8. 如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,5为半径作弧相交于点C,D,连接CD,点E在CD上,连接CA,CB,EA,EB.若△ABC与△ABE的周长之差为4,则AE的长为 ()


A.1
B.2
C.3
D.4

8 C 由作图可知,CD 是线段 AB 的垂直平分线,
∴ CA = CB,EA = EB.
∵ △ABC 与△ABE 的周长之差为 4,
∴ (CA + CB + AB) - (EA + EB + AB) = 4,
∴ 2CA - 2AE = 4,
∴ CA - AE = 2.
∵ AC = 5,
∴ AE = 3.

【分析】
解题时首先根据题中的尺规作图方法，判断CD是线段AB的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质可得CA=CB、EA=EB。再根据△ABC与△ABE的周长差为4列出等式，化简消去公共边AB后，代入已知的CA=5，即可求出AE的长度。
【解析】
由作图可知，CD是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$CA=CB$，$EA=EB$。
已知$△ ABC$与$△ ABE$的周长之差为4，因此：
$(CA+CB+AB)-(EA+EB+AB)=4$
将$CB=CA$、$EB=EA$代入上式，化简得：
$2CA - 2AE = 4$
即$CA - AE = 2$。
由作图可知$AC=5$，代入得$5 - AE = 2$，解得$AE=3$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线的性质，解题关键是根据作图特征判断出CD为AB的垂直平分线，再利用周长差建立等量关系求解，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7

9. [2026六安九中月考]如图，BD垂直平分AG于点D，CE垂直平分AF于点E，若BF=2，FG=4，CG=3，则△ABC的周长为。

9 22

∵ BD 垂直平分 AG,BF = 2,FG = 4,
∴ BA = BG = BF + FG = 2 + 4 = 6.
∵ CE 垂直平分 AF,CG = 3,
∴ CA = CF = CG + FG = 3 + 4 = 7.
∵ BC = BF + CF = 2 + 7 = 9,
∴ △ABC 的周长为 AB + AC + BC = 6 + 7 + 9 = 22.

【分析】
解题时首先观察题干条件，出现线段垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。本题中BD垂直平分AG，可得点B到A、G的距离相等，即BA=BG；CE垂直平分AF，可得点C到A、F的距离相等，即CA=CF。接下来结合已知的BF、FG、CG的长度，分别求出AB、AC、BC的长度，三者相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BD垂直平分AG，
∴BA=BG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵BF=2，FG=4，
∴BA=BG=BF+FG=2+4=6；
∵CE垂直平分AF，
∴CA=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵CG=3，FG=4，
∴CA=CF=CG+FG=3+4=7；
又
∵BC=BF+FG+CG=2+4+3=9，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+7+9=22。
【答案】
22
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于线段垂直平分线性质的基础应用题，解题关键是利用性质将未知的三角形边长转化为已知线段的和，计算时注意理清各段线段的数量关系，避免求和出错。
【难度系数】
0.75

10. 易错题 [2026 扬州中学文昌教育集团期中] 在$△ ABC$中，$BC = 10$，$AB$的垂直平分线与$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D,E$，且$DE = 4$，则$AD + AE$的值为________。

10 6 或 14

∵ AB,AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,
∴ AD = BD,AE = CE,
∴ AD + AE = BD + CE. ①当 BD 与 CE 无重合的部分时,如图 1,AD + AE = BD + CE = BC - DE = 10 - 4 = 6;②当 BD 与 CE 有重合的部分时,如图 2,AD + AE = BD + CE = BC + DE = 10 + 4 = 14. 综上所述,AD + AE 的值为 6 或 14.

【分析】
解题时首先根据线段垂直平分线的性质，将所求的AD、AE转化为BC上的线段BD、CE，可得AD+AE=BD+CE；由于AB、AC的垂直平分线与BC的交点D、E的相对位置不确定，因此需要分两种情况讨论：①D靠近B，E靠近C，BD与CE无重合部分；②E靠近B，D靠近C，BD与CE有重合部分，分别结合BC和DE的长度计算BD+CE的和即可。
【解析】
∵AB的垂直平分线交BC于点D，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴AD=BD；
同理，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE；
因此AD+AE=BD+CE，分两种情况讨论：
① 当BD与CE无重合部分时，如图1，此时BC上点的顺序为B、D、E、C，
则BD+CE = BC - DE = 10 - 4 = 6，即AD+AE=6；
② 当BD与CE有重合部分时，如图2，此时BC上点的顺序为B、E、D、C，
则BD+CE = BC + DE = 10 + 4 = 14，即AD+AE=14。
综上，AD+AE的值为6或14。
【答案】
6或14

【知识点】
线段垂直平分线的性质；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略D、E两点的相对位置有两种情况，导致漏解。解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质实现线段的转化，再结合图形分类计算线段和即可。
【难度系数】
0.6

11. 教材P40T5变式 [2026 扬州仪征期中] 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$分别是$AC$，$AB$上的点，且$AD = AE$，连接$BD$，$CE$交于点$P$。
(1)求证：$∠ ABD = ∠ ACE$；

(2)连接$AP$，求证：$AP$所在直线垂直平分$BC$。

11 证明:(1)在△BAD 和△CAE 中,$\begin{cases} AB = AC,\\ ∠BAD = ∠CAE,\\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE.
(2)由(1),知△BAD≌△CAE,
∴ ∠ADB = ∠AEC,即∠BEC = ∠CDB.
∵ AB = AC,AD = AE,
∴ AB - AE = AC - AD,即 BE = CD.
在△BEP 和△CDP 中,$\begin{cases} ∠BEP = ∠CDP,\\ BE = CD,\\ ∠EBP = ∠DCP, \end{cases}$
∴ △BEP≌△CDP(ASA),
∴ PB = PC,
∴ 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.(切忌只证明一个点在线段的垂直平分线上,就说过该点的直线是线段的垂直平分线)
又
∵ AB = AC,
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上,
∴ AP 所在直线垂直平分 BC.

【分析】
(1)要证明∠ABD=∠ACE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察已知条件，AB=AC，AD=AE，且△BAD和△CAE有公共角∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，证得全等后即可推出对应角相等。
(2)要证明AP所在直线垂直平分BC，根据“两点确定一条直线”以及“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需分别证明点A和点P都在线段BC的垂直平分线上即可。首先由AB=AC可直接得到点A在BC的垂直平分线上；再结合(1)的全等结论推导得到△BEP≌△CDP，推出PB=PC，即可得到点P也在BC的垂直平分线上，进而得出结论。
【解析】
(1)在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AB = AC,\\ ∠BAD = ∠CAE,\\ AD = AE, \end{cases}$
∴ $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ABD = ∠ACE$。
(2)由(1)知$△ BAD≌△ CAE$，
∴ $∠ADB = ∠AEC$，根据等角的补角相等可得$∠BEC = ∠CDB$。
∵ $AB = AC$，$AD = AE$，
∴ $AB - AE = AC - AD$，即 $BE = CD$。
在$△ BEP$ 和$△ CDP$ 中，
$\begin{cases} ∠BEP = ∠CDP,\\ BE = CD,\\ ∠EBP = ∠DCP, \end{cases}$
∴ $△ BEP≌△ CDP(\mathrm{ASA})$，
∴ $PB = PC$，
∴ 点$P$在线段$BC$的垂直平分线上。
又
∵ $AB = AC$，
∴ 点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，
∵ 两点确定一条直线，
∴ $AP$所在直线垂直平分$BC$。
【答案】
(1)$∠ABD=∠ACE$成立；
(2)$AP$所在直线垂直平分$BC$成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确线段垂直平分线的判定逻辑，注意要证明某条直线是线段的垂直平分线，需证明直线上至少两个点在该线段的垂直平分线上，避免仅证明单个点就下结论的常见错误。
【难度系数】
0.7

12. [2025苏州高新一中月考] 如图, 在$△ ABC$中, $∠ BAC ＞ 90°$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P.
(1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上.
(2)已知$∠ FAN = 56°$,求$∠ FPN$的度数.

12 (1)证明:如图,连接 BP,AP,PC.
∵ PE 垂直平分 AB,PM 垂直平分 AC,
∴ PA = PB,PA = PC,
∴ PB = PC,
∴ 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
(2)解:
∵ PE 垂直平分 AB,PM 垂直平分 AC,
∴ FA = FB,NA = NC,∠AEP = ∠AMP = ∠BEF = ∠CMN = 90°,
∴ ∠BAF = ∠ABF,∠CAN = ∠ACN,
∠EBF + ∠BFE = ∠MCN + ∠MNC = 90°.
设∠EBF = ∠BAF = x,∠MCN = ∠CAN = y,
∴ ∠BFE = 90° - x,∠MNC = 90° - y,
∴ ∠PFN = ∠BFE = 90° - x,∠PNF = ∠MNC = 90° - y.
∵ ∠EBF + ∠MCN + ∠CAB = 180°,∠FAN = 56°,
∴ 2x + 2y + 56° = 180°,
∴ 2(x + y) = 124°,
∴ x + y = 62°.
∵ ∠PFN + ∠PNF + ∠FPN = 180°,
∴ 90° - x + 90° - y + ∠FPN = 180°,
∴ ∠FPN = 180° - 180° + (x + y) = 62°.

【分析】
(1) 要证明点P在线段BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证PB=PC即可。已知EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接PA、PB、PC后可得PA=PB、PA=PC，等量代换即可得到PB=PC，完成证明。
(2) 求∠FPN的度数可借助三角形内角和定理求解：首先根据垂直平分线的性质得到FA=FB、NA=NC，进而推出∠BAF=∠B、∠CAN=∠C，设∠B=x、∠C=y，结合已知∠FAN=56°，利用△ABC内角和为180°求出x+y的值；再根据垂直的性质和对顶角相等，用x、y表示出△PFN的另外两个内角，代入内角和公式即可求出∠FPN的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BP，AP，PC。
∵ PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴ PA = PB，PA = PC，
∴ PB = PC，
∴ 点P在线段BC的垂直平分线上。
(2) 解：
∵ PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴ FA = FB，NA = NC，∠AEP = ∠AMP = ∠BEF = ∠CMN = 90°，
∴ ∠BAF = ∠ABF，∠CAN = ∠ACN，
∠EBF + ∠BFE = ∠MCN + ∠MNC = 90°。
设∠EBF = ∠BAF = x，∠MCN = ∠CAN = y，
∴ ∠BFE = 90° - x，∠MNC = 90° - y，
∴ ∠PFN = ∠BFE = 90° - x，∠PNF = ∠MNC = 90° - y。
∵ ∠EBF + ∠MCN + ∠CAB = 180°，∠FAN = 56°，
∴ 2x + 2y + 56° = 180°，
∴ 2(x + y) = 124°，
∴ x + y = 62°。
∵ ∠PFN + ∠PNF + ∠FPN = 180°，
∴ 90° - x + 90° - y + ∠FPN = 180°，
∴ ∠FPN = 180° - 180° + (x + y) = 62°。

【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ∠FPN=62°

【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线相关性质的典型综合应用题，解题核心是熟练掌握垂直平分线的边角性质，结合三角形内角和定理完成证明和角度计算，能够有效考查基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65