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12.【数学应用】某地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑，某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯。
【信息收集】
素材1:该合作社以64 000元的成本收购了80 t马铃薯；
素材2:这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2 t；
素材3:经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如图所示。
【建立模型】(1)根据素材3中的信息可知，销售价格 y(元/t)是储存星期数 x(个)的
【问题解决】(2)若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？(提示:销售总额＝销售价格×销售量)
(3)已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用k元。若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35 600元，求k的值及相应的储存星期数。
【信息收集】
素材1:该合作社以64 000元的成本收购了80 t马铃薯；
素材2:这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2 t；
素材3:经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如图所示。
【建立模型】(1)根据素材3中的信息可知，销售价格 y(元/t)是储存星期数 x(个)的
一次
函数(填“一次”“二次”或“反比例”)，y与x之间的关系式为$y=50x+1\ 200$
。【问题解决】(2)若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？(提示:销售总额＝销售价格×销售量)
(3)已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用k元。若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35 600元，求k的值及相应的储存星期数。
答案
(1)一次 $y=50x+1\ 200$
(2)解:设销售总额为$w$元。由题意,得
$\begin{aligned}w&=y·(80-2x)\\&=(50x+1\ 200)(80-2x)\\&=-100x^2+1\ 600x+96\ 000。\end{aligned}$
$\because x≥0$且$80-2x＞0,\therefore 0≤ x＜40$。
$\therefore$当$x=-\dfrac{1\ 600}{2×(-100)}=8$时,销售总额最大。
$\therefore$若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大,应储存 8 个星期。
(3)解:设全部售完的销售利润为$m$元。
由题意,得
$\begin{aligned}m&=w-64\ 000-kx\\&=-100x^2+1\ 600x+96\ 000-64\ 000-kx\\&=-100x^2+(1\ 600-k)x+32\ 000。\end{aligned}$
易得当$x=-\dfrac{1\ 600-k}{2×(-100)}=\dfrac{1\ 600-k}{200}$时,
$m_{\mathrm{最大}}=\dfrac{4×(-100)×32\ 000-(1\ 600-k)^2}{4×(-100)}=32\ 000+\dfrac{(1\ 600-k)^2}{400}$。
$\because m_{\mathrm{最大}}=35\ 600$,
$\therefore 32\ 000+\dfrac{(1\ 600-k)^2}{400}=35\ 600$,
解得$k_1=400,k_2=2\ 800$,
当$k=400$时,$x=\dfrac{1\ 600-400}{200}=6$。
当$k=2\ 800$时,$x=\dfrac{1\ 600-2\ 800}{200}=-6$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$当所获得的最大利润为 35 600 元时,$k$的值是 400,相应的储存星期数为 6。
(2)解:设销售总额为$w$元。由题意,得
$\begin{aligned}w&=y·(80-2x)\\&=(50x+1\ 200)(80-2x)\\&=-100x^2+1\ 600x+96\ 000。\end{aligned}$
$\because x≥0$且$80-2x＞0,\therefore 0≤ x＜40$。
$\therefore$当$x=-\dfrac{1\ 600}{2×(-100)}=8$时,销售总额最大。
$\therefore$若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大,应储存 8 个星期。
(3)解:设全部售完的销售利润为$m$元。
由题意,得
$\begin{aligned}m&=w-64\ 000-kx\\&=-100x^2+1\ 600x+96\ 000-64\ 000-kx\\&=-100x^2+(1\ 600-k)x+32\ 000。\end{aligned}$
易得当$x=-\dfrac{1\ 600-k}{2×(-100)}=\dfrac{1\ 600-k}{200}$时,
$m_{\mathrm{最大}}=\dfrac{4×(-100)×32\ 000-(1\ 600-k)^2}{4×(-100)}=32\ 000+\dfrac{(1\ 600-k)^2}{400}$。
$\because m_{\mathrm{最大}}=35\ 600$,
$\therefore 32\ 000+\dfrac{(1\ 600-k)^2}{400}=35\ 600$,
解得$k_1=400,k_2=2\ 800$,
当$k=400$时,$x=\dfrac{1\ 600-400}{200}=6$。
当$k=2\ 800$时,$x=\dfrac{1\ 600-2\ 800}{200}=-6$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$当所获得的最大利润为 35 600 元时,$k$的值是 400,相应的储存星期数为 6。
解析
【分析】
(1)观察图像可知，储存星期数x每增加1，销售价格y就固定增加50元，符合一次函数的变化特征，因此y是x的一次函数；接下来可选取两组x、y的对应值，用待定系数法即可求出y与x的函数关系式。
(2)销售总额等于销售价格乘以销售量，已知储存x星期后马铃薯共损失2x t，因此销售量为(80-2x)t，将(1)中得到的y和销售量代入销售总额公式，即可得到销售总额w关于x的二次函数，结合二次函数的最值性质及x的实际取值范围，就能求出销售总额最大时的储存星期数。
(3)利润等于销售总额减去收购成本，再减去储存x星期的总额外费用，据此列出利润m关于x的二次函数，根据二次函数最大值的计算公式结合已知最大利润为35600元列方程求解，最后根据x的实际意义舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1)由图像规律可知y是x的一次函数，设$y=kx+b$，将$x=0,y=1200$和$x=1,y=1250$代入得：
$\begin{cases}b=1200\\k+b=1250\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=50\\b=1200\end{cases}$，因此$y=50x+1200$。
(2)设销售总额为$w$元，由题意得：
$\begin{aligned}w&=y·(80-2x)\\&=(50x+1200)(80-2x)\\&=-100x^2+1600x+96000\end{aligned}$
$\because x≥0$且$80-2x＞0$，$\therefore 0≤ x＜40$
二次函数开口向下，顶点处取得最大值，当$x=-\dfrac{1600}{2×(-100)}=8$时，$w$最大。
即若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期。
(3)设全部售完的销售利润为$m$元，由题意得：
$\begin{aligned}m&=w-64000-kx\\&=-100x^2+1600x+96000-64000-kx\\&=-100x^2+(1600-k)x+32000\end{aligned}$
二次函数开口向下，当$x=-\dfrac{1600-k}{2×(-100)}=\dfrac{1600-k}{200}$时，$m$取得最大值，最大值为：
$\dfrac{4×(-100)×32000-(1600-k)^2}{4×(-100)}=32000+\dfrac{(1600-k)^2}{400}$
$\because$最大利润为35600元，$\therefore 32000+\dfrac{(1600-k)^2}{400}=35600$
解得$k_1=400$，$k_2=2800$
当$k=400$时，$x=\dfrac{1600-400}{200}=6$，符合实际意义；
当$k=2800$时，$x=\dfrac{1600-2800}{200}=-6$，不符合题意，舍去。
即当所获得的最大利润为35600元时，$k$的值是400，相应的储存星期数为6。
【答案】
(1)一次；$y=50x+1200$
(2)应储存8个星期
(3)$k=400$，相应储存星期数为6
【知识点】
待定系数法求函数解析式；二次函数最值应用；实际问题的函数建模
【点评】
本题结合农产品销售的实际场景，综合考查了一次函数、二次函数的相关知识，解题的关键是理清各个数量之间的关系，正确列出函数表达式，同时要注意自变量的取值需符合实际意义，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
(1)观察图像可知，储存星期数x每增加1，销售价格y就固定增加50元，符合一次函数的变化特征，因此y是x的一次函数；接下来可选取两组x、y的对应值，用待定系数法即可求出y与x的函数关系式。
(2)销售总额等于销售价格乘以销售量，已知储存x星期后马铃薯共损失2x t，因此销售量为(80-2x)t，将(1)中得到的y和销售量代入销售总额公式，即可得到销售总额w关于x的二次函数，结合二次函数的最值性质及x的实际取值范围，就能求出销售总额最大时的储存星期数。
(3)利润等于销售总额减去收购成本，再减去储存x星期的总额外费用，据此列出利润m关于x的二次函数，根据二次函数最大值的计算公式结合已知最大利润为35600元列方程求解，最后根据x的实际意义舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1)由图像规律可知y是x的一次函数，设$y=kx+b$，将$x=0,y=1200$和$x=1,y=1250$代入得：
$\begin{cases}b=1200\\k+b=1250\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=50\\b=1200\end{cases}$，因此$y=50x+1200$。
(2)设销售总额为$w$元，由题意得：
$\begin{aligned}w&=y·(80-2x)\\&=(50x+1200)(80-2x)\\&=-100x^2+1600x+96000\end{aligned}$
$\because x≥0$且$80-2x＞0$，$\therefore 0≤ x＜40$
二次函数开口向下，顶点处取得最大值，当$x=-\dfrac{1600}{2×(-100)}=8$时，$w$最大。
即若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期。
(3)设全部售完的销售利润为$m$元，由题意得：
$\begin{aligned}m&=w-64000-kx\\&=-100x^2+1600x+96000-64000-kx\\&=-100x^2+(1600-k)x+32000\end{aligned}$
二次函数开口向下，当$x=-\dfrac{1600-k}{2×(-100)}=\dfrac{1600-k}{200}$时，$m$取得最大值，最大值为：
$\dfrac{4×(-100)×32000-(1600-k)^2}{4×(-100)}=32000+\dfrac{(1600-k)^2}{400}$
$\because$最大利润为35600元，$\therefore 32000+\dfrac{(1600-k)^2}{400}=35600$
解得$k_1=400$，$k_2=2800$
当$k=400$时，$x=\dfrac{1600-400}{200}=6$，符合实际意义；
当$k=2800$时，$x=\dfrac{1600-2800}{200}=-6$，不符合题意，舍去。
即当所获得的最大利润为35600元时，$k$的值是400，相应的储存星期数为6。
【答案】
(1)一次；$y=50x+1200$
(2)应储存8个星期
(3)$k=400$，相应储存星期数为6
【知识点】
待定系数法求函数解析式；二次函数最值应用；实际问题的函数建模
【点评】
本题结合农产品销售的实际场景，综合考查了一次函数、二次函数的相关知识，解题的关键是理清各个数量之间的关系，正确列出函数表达式，同时要注意自变量的取值需符合实际意义，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
