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7.我国拥有丰富的旅游资源，某景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的关系式。
(2)若每天的销售利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(1)直接写出y与x的关系式。
(2)若每天的销售利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
(1)$y$与$x$的关系式为$y=-2x+160(30≤ x≤54)$。
(2)设每天的销售利润为$w$元。
根据题意,得$w=(x-30)y$
$=(x-30)(-2x+160)$
$=-2x^2+220x-4\ 800$。
当$w=1\ 200$时,
$-2x^2+220x-4\ 800=1\ 200$。
解得$x_1=50,x_2=60$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$销售单价应定为 50 元。
(3)$\because w=-2x^2+220x-4\ 800=-2(x-55)^2+1\ 250$,
$\therefore$当$x＜55$时,$w$随$x$的增大而增大。
$\because 30≤ x≤54$,
$\therefore$当$x=54$时,$w$取得最大值,最大值为1 248。
$\therefore$当销售单价是 54 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 1 248 元。
(2)设每天的销售利润为$w$元。
根据题意,得$w=(x-30)y$
$=(x-30)(-2x+160)$
$=-2x^2+220x-4\ 800$。
当$w=1\ 200$时,
$-2x^2+220x-4\ 800=1\ 200$。
解得$x_1=50,x_2=60$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$销售单价应定为 50 元。
(3)$\because w=-2x^2+220x-4\ 800=-2(x-55)^2+1\ 250$,
$\therefore$当$x＜55$时,$w$随$x$的增大而增大。
$\because 30≤ x≤54$,
$\therefore$当$x=54$时,$w$取得最大值,最大值为1 248。
$\therefore$当销售单价是 54 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 1 248 元。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第一问求一次函数关系式，已知y和x满足一次函数关系，选用待定系数法，从表格中选取两组对应值代入y=kx+b求解系数，最后结合题目给出的销售单价范围标注x的取值区间即可。
2. 第二问求利润为1200元时的售价，首先明确总利润=单件利润×销售量，单件利润为售价减成本（x-30），代入第一问求出的销售量y的表达式，得到利润关于x的函数，令利润等于1200，解一元二次方程后结合x的取值范围舍去不符合要求的根。
3. 第三问求最大利润，属于二次函数最值问题，先将利润的二次函数表达式配方，确定开口方向和对称轴，再结合x的取值范围判断函数的增减性，进而找到利润取最大值时的x值，代入计算得最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(35,90)$、$(40,80)$代入得：
$\begin{cases}35k+b=90 \\40k+b=80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=160 \end{cases}$
结合题意销售单价满足$30≤ x≤54$，因此$y$与$x$的关系式为$y=-2x+160(30≤ x≤54)$。
(2) 设每天的销售利润为$w$元，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800$
当$w=1200$时，列方程：
$-2x^2+220x-4800=1200$
整理得$x^2-110x+3000=0$，解得$x_1=50$，$x_2=60$
$\because 30≤ x≤54$，$\therefore x_2=60$不符合题意，舍去。
$\therefore$销售单价应定为50元。
(3) 将利润表达式配方得：
$w=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x＜55$时，$w$随$x$的增大而增大。
又$\because 30≤ x≤54＜55$，$\therefore$当$x=54$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-2×(54-55)^2+1250=1248$
$\therefore$当销售单价为54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元。
【答案】
(1)$y=-2x+160(30≤ x≤54)$
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的实际应用、二次函数的最值应用
【点评】
本题是销售类实际应用的综合题，融合了一次函数、一元二次方程、二次函数三类核心知识点，解题时要特别注意自变量的实际取值范围，既需要对不符合实际的方程解进行取舍，也需要结合取值范围判断二次函数的最值点，避免直接套用顶点坐标出错，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：
1. 第一问求一次函数关系式，已知y和x满足一次函数关系，选用待定系数法，从表格中选取两组对应值代入y=kx+b求解系数，最后结合题目给出的销售单价范围标注x的取值区间即可。
2. 第二问求利润为1200元时的售价，首先明确总利润=单件利润×销售量，单件利润为售价减成本（x-30），代入第一问求出的销售量y的表达式，得到利润关于x的函数，令利润等于1200，解一元二次方程后结合x的取值范围舍去不符合要求的根。
3. 第三问求最大利润，属于二次函数最值问题，先将利润的二次函数表达式配方，确定开口方向和对称轴，再结合x的取值范围判断函数的增减性，进而找到利润取最大值时的x值，代入计算得最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(35,90)$、$(40,80)$代入得：
$\begin{cases}35k+b=90 \\40k+b=80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=160 \end{cases}$
结合题意销售单价满足$30≤ x≤54$，因此$y$与$x$的关系式为$y=-2x+160(30≤ x≤54)$。
(2) 设每天的销售利润为$w$元，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800$
当$w=1200$时，列方程：
$-2x^2+220x-4800=1200$
整理得$x^2-110x+3000=0$，解得$x_1=50$，$x_2=60$
$\because 30≤ x≤54$，$\therefore x_2=60$不符合题意，舍去。
$\therefore$销售单价应定为50元。
(3) 将利润表达式配方得：
$w=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x＜55$时，$w$随$x$的增大而增大。
又$\because 30≤ x≤54＜55$，$\therefore$当$x=54$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{max}}=-2×(54-55)^2+1250=1248$
$\therefore$当销售单价为54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元。
【答案】
(1)$y=-2x+160(30≤ x≤54)$
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的实际应用、二次函数的最值应用
【点评】
本题是销售类实际应用的综合题，融合了一次函数、一元二次方程、二次函数三类核心知识点，解题时要特别注意自变量的实际取值范围，既需要对不符合实际的方程解进行取舍，也需要结合取值范围判断二次函数的最值点，避免直接套用顶点坐标出错，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
8.某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则租出床位减少10张。以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（
A.4或6元
B.4元
C.6元
D.8元
C
）。A.4或6元
B.4元
C.6元
D.8元
答案
C
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用类利润问题，解题思路如下：①首先明确利润计算公式：总利润=每张床的实际收费×实际租出的床位数；②因每次提价固定为2元，设提价x个2元可简化计算，且保证x为整数符合实际经营规则，再分别表示出提价后的收费和租出床位数，列出总利润关于x的二次函数表达式；③根据二次函数开口方向和对称轴求最值，注意x必须取非负整数；④最后结合“投资少”的要求，即租出床位越少运营成本越低，在利润相等的可行方案中选择租出床位更少的方案即可。
【解析】
设每床每晚收费提高x个2元（x为非负整数），则此时每床每晚收费为$(10+2x)$元，可租出的床位数为$(100-10x)$张，设总获利为y元。
根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\end{aligned}$
该二次函数二次项系数为$-20＜0$，函数图像开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$。
因为x为整数，所以当$x=2$或$x=3$时，y取得最大值：
当$x=2$时，收费提高$2×2=4$元，租出床位$100-10×2=80$张，总利润$y=14×80=1120$元；
当$x=3$时，收费提高$2×3=6$元，租出床位$100-10×3=70$张，总利润$y=16×70=1120$元。
题干要求“投资少而获利大”，两种方案获利相同，租出床位越少则投资越低，因此选择提高6元的方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数应用，利润计算，二次函数求最值
【点评】
本题考查二次函数在实际经营问题中的应用，解题时需注意结合实际场景的限定条件，不仅要计算最大利润，还要注意题干隐含的成本要求，避免因漏看限定条件错选。
【难度系数】
0.6
本题属于二次函数的实际应用类利润问题，解题思路如下：①首先明确利润计算公式：总利润=每张床的实际收费×实际租出的床位数；②因每次提价固定为2元，设提价x个2元可简化计算，且保证x为整数符合实际经营规则，再分别表示出提价后的收费和租出床位数，列出总利润关于x的二次函数表达式；③根据二次函数开口方向和对称轴求最值，注意x必须取非负整数；④最后结合“投资少”的要求，即租出床位越少运营成本越低，在利润相等的可行方案中选择租出床位更少的方案即可。
【解析】
设每床每晚收费提高x个2元（x为非负整数），则此时每床每晚收费为$(10+2x)$元，可租出的床位数为$(100-10x)$张，设总获利为y元。
根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\end{aligned}$
该二次函数二次项系数为$-20＜0$，函数图像开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$。
因为x为整数，所以当$x=2$或$x=3$时，y取得最大值：
当$x=2$时，收费提高$2×2=4$元，租出床位$100-10×2=80$张，总利润$y=14×80=1120$元；
当$x=3$时，收费提高$2×3=6$元，租出床位$100-10×3=70$张，总利润$y=16×70=1120$元。
题干要求“投资少而获利大”，两种方案获利相同，租出床位越少则投资越低，因此选择提高6元的方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数应用，利润计算，二次函数求最值
【点评】
本题考查二次函数在实际经营问题中的应用，解题时需注意结合实际场景的限定条件，不仅要计算最大利润，还要注意题干隐含的成本要求，避免因漏看限定条件错选。
【难度系数】
0.6
9.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$y$(元)与每件的售价$x$(元)之间的关系满足$y=-2(x-20)^2 + 1558$，由于某种原因，价格只能满足$15≤ x≤19$，那么一周可获得的最大利润是
1 556
元。答案
1 556
解析
【分析】
首先观察给出的利润与售价的关系式是二次函数的顶点式，解题思路如下：第一步，先根据二次函数顶点式的参数判断开口方向和对称轴；第二步，结合给定的x的取值范围，判断该范围在对称轴的左侧还是右侧，从而确定函数在该区间的增减性；第三步，根据增减性找到取得最大利润时对应的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
对于二次函数$ y=-2(x-20)^2 + 1558 $：
1. 由二次项系数$ a=-2＜0 $，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$ x=20 $；
2. 当$ x＜20 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，题目中售价范围为$ 15≤x≤19 $，全部在对称轴左侧，因此该区间内函数单调递增；
3. 所以当$ x=19 $时，$ y $取得最大值，代入计算：
$ y_{max}=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 + 1558=1556 $
【答案】
1556
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查二次函数在限定自变量范围内的最值求解，解题核心是结合函数增减性和自变量取值范围确定最值点，要注意不能直接将顶点纵坐标作为答案，需先判断顶点是否在给定的自变量区间内。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的利润与售价的关系式是二次函数的顶点式，解题思路如下：第一步，先根据二次函数顶点式的参数判断开口方向和对称轴；第二步，结合给定的x的取值范围，判断该范围在对称轴的左侧还是右侧，从而确定函数在该区间的增减性；第三步，根据增减性找到取得最大利润时对应的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
对于二次函数$ y=-2(x-20)^2 + 1558 $：
1. 由二次项系数$ a=-2＜0 $，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$ x=20 $；
2. 当$ x＜20 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，题目中售价范围为$ 15≤x≤19 $，全部在对称轴左侧，因此该区间内函数单调递增；
3. 所以当$ x=19 $时，$ y $取得最大值，代入计算：
$ y_{max}=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 + 1558=1556 $
【答案】
1556
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查二次函数在限定自变量范围内的最值求解，解题核心是结合函数增减性和自变量取值范围确定最值点，要注意不能直接将顶点纵坐标作为答案，需先判断顶点是否在给定的自变量区间内。
【难度系数】
0.7
10.某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。经市场调查发现：每天的销售量$y$（kg）是销售单价$x$（元）的一次函数，且当$x=60$时，$y=80$；当$x=50$时，$y=100$。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。
（1）求出$y$与$x$的关系式，并写出自变量$x$的取值范围。
（2）求该公司销售该原料每天的利润$W$（元）与销售单价$x$（元）之间的关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司销售该原料每天的利润最大？最大利润是多少元？
（1）求出$y$与$x$的关系式，并写出自变量$x$的取值范围。
（2）求该公司销售该原料每天的利润$W$（元）与销售单价$x$（元）之间的关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司销售该原料每天的利润最大？最大利润是多少元？
答案
(1)设$y=kx+b$。根据题意,得
$\begin{cases}80=60k+b,\\100=50k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200。\end{cases}$
$\therefore y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2)根据题意,得$W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6\ 450=-2(x-65)^2+2\ 000$。
(3)对于函数$W=-2(x-65)^2+2\ 000$,
$\because 30≤ x≤60$,
$\therefore$当$x=60$时,$W$有最大值,为1 950。
$\therefore$当销售单价为 60 元时,该公司销售该原料每天的利润最大,最大利润为1 950元。
$\begin{cases}80=60k+b,\\100=50k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200。\end{cases}$
$\therefore y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2)根据题意,得$W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6\ 450=-2(x-65)^2+2\ 000$。
(3)对于函数$W=-2(x-65)^2+2\ 000$,
$\because 30≤ x≤60$,
$\therefore$当$x=60$时,$W$有最大值,为1 950。
$\therefore$当销售单价为 60 元时,该公司销售该原料每天的利润最大,最大利润为1 950元。
解析
【分析】
（1）已知销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到$y$与$x$的关系式，再结合物价部门对销售单价的规定直接写出$x$的取值范围。
（2）销售总利润的计算逻辑为：总利润=每千克利润×销售量-其他固定费用，其中每千克利润为$(x-30)$元，销售量为第一问求出的$y$，代入后展开整理即可得到$W$与$x$的函数关系式。
（3）第二问得到的$W$是关于$x$的二次函数，先分析二次函数的开口方向和顶点坐标：由于二次项系数为负，函数开口向下，顶点处取得最大值，但要注意结合$x$的实际取值范围判断顶点是否在取值范围内，若不在则根据函数的增减性在取值范围内找到最值点，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$，根据题意代入对应值得：
$\begin{cases}80=60k+b\\100=50k+b\end{cases}$
两式相减得$-20=10k$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$100=50k+b$，解得$b=200$。
结合销售单价的规定，得$y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2) 由利润计算公式得：
$W=(x-30)y-450$
将$y=-2x+200$代入，展开整理得：
$W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6450$，配方可得$W=-2(x-65)^2+2000$。
(3) 对于二次函数$W=-2(x-65)^2+2000$，
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜65$时，$W$随$x$的增大而增大，
又$\because 30≤ x≤60$，即$x$的取值范围在对称轴$x=65$左侧，
$\therefore$当$x=60$时，$W$取得最大值，代入得：
$W=-2×(60-65)^2+2000=1950$。
【答案】
(1) $y=-2x+200(30≤ x≤60)$
(2) $W=-2x^2+260x-6450$（或$W=-2(x-65)^2+2000$）
(3) 当销售单价为60元时，每天的利润最大，最大利润为1950元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是函数在实际销售场景的典型应用题，既考查了函数解析式的基本求解方法，也要求考生结合实际限制条件分析二次函数的最值，解题时要注意不要忽略自变量的取值范围，直接取顶点坐标计算最值，避免出现不符合实际的错误。
【难度系数】
0.7
（1）已知销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$即可得到$y$与$x$的关系式，再结合物价部门对销售单价的规定直接写出$x$的取值范围。
（2）销售总利润的计算逻辑为：总利润=每千克利润×销售量-其他固定费用，其中每千克利润为$(x-30)$元，销售量为第一问求出的$y$，代入后展开整理即可得到$W$与$x$的函数关系式。
（3）第二问得到的$W$是关于$x$的二次函数，先分析二次函数的开口方向和顶点坐标：由于二次项系数为负，函数开口向下，顶点处取得最大值，但要注意结合$x$的实际取值范围判断顶点是否在取值范围内，若不在则根据函数的增减性在取值范围内找到最值点，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$，根据题意代入对应值得：
$\begin{cases}80=60k+b\\100=50k+b\end{cases}$
两式相减得$-20=10k$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$100=50k+b$，解得$b=200$。
结合销售单价的规定，得$y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2) 由利润计算公式得：
$W=(x-30)y-450$
将$y=-2x+200$代入，展开整理得：
$W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6450$，配方可得$W=-2(x-65)^2+2000$。
(3) 对于二次函数$W=-2(x-65)^2+2000$，
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜65$时，$W$随$x$的增大而增大，
又$\because 30≤ x≤60$，即$x$的取值范围在对称轴$x=65$左侧，
$\therefore$当$x=60$时，$W$取得最大值，代入得：
$W=-2×(60-65)^2+2000=1950$。
【答案】
(1) $y=-2x+200(30≤ x≤60)$
(2) $W=-2x^2+260x-6450$（或$W=-2(x-65)^2+2000$）
(3) 当销售单价为60元时，每天的利润最大，最大利润为1950元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是函数在实际销售场景的典型应用题，既考查了函数解析式的基本求解方法，也要求考生结合实际限制条件分析二次函数的最值，解题时要注意不要忽略自变量的取值范围，直接取顶点坐标计算最值，避免出现不符合实际的错误。
【难度系数】
0.7
11.某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的销售价格$p$(元/kg)与时间$t$(天)之间的关系式为$p = \begin{cases} \dfrac{1}{4}t + 30 & (1≤ t≤24,t为整数), \\ -\dfrac{1}{2}t + 48 & (25≤ t≤48,t为整数), \end{cases}$且其
日销售量$y$(kg)与时间$t$(天)的关系如下表：
(1)已知$y$与$t$之间的变化规律符合一次函数关系,试求第30天的日销售量。
(2)哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1 kg水果就捐赠$n(n＜9)$元利润给“精准扶贫”对象。现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间$t$的增大而增大,求$n$的取值范围。
日销售量$y$(kg)与时间$t$(天)的关系如下表：
(1)已知$y$与$t$之间的变化规律符合一次函数关系,试求第30天的日销售量。
(2)哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1 kg水果就捐赠$n(n＜9)$元利润给“精准扶贫”对象。现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间$t$的增大而增大,求$n$的取值范围。
答案
(1)设$y=kt+b$,把$t=1,y=118$;
$t=3,y=114$代入,
得$\begin{cases}k+b=118,\\3k+b=114,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=120。\end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$。
将$t=30$代入上式,得$y=-2×30+120=60$。
$\therefore$第 30 天的日销售量是 60 kg。
(2)设第$t$天的销售利润为$w$元。
当$1≤ t≤24$时,由题意,得$w=(-2t+120)·(\dfrac{1}{4}t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1\ 250$。
$\therefore$当$t=10$时,$w_{\mathrm{最大}}=1\ 250$。
当$25≤ t≤48$时,$w=(-2t+120)·(-\dfrac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3\ 360=(t-58)^2-4$。
$\because$图象的对称轴为直线$t=58$,
$\therefore$在对称轴左侧$w$随着$t$的增大而减小,
$\therefore$当$t=25$时,$w_{\mathrm{最大}}=1\ 085$。
综上所述,第 10 天的销售利润最大,最大日销售利润为 1 250 元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$m$元。
由题意,得$m=(-2t+120)·(\dfrac{1}{4}t+30-20)-(-2t+120)n=-\dfrac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1\ 200-120n$。
$\because$在前 24 天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间$t$的增大而增大,
$\therefore -\dfrac{10+2n}{2×(-\dfrac{1}{2})}≥24,\therefore n≥7$。
又$\because n＜9,\therefore n$的取值范围为$7≤ n＜9$。
$t=3,y=114$代入,
得$\begin{cases}k+b=118,\\3k+b=114,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=120。\end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$。
将$t=30$代入上式,得$y=-2×30+120=60$。
$\therefore$第 30 天的日销售量是 60 kg。
(2)设第$t$天的销售利润为$w$元。
当$1≤ t≤24$时,由题意,得$w=(-2t+120)·(\dfrac{1}{4}t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1\ 250$。
$\therefore$当$t=10$时,$w_{\mathrm{最大}}=1\ 250$。
当$25≤ t≤48$时,$w=(-2t+120)·(-\dfrac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3\ 360=(t-58)^2-4$。
$\because$图象的对称轴为直线$t=58$,
$\therefore$在对称轴左侧$w$随着$t$的增大而减小,
$\therefore$当$t=25$时,$w_{\mathrm{最大}}=1\ 085$。
综上所述,第 10 天的销售利润最大,最大日销售利润为 1 250 元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$m$元。
由题意,得$m=(-2t+120)·(\dfrac{1}{4}t+30-20)-(-2t+120)n=-\dfrac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1\ 200-120n$。
$\because$在前 24 天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间$t$的增大而增大,
$\therefore -\dfrac{10+2n}{2×(-\dfrac{1}{2})}≥24,\therefore n≥7$。
又$\because n＜9,\therefore n$的取值范围为$7≤ n＜9$。
解析
【分析】
(1) 已知日销售量$y$与时间$t$为一次函数关系，先设一次函数解析式$y=kt+b$，选取表格中两组对应$t、y$的值代入，解二元一次方程组求出参数得到函数解析式，再将$t=30$代入解析式即可求得第30天的日销售量。
(2) 日销售利润=每千克利润×日销售量，其中每千克利润=销售价格$p$-成本20元/kg。结合$p$的分段规则，分$1≤t≤24$和$25≤t≤48$两段分别写出利润$w$关于$t$的二次函数关系式，根据二次函数性质分别求出两段的最大利润，比较两个最大值即可得到整个时间段的最大日销售利润及对应天数。
(3) 扣除捐赠后的日销售利润=原前24天利润-总捐赠金额，总捐赠金额=日销售量$y$×每千克捐赠$n$元，据此写出新利润$m$关于$t$的二次函数解析式。该函数开口向下，要使$1≤t≤24$时$m$随$t$增大而增大，需让区间$[1,24]$在抛物线对称轴左侧，列不等式求出$n$的下限，结合$n＜9$即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$与$t$的一次函数解析式为$y=kt+b$，将$t=1,y=118$和$t=3,y=114$代入得：
$\begin{cases}k+b=118\\3k+b=114\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=120\end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$
将$t=30$代入得：$y=-2×30+120=60$
$\therefore$第30天的日销售量为60kg。
(2) 设第$t$天的销售利润为$w$元。
①当$1≤t≤24$（$t$为整数）时：
$w=(-2t+120)·(\frac{1}{4}t+30-20)=-\frac{1}{2}t^2+10t+1200=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$t=10$时，$w_{\mathrm{最大}}=1250$元。
②当$25≤t≤48$（$t$为整数）时：
$w=(-2t+120)·(-\frac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3360=(t-58)^2-4$
$\because 1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$t=58$，在$25≤t≤48$范围内$w$随$t$增大而减小，$\therefore$当$t=25$时，$w_{\mathrm{最大}}=(25-58)^2-4=1085$元。
$\because 1250＞1085$，$\therefore$第10天销售利润最大。
(3) 设前24天扣除捐赠后的日销售利润为$m$元，由题意得：
$m=(-2t+120)·(\frac{1}{4}t+30-20)-n(-2t+120)=-\frac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1200-120n$
该函数开口向下，对称轴为$t=10+2n$。
$\because$前24天$m$随$t$增大而增大，$\therefore 10+2n≥24$，解得$n≥7$。
又$\because n＜9$，$\therefore 7≤n＜9$。
【答案】
(1) 第30天的日销售量是60 kg；
(2) 第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；
(3) $n$的取值范围为$7≤n＜9$。
【知识点】
一次函数的应用；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是实际销售场景下的函数综合题，需要结合分段函数的特点分区间讨论，核心是熟练掌握一次函数解析式求法、二次函数增减性和最值的求解方法，解题时要理清利润、售价、成本、销量之间的数量关系，注意参数的限制条件。
【难度系数】
0.6
(1) 已知日销售量$y$与时间$t$为一次函数关系，先设一次函数解析式$y=kt+b$，选取表格中两组对应$t、y$的值代入，解二元一次方程组求出参数得到函数解析式，再将$t=30$代入解析式即可求得第30天的日销售量。
(2) 日销售利润=每千克利润×日销售量，其中每千克利润=销售价格$p$-成本20元/kg。结合$p$的分段规则，分$1≤t≤24$和$25≤t≤48$两段分别写出利润$w$关于$t$的二次函数关系式，根据二次函数性质分别求出两段的最大利润，比较两个最大值即可得到整个时间段的最大日销售利润及对应天数。
(3) 扣除捐赠后的日销售利润=原前24天利润-总捐赠金额，总捐赠金额=日销售量$y$×每千克捐赠$n$元，据此写出新利润$m$关于$t$的二次函数解析式。该函数开口向下，要使$1≤t≤24$时$m$随$t$增大而增大，需让区间$[1,24]$在抛物线对称轴左侧，列不等式求出$n$的下限，结合$n＜9$即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y$与$t$的一次函数解析式为$y=kt+b$，将$t=1,y=118$和$t=3,y=114$代入得：
$\begin{cases}k+b=118\\3k+b=114\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=120\end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$
将$t=30$代入得：$y=-2×30+120=60$
$\therefore$第30天的日销售量为60kg。
(2) 设第$t$天的销售利润为$w$元。
①当$1≤t≤24$（$t$为整数）时：
$w=(-2t+120)·(\frac{1}{4}t+30-20)=-\frac{1}{2}t^2+10t+1200=-\frac{1}{2}(t-10)^2+1250$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$t=10$时，$w_{\mathrm{最大}}=1250$元。
②当$25≤t≤48$（$t$为整数）时：
$w=(-2t+120)·(-\frac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3360=(t-58)^2-4$
$\because 1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$t=58$，在$25≤t≤48$范围内$w$随$t$增大而减小，$\therefore$当$t=25$时，$w_{\mathrm{最大}}=(25-58)^2-4=1085$元。
$\because 1250＞1085$，$\therefore$第10天销售利润最大。
(3) 设前24天扣除捐赠后的日销售利润为$m$元，由题意得：
$m=(-2t+120)·(\frac{1}{4}t+30-20)-n(-2t+120)=-\frac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1200-120n$
该函数开口向下，对称轴为$t=10+2n$。
$\because$前24天$m$随$t$增大而增大，$\therefore 10+2n≥24$，解得$n≥7$。
又$\because n＜9$，$\therefore 7≤n＜9$。
【答案】
(1) 第30天的日销售量是60 kg；
(2) 第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；
(3) $n$的取值范围为$7≤n＜9$。
【知识点】
一次函数的应用；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是实际销售场景下的函数综合题，需要结合分段函数的特点分区间讨论，核心是熟练掌握一次函数解析式求法、二次函数增减性和最值的求解方法，解题时要理清利润、售价、成本、销量之间的数量关系，注意参数的限制条件。
【难度系数】
0.6
