登录
9. 如图，已知直线$y=k_1x(k_1≠0)$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的图象交于M，N两点，若点M的坐标是(1,2)，则点N的坐标是（
A.$(-1,-2)$
B.$(-1,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(-2,-1)$
A
）A.$(-1,-2)$
B.$(-1,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(-2,-1)$
答案
9. A
解析
【分析】
解题思路一（利用对称性）：首先回忆正比例函数和反比例函数的图像性质，二者都是以原点为对称中心的中心对称图形，因此它们的两个交点必然关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可由已知M点坐标直接推出N点坐标。
解题思路二（求解析式联立求解）：先将M点坐标分别代入两个函数解析式，求出$k_1$、$k_2$的值，得到两个函数的完整表达式，再联立两个函数的解析式解方程组，即可得到另一个交点N的坐标。两种方法中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点M、N关于原点对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点M坐标为$(1,2)$，
∴ 点N的坐标为$(-1,-2)$。
方法2：把$M(1,2)$代入$y=k_1x$，得$2=k_1×1$，解得$k_1=2$，即正比例函数为$y=2x$；
把$M(1,2)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，即反比例函数为$y=\frac{2}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，
消去y得$2x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，即点N坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 反比例函数的性质
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数交点的性质，利用中心对称的规律解题可大幅简化计算，是解决这类交点问题的常用技巧，需要熟练掌握函数的对称性特点。
【难度系数】
0.9
解题思路一（利用对称性）：首先回忆正比例函数和反比例函数的图像性质，二者都是以原点为对称中心的中心对称图形，因此它们的两个交点必然关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可由已知M点坐标直接推出N点坐标。
解题思路二（求解析式联立求解）：先将M点坐标分别代入两个函数解析式，求出$k_1$、$k_2$的值，得到两个函数的完整表达式，再联立两个函数的解析式解方程组，即可得到另一个交点N的坐标。两种方法中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点M、N关于原点对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点M坐标为$(1,2)$，
∴ 点N的坐标为$(-1,-2)$。
方法2：把$M(1,2)$代入$y=k_1x$，得$2=k_1×1$，解得$k_1=2$，即正比例函数为$y=2x$；
把$M(1,2)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，即反比例函数为$y=\frac{2}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，
消去y得$2x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，即点N坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 反比例函数的性质
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数交点的性质，利用中心对称的规律解题可大幅简化计算，是解决这类交点问题的常用技巧，需要熟练掌握函数的对称性特点。
【难度系数】
0.9
10. (扬州一模)如图,在正方形网格上建立直角坐标系,$x$轴、$y$轴都在网格线上,其中1格代表1个单位长度.反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象被撕掉了一部分,已知点$M,N$在格点上,则$k=$
4
.答案
10. 4
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于$k$，因此只需要确定点$M$或$N$的坐标，计算横纵坐标的乘积即可得到$k$。首先根据题干信息：$x$轴、$y$轴在网格线上，1格代表1个单位长度，图中竖直向上的箭头所在直线为$y$轴，向右为$x$轴正方向，数格点即可得到$M$、$N$的坐标，代入关系式计算并验证即可。
【解析】
解：由题意知，竖直带箭头的直线为$y$轴，每格代表1个单位长度，数格点可得：
点$M$的坐标为$(1,4)$，点$N$的坐标为$(2,2)$。
∵$M$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=1×4=4$。
将$N(2,2)$代入验证：$xy=2×2=4=k$，符合题意。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 格点坐标识别
【点评】
本题是基础题，结合网格考查反比例函数的基本性质，解题核心是准确读取格点坐标，利用反比例函数$k=xy$的性质计算即可，思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于$k$，因此只需要确定点$M$或$N$的坐标，计算横纵坐标的乘积即可得到$k$。首先根据题干信息：$x$轴、$y$轴在网格线上，1格代表1个单位长度，图中竖直向上的箭头所在直线为$y$轴，向右为$x$轴正方向，数格点即可得到$M$、$N$的坐标，代入关系式计算并验证即可。
【解析】
解：由题意知，竖直带箭头的直线为$y$轴，每格代表1个单位长度，数格点可得：
点$M$的坐标为$(1,4)$，点$N$的坐标为$(2,2)$。
∵$M$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=1×4=4$。
将$N(2,2)$代入验证：$xy=2×2=4=k$，符合题意。
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 格点坐标识别
【点评】
本题是基础题，结合网格考查反比例函数的基本性质，解题核心是准确读取格点坐标，利用反比例函数$k=xy$的性质计算即可，思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.75
11. 如图，B(5,－5)，C(7,0)，以OC，CB为边作$□ OABC$，则经过点A的反比例函数的表达式为
$y=\frac{10}{x}$
。答案
11. $y=\frac{10}{x}$
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质推导点A的坐标：平行四边形OABC中AB与OC是对边，OC在x轴上长度为7，因此AB为水平线段，A、B纵坐标相同，A的横坐标比B小7，即可求出A的坐标；再用待定系数法，将A点坐标代入反比例函数一般式求出k值，就能得到所求表达式。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形
∴$AB// OC$，$AB=OC$
已知$C(7,0)$，原点为O，可得$OC=7$，且OC为水平线段，因此AB也为水平线段，点A与点B纵坐标相等
∵$B(5,-5)$
∴点A的纵坐标为$-5$，横坐标为$5-7=-2$，即$A(-2,-5)$
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$A(-2,-5)$代入表达式得：$-5=\frac{k}{-2}$
解得$k=(-2)×(-5)=10$
∴经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{10}{x}$
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题型，将平行四边形的性质和反比例函数解析式求解结合考查，核心是准确推导点A的坐标，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质推导点A的坐标：平行四边形OABC中AB与OC是对边，OC在x轴上长度为7，因此AB为水平线段，A、B纵坐标相同，A的横坐标比B小7，即可求出A的坐标；再用待定系数法，将A点坐标代入反比例函数一般式求出k值，就能得到所求表达式。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形
∴$AB// OC$，$AB=OC$
已知$C(7,0)$，原点为O，可得$OC=7$，且OC为水平线段，因此AB也为水平线段，点A与点B纵坐标相等
∵$B(5,-5)$
∴点A的纵坐标为$-5$，横坐标为$5-7=-2$，即$A(-2,-5)$
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$A(-2,-5)$代入表达式得：$-5=\frac{k}{-2}$
解得$k=(-2)×(-5)=10$
∴经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{10}{x}$
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题型，将平行四边形的性质和反比例函数解析式求解结合考查，核心是准确推导点A的坐标，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
12. 用描点法画出反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 和 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象.
（1）列表：
（2）在如图坐标系中描点，并用光滑曲线顺次连接各点.
（1）列表：
（2）在如图坐标系中描点，并用光滑曲线顺次连接各点.
答案
12. 解:(1)分别将x的值代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{2}{x}$的解析式可得下表：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) 用光滑曲线可得出图象如下所示：
[第12题对应反比例函数图像]
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) 用光滑曲线可得出图象如下所示：
[第12题对应反比例函数图像]
解析
【分析】
要使用描点法画反比例函数图象，需遵循“列表、描点、连线”三个步骤思考：
第一步列表：反比例函数自变量x≠0，因此选取的x值要避开0，且尽量选取正负对称的非零数值，既方便计算对应函数值，也能保证图象的对称性；再分别将每个x代入两个反比例函数解析式，计算出对应的y值填入表格。
第二步描点：将表格中每一组(x,y)作为点的坐标，在平面直角坐标系中准确找到对应位置描出点。
第三步连线：分别对两个函数的点，用光滑曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接，注意反比例函数图象是分开的两支，不能跨象限连接，且曲线无限接近坐标轴但不会与坐标轴相交。
【解析】
(1) 取x为非零的正负对称数值，分别代入$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{2}{x}$计算对应函数值，得到如下表格：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) 首先根据上表中的坐标，在坐标系中逐一描出所有对应点；再分别对两个函数的点，按照x从小到大的顺序，用光滑曲线顺次连接各点，最终得到的两条双曲线即为两个反比例函数的图象。
【答案】
(1) 列表结果如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) $y=\frac{2}{x}$的图象是位于第一、三象限的光滑双曲线，$y=-\frac{2}{x}$的图象是位于第二、四象限的光滑双曲线，两支曲线均不与坐标轴相交（图略）。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数的图象特征
【点评】
本题是反比例函数图象的基础操作题，核心是掌握描点法作图的三步流程，易错点是列表时忽略x≠0的要求，连线时误用折线连接，或错误将不同象限的点连在一起，掌握本题的作图方法是后续研究反比例函数性质的前提。
【难度系数】
0.8
要使用描点法画反比例函数图象，需遵循“列表、描点、连线”三个步骤思考：
第一步列表：反比例函数自变量x≠0，因此选取的x值要避开0，且尽量选取正负对称的非零数值，既方便计算对应函数值，也能保证图象的对称性；再分别将每个x代入两个反比例函数解析式，计算出对应的y值填入表格。
第二步描点：将表格中每一组(x,y)作为点的坐标，在平面直角坐标系中准确找到对应位置描出点。
第三步连线：分别对两个函数的点，用光滑曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接，注意反比例函数图象是分开的两支，不能跨象限连接，且曲线无限接近坐标轴但不会与坐标轴相交。
【解析】
(1) 取x为非零的正负对称数值，分别代入$y=\frac{2}{x}$和$y=-\frac{2}{x}$计算对应函数值，得到如下表格：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) 首先根据上表中的坐标，在坐标系中逐一描出所有对应点；再分别对两个函数的点，按照x从小到大的顺序，用光滑曲线顺次连接各点，最终得到的两条双曲线即为两个反比例函数的图象。
【答案】
(1) 列表结果如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | … | $-\frac{2}{3}$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac{2}{3}$ | … |
| $y=-\frac{2}{x}$ | … | $\frac{2}{3}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{2}{3}$ | … |
(2) $y=\frac{2}{x}$的图象是位于第一、三象限的光滑双曲线，$y=-\frac{2}{x}$的图象是位于第二、四象限的光滑双曲线，两支曲线均不与坐标轴相交（图略）。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数的图象特征
【点评】
本题是反比例函数图象的基础操作题，核心是掌握描点法作图的三步流程，易错点是列表时忽略x≠0的要求，连线时误用折线连接，或错误将不同象限的点连在一起，掌握本题的作图方法是后续研究反比例函数性质的前提。
【难度系数】
0.8
13. 设某一直角三角形的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，两条直角边的长分别为$x(\mathrm{cm}),y(\mathrm{cm})$.
（1）写出$y$与$x$的函数表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）根据图象，求解：
① 当$x=4$时，$y$的值；
② $x$等于多少时，该直角三角形是等腰直角三角形？
（1）写出$y$与$x$的函数表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）根据图象，求解：
① 当$x=4$时，$y$的值；
② $x$等于多少时，该直角三角形是等腰直角三角形？
答案
13. (1) $y=\frac{36}{x}$
(2) 略
(3) ① $y=9$ ② $x=6$
(2) 略
(3) ① $y=9$ ② $x=6$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 第（1）问利用直角三角形面积公式建立x和y的等量关系，变形即可得到函数表达式，注意x是直角边长，取值范围为正数；2. 第（2）问该函数是自变量大于0的反比例函数，用描点法绘制第一象限内的图象即可；3. 第（3）问①直接将x=4代入函数表达式计算y值；②等腰直角三角形的两条直角边相等，即x=y，代入函数表达式解方程即可得到x的值。
【解析】
（1）由直角三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}xy=18$，
整理得：$xy=36$，
∵x为直角边长度，
∴$x＞0$，
因此y与x的函数表达式为$y=\frac{36}{x}(x＞0)$。
（2）该函数图象是反比例函数$y=\frac{36}{x}$在第一象限的分支：
①列表：选取x为3、4、6、9、12等正数值，计算对应y值分别为12、9、6、4、3；
②在平面直角坐标系第一象限内描出对应点；
③用光滑的曲线连接各点，图象无限接近x轴、y轴但不与坐标轴相交。
（3）①将$x=4$代入$y=\frac{36}{x}$，得$y=\frac{36}{4}=9$；
②若该直角三角形为等腰直角三角形，则两条直角边相等，即$x=y$，
代入$y=\frac{36}{x}$得$x=\frac{36}{x}$，即$x^2=36$，
∵$x＞0$，
∴$x=6$。
【答案】
(1) $y=\frac{36}{x}(x＞0)$
(2) 略
(3) ① $y=9$ ② $x=6$
【知识点】
反比例函数表达式，反比例函数图象，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合几何图形性质考查反比例函数的基础应用，难度较低，解题时需注意自变量的实际取值范围，将几何特征转化为代数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 第（1）问利用直角三角形面积公式建立x和y的等量关系，变形即可得到函数表达式，注意x是直角边长，取值范围为正数；2. 第（2）问该函数是自变量大于0的反比例函数，用描点法绘制第一象限内的图象即可；3. 第（3）问①直接将x=4代入函数表达式计算y值；②等腰直角三角形的两条直角边相等，即x=y，代入函数表达式解方程即可得到x的值。
【解析】
（1）由直角三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}xy=18$，
整理得：$xy=36$，
∵x为直角边长度，
∴$x＞0$，
因此y与x的函数表达式为$y=\frac{36}{x}(x＞0)$。
（2）该函数图象是反比例函数$y=\frac{36}{x}$在第一象限的分支：
①列表：选取x为3、4、6、9、12等正数值，计算对应y值分别为12、9、6、4、3；
②在平面直角坐标系第一象限内描出对应点；
③用光滑的曲线连接各点，图象无限接近x轴、y轴但不与坐标轴相交。
（3）①将$x=4$代入$y=\frac{36}{x}$，得$y=\frac{36}{4}=9$；
②若该直角三角形为等腰直角三角形，则两条直角边相等，即$x=y$，
代入$y=\frac{36}{x}$得$x=\frac{36}{x}$，即$x^2=36$，
∵$x＞0$，
∴$x=6$。
【答案】
(1) $y=\frac{36}{x}(x＞0)$
(2) 略
(3) ① $y=9$ ② $x=6$
【知识点】
反比例函数表达式，反比例函数图象，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合几何图形性质考查反比例函数的基础应用，难度较低，解题时需注意自变量的实际取值范围，将几何特征转化为代数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
