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12. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=x m。
(1)若花园的面积为192 m²，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值。
(1)若花园的面积为192 m²，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值。
答案
12. 解：(1)由$AB=x\ \mathrm{m}$，得$BC=(28-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意，得$x(28-x)=192$，
解得$x_1=12$，$x_2=16$。
(2)$S=x(28-x)$
$=-x^2+28x$
$=-(x-14)^2+196$。
$\because \begin{cases} x≥ 6,\\ 28-x≥ 15, \end{cases}$
$\therefore 6≤ x≤ 13$。
$\because$当$6≤ x≤ 13$时，$S$的值随着$x$值的增大而增大。
$\therefore$当$x=13$时，$S$有最大值$195$。
$\therefore$花园面积$S$的最大值为$195\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得$x(28-x)=192$，
解得$x_1=12$，$x_2=16$。
(2)$S=x(28-x)$
$=-x^2+28x$
$=-(x-14)^2+196$。
$\because \begin{cases} x≥ 6,\\ 28-x≥ 15, \end{cases}$
$\therefore 6≤ x≤ 13$。
$\because$当$6≤ x≤ 13$时，$S$的值随着$x$值的增大而增大。
$\therefore$当$x=13$时，$S$有最大值$195$。
$\therefore$花园面积$S$的最大值为$195\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 首先根据篱笆总长度确定矩形邻边的长度关系：AB长为$x\ \mathrm{m}$时，BC的长度为篱笆总长减去AB的长度，即$(28-x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式列一元二次方程，解方程即可得到$x$的取值。
(2) 先写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式，再结合树的位置确定$x$的取值范围：树到AD的距离为6m，说明AB长度不小于6m，即$x≥6$；树到CD的距离为15m，说明BC长度不小于15m，即$28-x≥15$，联立得到$x$的取值范围。最后结合二次函数的开口方向和增减性，在取值范围内找到$S$的最大值即可。
【解析】
(1) 由题意得$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(28-x)\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(28-x)=192$
整理得$x^2-28x+192=0$，因式分解得$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$，两个解均符合实际意义。
(2) 花园面积$S=x(28-x)$，整理为顶点式：
$S=-x^2+28x=-(x-14)^2+196$
根据树在花园内的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x≥ 6 \\ 28-x≥ 15 \end{cases}$
解得$6≤ x≤13$。
二次函数$S=-(x-14)^2+196$开口向下，对称轴为$x=14$，因此当$x≤14$时，$S$随$x$的增大而增大。
在$6≤ x≤13$范围内，当$x=13$时$S$取最大值，代入得：
$S=-(13-14)^2+196=195$
【答案】
(1) $x$的值为12或16；
(2) 花园面积$S$的最大值为$195\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，不等式组求解
【点评】
本题结合实际场景考查代数知识的综合运用，易错点是第二问容易忽略树的位置对自变量取值范围的限制，直接把二次函数顶点处的值作为最值，解题时需先结合实际条件确定自变量的取值范围，再根据函数增减性求最值。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据篱笆总长度确定矩形邻边的长度关系：AB长为$x\ \mathrm{m}$时，BC的长度为篱笆总长减去AB的长度，即$(28-x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式列一元二次方程，解方程即可得到$x$的取值。
(2) 先写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式，再结合树的位置确定$x$的取值范围：树到AD的距离为6m，说明AB长度不小于6m，即$x≥6$；树到CD的距离为15m，说明BC长度不小于15m，即$28-x≥15$，联立得到$x$的取值范围。最后结合二次函数的开口方向和增减性，在取值范围内找到$S$的最大值即可。
【解析】
(1) 由题意得$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(28-x)\ \mathrm{m}$。
根据花园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(28-x)=192$
整理得$x^2-28x+192=0$，因式分解得$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$，两个解均符合实际意义。
(2) 花园面积$S=x(28-x)$，整理为顶点式：
$S=-x^2+28x=-(x-14)^2+196$
根据树在花园内的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x≥ 6 \\ 28-x≥ 15 \end{cases}$
解得$6≤ x≤13$。
二次函数$S=-(x-14)^2+196$开口向下，对称轴为$x=14$，因此当$x≤14$时，$S$随$x$的增大而增大。
在$6≤ x≤13$范围内，当$x=13$时$S$取最大值，代入得：
$S=-(13-14)^2+196=195$
【答案】
(1) $x$的值为12或16；
(2) 花园面积$S$的最大值为$195\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，不等式组求解
【点评】
本题结合实际场景考查代数知识的综合运用，易错点是第二问容易忽略树的位置对自变量取值范围的限制，直接把二次函数顶点处的值作为最值，解题时需先结合实际条件确定自变量的取值范围，再根据函数增减性求最值。
【难度系数】
0.6
13. 如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，点P在线段AB上运动，点Q，R分别在线段BC，AC上，$\frac{PQ}{BP}=\frac{3}{4}$，且四边形APQR是矩形。设AP的长为$x$，矩形APQR的面积为$y$，已知$y$是$x$的函数，其图象是过点$(12,36)$的抛物线的一部分（如图②所示）。
(1)求AB的长。
(2)当AP为何值时，矩形APQR的面积最大？并求出最大值。
(1)求AB的长。
(2)当AP为何值时，矩形APQR的面积最大？并求出最大值。
答案
13. 解：(1)当$AP=12$时，$AP· PQ=36$，
$\therefore PQ=3$。
又$\because \dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{4}$，
$\therefore PB=4$。$\therefore AB=16$。
(2)$\because AP=x$，
$\therefore PB=16-x$，$PQ=\dfrac{3}{4}(16-x)$。
$\therefore y=\dfrac{3}{4}(16-x)x$，
整理，得$y=-\dfrac{3}{4}(x-8)^2+48$。
$\therefore$当$x=8$时，$y_{\mathrm{最大}}=48$，
即当$AP$为$8$时，矩形$APQR$的面积最大，最大为$48$。
$\therefore PQ=3$。
又$\because \dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{4}$，
$\therefore PB=4$。$\therefore AB=16$。
(2)$\because AP=x$，
$\therefore PB=16-x$，$PQ=\dfrac{3}{4}(16-x)$。
$\therefore y=\dfrac{3}{4}(16-x)x$，
整理，得$y=-\dfrac{3}{4}(x-8)^2+48$。
$\therefore$当$x=8$时，$y_{\mathrm{最大}}=48$，
即当$AP$为$8$时，矩形$APQR$的面积最大，最大为$48$。
解析
【分析】
(1) 首先明确函数图象上点$(12,36)$的含义：当$AP=x=12$时，矩形面积$y=36$。结合矩形面积公式$S=长×宽=AP· PQ$，可先求出此时$PQ$的长度；再根据题目给出的$\frac{PQ}{BP}=\frac{3}{4}$的比例关系，计算出$BP$的长度，最后通过$AB=AP+BP$即可求出$AB$的长。
(2) 设$AP$为$x$，先用$AB$的长表示出$BP$的长度，再利用比例关系把$PQ$用含$x$的式子表示，根据矩形面积公式写出$y$关于$x$的二次函数表达式，将二次函数化为顶点式后，即可求出面积的最大值及对应的$AP$的长度。
【解析】
(1) 由函数图象可知，当$AP=12$时，矩形$APQR$的面积$y=36$，
根据矩形面积公式得：$AP· PQ=36$，
$\therefore 12× PQ=36$，解得$PQ=3$。
又$\because \frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{3}{PB}=\frac{3}{4}$，解得$PB=4$，
$\therefore AB=AP+PB=12+4=16$。
(2) 设$AP=x$，则$PB=AB-AP=16-x$，
由$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$得，$PQ=\frac{3}{4}PB=\frac{3}{4}(16-x)$，
$\therefore$矩形$APQR$的面积$y=AP· PQ=x· \frac{3}{4}(16-x)$，
整理得：$y=-\frac{3}{4}x^2+12x=-\frac{3}{4}(x-8)^2+48$，
$\because -\frac{3}{4}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$48$。
【答案】
(1) $AB$的长为$\boxed{16}$；
(2) 当$AP$为$\boxed{8}$时，矩形$APQR$的面积最大，最大值为$\boxed{48}$。
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是几何与二次函数结合的综合题，解题关键是将几何图形中的线段比例关系转化为二次函数表达式，结合二次函数的性质求解最值，很好地考察了数形结合的思想和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确函数图象上点$(12,36)$的含义：当$AP=x=12$时，矩形面积$y=36$。结合矩形面积公式$S=长×宽=AP· PQ$，可先求出此时$PQ$的长度；再根据题目给出的$\frac{PQ}{BP}=\frac{3}{4}$的比例关系，计算出$BP$的长度，最后通过$AB=AP+BP$即可求出$AB$的长。
(2) 设$AP$为$x$，先用$AB$的长表示出$BP$的长度，再利用比例关系把$PQ$用含$x$的式子表示，根据矩形面积公式写出$y$关于$x$的二次函数表达式，将二次函数化为顶点式后，即可求出面积的最大值及对应的$AP$的长度。
【解析】
(1) 由函数图象可知，当$AP=12$时，矩形$APQR$的面积$y=36$，
根据矩形面积公式得：$AP· PQ=36$，
$\therefore 12× PQ=36$，解得$PQ=3$。
又$\because \frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{3}{PB}=\frac{3}{4}$，解得$PB=4$，
$\therefore AB=AP+PB=12+4=16$。
(2) 设$AP=x$，则$PB=AB-AP=16-x$，
由$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$得，$PQ=\frac{3}{4}PB=\frac{3}{4}(16-x)$，
$\therefore$矩形$APQR$的面积$y=AP· PQ=x· \frac{3}{4}(16-x)$，
整理得：$y=-\frac{3}{4}x^2+12x=-\frac{3}{4}(x-8)^2+48$，
$\because -\frac{3}{4}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$48$。
【答案】
(1) $AB$的长为$\boxed{16}$；
(2) 当$AP$为$\boxed{8}$时，矩形$APQR$的面积最大，最大值为$\boxed{48}$。
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是几何与二次函数结合的综合题，解题关键是将几何图形中的线段比例关系转化为二次函数表达式，结合二次函数的性质求解最值，很好地考察了数形结合的思想和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
