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8. 如图，在$△ ABC$中，AD是高，四边形EFGH是$△ ABC$的内接矩形，其中点E，H分别在AB，AC上，点F，G在BC上。已知$BC=6$，$AD=3$。设$EF=x$，$EH=y$，四边形EFGH的面积为S。
(1)求y与x之间的关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)求S与x之间的关系式，并求当x取何值时，S有最大值，最大值是多少。
(1)求y与x之间的关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)求S与x之间的关系式，并求当x取何值时，S有最大值，最大值是多少。
答案
8. 解：(1)由题意，得$△ AEH ∽ △ ABC$，$△ BEF ∽ △ BAD$，$\therefore \dfrac{EH}{BC} = \dfrac{AE}{AB}$，$\dfrac{EF}{AD} = \dfrac{BE}{AB}$。
$\therefore \dfrac{y}{6}+\dfrac{x}{3}=1$。
$\therefore y=-2x+6(0＜x＜3)$。
(2)由题意，得$S=xy$
$=x(-2x+6)$
$=-2x^2+6x$
$=-2(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{2}$。
$\therefore S$与$x$之间的关系式为$S=-2x^2+6x$。当$x=\dfrac{3}{2}$时，$S$有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
$\therefore \dfrac{y}{6}+\dfrac{x}{3}=1$。
$\therefore y=-2x+6(0＜x＜3)$。
(2)由题意，得$S=xy$
$=x(-2x+6)$
$=-2x^2+6x$
$=-2(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{2}$。
$\therefore S$与$x$之间的关系式为$S=-2x^2+6x$。当$x=\dfrac{3}{2}$时，$S$有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要求y与x的函数关系式，首先由矩形的性质可得EH//BC，因此可推出△AEH∽△ABC，根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，△ABC的高为AD=3，△AEH的高等于AD减去矩形的边长EF，即3-x，结合BC=6、EH=y，列出比例式整理即可得到y与x的关系；自变量x是矩形的边长，因此x需大于0且小于△ABC的高3，即可得到取值范围。
(2) 矩形面积公式为$S=长×宽=xy$，将(1)中得到的y关于x的表达式代入，即可得到S关于x的二次函数关系式，再通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向，即可求出S的最大值及对应的x的值。
【解析】
(1)
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，EF⊥BC，
又
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，设AD与EH交于点M，则AM⊥EH，且$AM=AD-EF=3-x$，
∵EH//BC，
∴$△ AEH ∽ △ ABC$，
∴$\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{EH}{BC}$，
代入$AM=3-x$，$AD=3$，$EH=y$，$BC=6$，得：
$\dfrac{3-x}{3}=\dfrac{y}{6}$，
整理得$y=-2x+6$，
自变量x的取值范围是$0＜x＜3$。
(2)
∵矩形EFGH的面积$S=EF· EH=xy$，
将$y=-2x+6$代入得：
$S=x(-2x+6)=-2x^2+6x$，
配方得：
$S=-2(x^2-3x)=-2(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{2}$，
∵$-2＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=\dfrac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2x+6(0＜x＜3)$；
(2) $S=-2x^2+6x$，当$x=\dfrac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，既考查了相似三角形对应边成比例性质的运用，又考查了二次函数求最值的方法，能很好地检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求y与x的函数关系式，首先由矩形的性质可得EH//BC，因此可推出△AEH∽△ABC，根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，△ABC的高为AD=3，△AEH的高等于AD减去矩形的边长EF，即3-x，结合BC=6、EH=y，列出比例式整理即可得到y与x的关系；自变量x是矩形的边长，因此x需大于0且小于△ABC的高3，即可得到取值范围。
(2) 矩形面积公式为$S=长×宽=xy$，将(1)中得到的y关于x的表达式代入，即可得到S关于x的二次函数关系式，再通过配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向，即可求出S的最大值及对应的x的值。
【解析】
(1)
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，EF⊥BC，
又
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，设AD与EH交于点M，则AM⊥EH，且$AM=AD-EF=3-x$，
∵EH//BC，
∴$△ AEH ∽ △ ABC$，
∴$\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{EH}{BC}$，
代入$AM=3-x$，$AD=3$，$EH=y$，$BC=6$，得：
$\dfrac{3-x}{3}=\dfrac{y}{6}$，
整理得$y=-2x+6$，
自变量x的取值范围是$0＜x＜3$。
(2)
∵矩形EFGH的面积$S=EF· EH=xy$，
将$y=-2x+6$代入得：
$S=x(-2x+6)=-2x^2+6x$，
配方得：
$S=-2(x^2-3x)=-2(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{2}$，
∵$-2＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=\dfrac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2x+6(0＜x＜3)$；
(2) $S=-2x^2+6x$，当$x=\dfrac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，既考查了相似三角形对应边成比例性质的运用，又考查了二次函数求最值的方法，能很好地检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120 m。设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积。
答案
9. 解：设花园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(120-3x)\ \mathrm{m}$，面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意，得$S=x(120-3x)$
$=-3x^2+120x$
$=-3(x-20)^2+1\ 200(0＜x＜40)$。
$\therefore$当$x=20$时，$S$有最大值，为$1\ 200$，即当垂直于墙的边长为$20\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长为$60\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，为$1\ 200\ \mathrm{m}^2$。
由题意，得$S=x(120-3x)$
$=-3x^2+120x$
$=-3(x-20)^2+1\ 200(0＜x＜40)$。
$\therefore$当$x=20$时，$S$有最大值，为$1\ 200$，即当垂直于墙的边长为$20\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长为$60\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，为$1\ 200\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决这个最大面积问题，首先明确篱笆的构成：垂直于墙的篱笆共3段（两侧各1段、中间分隔段1段），平行于墙的篱笆共1段。我们可以先设垂直于墙的边长为未知数，用总篱笆长度表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式列出面积关于边长的二次函数关系式，最后根据二次函数的开口方向和顶点性质，结合自变量的实际取值范围，即可求出最大面积和对应设计方案。
【解析】
设花园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(120-3x)\ \mathrm{m}$，设花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=x(120-3x)\\&=-3x^2+120x\\&=-3(x-20)^2+1200\end{aligned}$
结合实际意义，自变量$x$需满足$\begin{cases}x＞0 \\120-3x＞0 \end{cases}$，即$0＜x＜40$。
$\because$二次项系数$-3＜0$，函数图像开口向下，$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值1200，此时平行于墙的边长为$120-3×20=60\ \mathrm{m}$。
【答案】
当垂直于墙的边长为$20\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长为$60\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，最大面积为$1200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题，解题核心是准确分析篱笆的分段情况，正确建立面积与边长的函数关系，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
要解决这个最大面积问题，首先明确篱笆的构成：垂直于墙的篱笆共3段（两侧各1段、中间分隔段1段），平行于墙的篱笆共1段。我们可以先设垂直于墙的边长为未知数，用总篱笆长度表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式列出面积关于边长的二次函数关系式，最后根据二次函数的开口方向和顶点性质，结合自变量的实际取值范围，即可求出最大面积和对应设计方案。
【解析】
设花园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(120-3x)\ \mathrm{m}$，设花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=x(120-3x)\\&=-3x^2+120x\\&=-3(x-20)^2+1200\end{aligned}$
结合实际意义，自变量$x$需满足$\begin{cases}x＞0 \\120-3x＞0 \end{cases}$，即$0＜x＜40$。
$\because$二次项系数$-3＜0$，函数图像开口向下，$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值1200，此时平行于墙的边长为$120-3×20=60\ \mathrm{m}$。
【答案】
当垂直于墙的边长为$20\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长为$60\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，最大面积为$1200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题，解题核心是准确分析篱笆的分段情况，正确建立面积与边长的函数关系，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知二次函数 $y=-x^2-2x$ 的图象与x轴交于点A,O,且在该图象上有一点P,满足 $S_{△ AOP}=3$,则点P的坐标是(
A.$(-3,-3)$
B.$(1,-3)$
C.$(-3,-3)$或$(-3,1)$
D.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
D
)。A.$(-3,-3)$
B.$(1,-3)$
C.$(-3,-3)$或$(-3,1)$
D.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
答案
10.D
解析
【分析】
首先先求解二次函数与x轴的交点A的坐标，得到线段OA的长度；再结合三角形面积公式，求出点P纵坐标的可能取值；最后将纵坐标代入二次函数解析式，求解对应的横坐标，筛选出符合条件的点P坐标即可。
【解析】
步骤1：求点A的坐标
令二次函数$y=-x^2-2x$中$y=0$，即$-x^2-2x=0$，因式分解得$-x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
结合图像可知，点A坐标为$(-2,0)$，原点O为$(0,0)$，因此$OA=|0-(-2)|=2$。
步骤2：根据三角形面积求点P的纵坐标
设点P的纵坐标为$y_P$，$△ AOP$的底为OA，高为点P到x轴的距离$|y_P|$。
由$S_{△ AOP}=3$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × OA × |y_P| =3$，即$\frac{1}{2} × 2 × |y_P|=3$，解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
步骤3：代入解析式求点P的横坐标
①当$y_P=3$时，代入$y=-x^2-2x$得：$-x^2-2x=3$，整理为$x^2+2x+3=0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实数解，舍去。
②当$y_P=-3$时，代入$y=-x^2-2x$得：$-x^2-2x=-3$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、三角形面积计算、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与几何面积的综合题，解题核心是将三角形的高转化为点纵坐标的绝对值，求解后注意验证方程是否有实根，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
首先先求解二次函数与x轴的交点A的坐标，得到线段OA的长度；再结合三角形面积公式，求出点P纵坐标的可能取值；最后将纵坐标代入二次函数解析式，求解对应的横坐标，筛选出符合条件的点P坐标即可。
【解析】
步骤1：求点A的坐标
令二次函数$y=-x^2-2x$中$y=0$，即$-x^2-2x=0$，因式分解得$-x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
结合图像可知，点A坐标为$(-2,0)$，原点O为$(0,0)$，因此$OA=|0-(-2)|=2$。
步骤2：根据三角形面积求点P的纵坐标
设点P的纵坐标为$y_P$，$△ AOP$的底为OA，高为点P到x轴的距离$|y_P|$。
由$S_{△ AOP}=3$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × OA × |y_P| =3$，即$\frac{1}{2} × 2 × |y_P|=3$，解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
步骤3：代入解析式求点P的横坐标
①当$y_P=3$时，代入$y=-x^2-2x$得：$-x^2-2x=3$，整理为$x^2+2x+3=0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实数解，舍去。
②当$y_P=-3$时，代入$y=-x^2-2x$得：$-x^2-2x=-3$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、三角形面积计算、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与几何面积的综合题，解题核心是将三角形的高转化为点纵坐标的绝对值，求解后注意验证方程是否有实根，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
11.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上。设AB=x m,矩形的面积为y m²,要使矩形的面积最大,则x应为（
A.$\frac{25}{4}$
B.6
C.15
D.$\frac{5}{2}$
D
）。A.$\frac{25}{4}$
B.6
C.15
D.$\frac{5}{2}$
答案
11.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，利用相似三角形的性质，找到矩形除AB外的另一条边长和x的关系；第二步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的二次函数表达式；第三步，利用二次函数求最值的方法，算出面积最大时x的取值。
首先观察图形，矩形的上边AD和大直角三角形的水平直角边平行，因此AD上方的小直角三角形和原大直角三角形相似，对应边成比例，我们就可以用x表示出AD的长度，进而得到面积的函数式，再求最值即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AD//BC（即AD平行于大直角三角形的水平直角边）
∴ AD上方的小直角三角形与原大直角三角形相似
大直角三角形竖直直角边长为5m，水平直角边长为12m，AB=x m，则小三角形竖直直角边长为$(5 - x)$m
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{12}=\frac{5 - x}{5}$
解得：$AD=\frac{12(5 - x)}{5}$
矩形面积$y=AB· AD=x· \frac{12(5 - x)}{5}$
整理得：$y=-\frac{12}{5}x^2 + 12x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$
此处$a=-\frac{12}{5}$，$b=12$，代入得：
$x=-\frac{12}{2×(-\frac{12}{5})}=\frac{5}{2}$
即当$x=\frac{5}{2}$时，矩形面积最大。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，二次函数的应用
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题型，解题核心是通过相似三角形建立边长关系，进而构造面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，利用相似三角形的性质，找到矩形除AB外的另一条边长和x的关系；第二步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的二次函数表达式；第三步，利用二次函数求最值的方法，算出面积最大时x的取值。
首先观察图形，矩形的上边AD和大直角三角形的水平直角边平行，因此AD上方的小直角三角形和原大直角三角形相似，对应边成比例，我们就可以用x表示出AD的长度，进而得到面积的函数式，再求最值即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AD//BC（即AD平行于大直角三角形的水平直角边）
∴ AD上方的小直角三角形与原大直角三角形相似
大直角三角形竖直直角边长为5m，水平直角边长为12m，AB=x m，则小三角形竖直直角边长为$(5 - x)$m
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{12}=\frac{5 - x}{5}$
解得：$AD=\frac{12(5 - x)}{5}$
矩形面积$y=AB· AD=x· \frac{12(5 - x)}{5}$
整理得：$y=-\frac{12}{5}x^2 + 12x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$
此处$a=-\frac{12}{5}$，$b=12$，代入得：
$x=-\frac{12}{2×(-\frac{12}{5})}=\frac{5}{2}$
即当$x=\frac{5}{2}$时，矩形面积最大。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，二次函数的应用
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题型，解题核心是通过相似三角形建立边长关系，进而构造面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
