathrm{s}$
D.$3\ \mathrm{s}$
C
）。A.$6\ \mathrm{s}$
B.$5\ \mathrm{s}$
C.$4\ \mathrm{s}$
D.$3\ \mathrm{s}$
答案
C
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，礼炮在最高点引爆，本质是求高度h取得最大值时对应的飞行时间t。给出的h与t的关系式是二次函数形式，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点位置就是h取最大值的位置，因此只需计算该二次函数顶点的横坐标，即可得到所求时间。
【解析】
已知高度h与飞行时间t的关系式为$h=-\dfrac{5}{2}t^2 +20t +1$，属于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式，其中$a=-\dfrac{5}{2}$，$b=20$。
因为$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，对应礼炮的最高点。
二次函数取最大值时对应的自变量（即顶点横坐标）公式为：$t=-\dfrac{b}{2a}$
将a、b的数值代入公式计算：
$t=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{2})} = -\dfrac{20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，二次函数顶点公式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考察二次函数的应用，解题核心是将“求最高点对应的时间”转化为“求二次函数取最大值时的自变量值”，侧重检验学生对二次函数基础性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中的应用，礼炮在最高点引爆，本质是求高度h取得最大值时对应的飞行时间t。给出的h与t的关系式是二次函数形式，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点位置就是h取最大值的位置，因此只需计算该二次函数顶点的横坐标，即可得到所求时间。
【解析】
已知高度h与飞行时间t的关系式为$h=-\dfrac{5}{2}t^2 +20t +1$，属于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式，其中$a=-\dfrac{5}{2}$，$b=20$。
因为$a=-\dfrac{5}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，对应礼炮的最高点。
二次函数取最大值时对应的自变量（即顶点横坐标）公式为：$t=-\dfrac{b}{2a}$
将a、b的数值代入公式计算：
$t=-\dfrac{20}{2×(-\dfrac{5}{2})} = -\dfrac{20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，二次函数顶点公式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考察二次函数的应用，解题核心是将“求最高点对应的时间”转化为“求二次函数取最大值时的自变量值”，侧重检验学生对二次函数基础性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
4.某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则平均每星期就会少卖出10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每星期销售该商品获利最多时的x为（
A.5
B.65
C.55
D.15
A
）。A.5
B.65
C.55
D.15
答案
A
解析
【分析】要解决销售获利最大的问题，首先需明确总利润的计算公式：总利润=单件商品的利润×销售数量。我们先根据题目给出的售价上涨幅度、销量变化规律，分别表示出涨价后的单件利润和销售数量，进而列出总利润关于x的二次函数关系式，再结合二次函数的性质求最大值对应的x值即可，注意x为正整数的限制条件。
【解析】设每星期销售该商品的总利润为y元。
1. 表示单件利润：进价为50元/件，原售价60元/件，售价上涨x元后，单件利润为$60 + x - 50 = (10 + x)$元；
2. 表示销售数量：售价每涨1元少卖10件，上涨x元后，销售量为$(200 - 10x)$件；
3. 列总利润的函数关系式：
$y = (10 + x)(200 - 10x)$
展开整理得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$
4. 求二次函数的最值：
该二次函数中$a = -10 ＜ 0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=100$得：
$x = -\frac{100}{2×(-10)} = 5$
x为正整数，符合题意，即x=5时每星期销售该商品获利最多。
【答案】A
【知识点】二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】本题属于销售类二次函数的常规应用题型，解题核心是准确梳理数量关系建立函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握基础的二次函数相关公式即可顺利解答。
【难度系数】0.7
【解析】设每星期销售该商品的总利润为y元。
1. 表示单件利润：进价为50元/件，原售价60元/件，售价上涨x元后，单件利润为$60 + x - 50 = (10 + x)$元；
2. 表示销售数量：售价每涨1元少卖10件，上涨x元后，销售量为$(200 - 10x)$件；
3. 列总利润的函数关系式：
$y = (10 + x)(200 - 10x)$
展开整理得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$
4. 求二次函数的最值：
该二次函数中$a = -10 ＜ 0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=100$得：
$x = -\frac{100}{2×(-10)} = 5$
x为正整数，符合题意，即x=5时每星期销售该商品获利最多。
【答案】A
【知识点】二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】本题属于销售类二次函数的常规应用题型，解题核心是准确梳理数量关系建立函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握基础的二次函数相关公式即可顺利解答。
【难度系数】0.7
5.科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润$y$(元)与销售台数$x$(台)满足$y=-x^2 +40x +15600$，则当卖出
20
台时，所获利润最大。答案
20
解析
【分析】
本题是二次函数在销售利润最值问题中的应用，解题思路如下：1. 首先判断给出的利润$y$与销售台数$x$的关系式为二次函数，二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线的顶点位置；2. 要求利润最大时的销售台数，只需要求解顶点的横坐标即可，可直接用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可通过配方法将函数化为顶点式求解，最终结果需符合销售台数为非负整数的实际要求。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 +40x +15600$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$的参数为：$a=-1$，$b=40$，$c=15600$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
根据二次函数顶点坐标的规律，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，代入数值计算：
$x=-\frac{40}{2×(-1)}=20$
20为正整数，符合销售台数的实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，核心是利用二次函数开口方向与最值的关系解题，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际场景的要求，熟练掌握顶点坐标公式或配方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在销售利润最值问题中的应用，解题思路如下：1. 首先判断给出的利润$y$与销售台数$x$的关系式为二次函数，二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线的顶点位置；2. 要求利润最大时的销售台数，只需要求解顶点的横坐标即可，可直接用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可通过配方法将函数化为顶点式求解，最终结果需符合销售台数为非负整数的实际要求。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 +40x +15600$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$的参数为：$a=-1$，$b=40$，$c=15600$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，$y$存在最大值。
根据二次函数顶点坐标的规律，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，代入数值计算：
$x=-\frac{40}{2×(-1)}=20$
20为正整数，符合销售台数的实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，核心是利用二次函数开口方向与最值的关系解题，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际场景的要求，熟练掌握顶点坐标公式或配方法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6.儿童商场购进一批新款服装，销售时标价为75元/件，按八折销售仍可获利50%。商场现决定对新款服装开展促销活动，每件在八折的基础上再降价x元，已知每天的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为$y=20+4x(x＞0)$。
(1)求该新款服装的进价；
(2)求促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值。
(1)求该新款服装的进价；
(2)求促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值。
答案
(1)新款服装的进价为 40 元/件。
(2)促销期间每天销售新款服装所获得的利润 W 的最大值是 625 元。
(2)促销期间每天销售新款服装所获得的利润 W 的最大值是 625 元。
解析
【分析】
(1) 求进价可利用利润相关公式：售价-进价=进价×利润率。首先计算出八折后的售价，再结合“按八折销售仍获利50%”的条件列一元一次方程即可求解进价。
(2) 求利润最大值首先要明确总利润=每件利润×销售量。先表示出降价x元后每件服装的利润，再结合给出的销售量与x的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设该新款服装的进价为a元/件。
由题意得，服装八折后的售价为：$75 × 0.8 = 60$（元/件）
按八折销售获利50%，可得等量关系：$60 - a = 50\% · a$
解方程：
$60 = 1.5a$
$a = 40$
即该服装进价为40元/件。
(2) 促销时，每件服装的实际售价为$(60 - x)$元，每件的利润为：$(60 - x - 40) = (20 - x)$元
已知销售量$y = 20 + 4x$，则总利润：
$W = (20 - x)(20 + 4x)$
展开并整理得：
$W = -4x^2 + 60x + 400$
配方得：
$W = -4(x - 7.5)^2 + 625$
$\because -4 ＜ 0$，二次函数开口向下
$\therefore$ 当$x = 7.5$时，$W$取得最大值，最大值为625元。
【答案】
(1) 40元/件；(2) 625元
【知识点】
1. 利润问题计算；2. 一元一次方程的应用；3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合实际销售场景命题，考查学生利用方程和函数解决实际问题的能力，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和二次函数表达式，掌握二次函数求最值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求进价可利用利润相关公式：售价-进价=进价×利润率。首先计算出八折后的售价，再结合“按八折销售仍获利50%”的条件列一元一次方程即可求解进价。
(2) 求利润最大值首先要明确总利润=每件利润×销售量。先表示出降价x元后每件服装的利润，再结合给出的销售量与x的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设该新款服装的进价为a元/件。
由题意得，服装八折后的售价为：$75 × 0.8 = 60$（元/件）
按八折销售获利50%，可得等量关系：$60 - a = 50\% · a$
解方程：
$60 = 1.5a$
$a = 40$
即该服装进价为40元/件。
(2) 促销时，每件服装的实际售价为$(60 - x)$元，每件的利润为：$(60 - x - 40) = (20 - x)$元
已知销售量$y = 20 + 4x$，则总利润：
$W = (20 - x)(20 + 4x)$
展开并整理得：
$W = -4x^2 + 60x + 400$
配方得：
$W = -4(x - 7.5)^2 + 625$
$\because -4 ＜ 0$，二次函数开口向下
$\therefore$ 当$x = 7.5$时，$W$取得最大值，最大值为625元。
【答案】
(1) 40元/件；(2) 625元
【知识点】
1. 利润问题计算；2. 一元一次方程的应用；3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合实际销售场景命题，考查学生利用方程和函数解决实际问题的能力，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和二次函数表达式，掌握二次函数求最值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
