1. [2025连云港中考]如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则$△ AEG$的周长为 ()

A.5
B.6
C.7
D.8

1 C

∵ AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 D,E,AC 的垂直平分线分别交 AC,BC 于点 F,G,
∴ EA = EB,GA = GC,
∴ △AEG的周长为 EA + EG + GA = EB + EG + GC = BC = 7(不易直接求解,考虑找相等的线段进行等量代换).

【分析】
遇到题干中出现线段垂直平分线时，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。本题要求△AEG的周长，直接求三条边的长度条件不足，因此考虑利用垂直平分线的性质进行线段的等量代换，将△AEG的三边转化为BC上的线段，结合已知BC的长度即可求解。
【解析】
∵ AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，点E在AB的垂直平分线上
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得$EA=EB$
∵ AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，点G在AC的垂直平分线上
∴ 同理可得$GA=GC$
△AEG的周长为$EA+EG+GA$，将$EA=EB$、$GA=GC$代入得：
$EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC$
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质实现未知线段向已知线段的转化，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2. 教材P36练习T2变式 [2026南京金陵中学河西分校期中]
如图，在$△ ABC$中，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$AD$。若$△ ABC$的周长为$13$，$AE=2$，则$△ ABD$的周长为。

2 9

∵ DE 是线段 AC 的垂直平分线,AE = 2,
∴ AC = 2AE = 4,AD = CD.
∵ △ABC 的周长为 13,
∴ AB + BC + AC = 13,
∴ AB + BC = 13 - AC = 13 - 9,
∴ △ABD 的周长为 AB + (AD + BD) = AB + (CD + BD) = AB + BC = 9.

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线垂直且平分对应线段，二是垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。第一步先根据AE的长度求出AC的总长，再根据性质得到AD=CD；接下来分析△ABD的周长构成：AB+BD+AD，将AD替换为CD后，周长就转化为AB+BD+CD=AB+BC；最后利用△ABC的周长减去AC的长度就能得到AB+BC的值，也就是△ABD的周长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=2，
∴AC=2AE=4，且AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵△ABC的周长为13，
∴AB+BC+AC=13，
∴AB+BC=13-AC=13-4=9。
△ABD的周长=AB+BD+AD，
将AD替换为CD，可得：
△ABD的周长=AB+BD+CD=AB+BC=9。
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过AD=CD的等量关系，将所求三角形的周长转化为大三角形周长与AC长度的差，简化计算过程，是几何中周长转化类的典型基础题。
【难度系数】
0.8

3. 利用网格在图中找一点O,使OA=OB=OC.

3 解:如图,点 O 即为所求.

【分析】要使OA=OB=OC，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。可知点O既要在AB的垂直平分线上，又要在BC（或AC）的垂直平分线上，因此只需作出任意两条线段的垂直平分线，它们的交点即为满足条件的点O，结合网格的格点特征可快速画出垂直平分线。
【解析】
1. 作线段AB的垂直平分线：AB为竖直方向的线段，先找到AB的中点，过中点作水平直线，即为AB的垂直平分线；
2. 作线段BC的垂直平分线：结合网格格点特征，画出BC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点就是所求的点O，由垂直平分线的性质可验证该点到A、B、C三点的距离相等，即OA=OB=OC。
【答案】
如图,点 O 即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础作图类题目，解题的关键是掌握线段垂直平分线的判定和性质，通过找两条线段垂直平分线的交点即可确定满足到三点距离相等的点，借助网格能降低作图难度。
【难度系数】
0.8

4. 如图，AB = CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE。求证：∠ABE = ∠CDE。

4 证明:如图,连接 AE,CE.
∵ AC,BD 的垂直平分线相交于点 E,
∴ AE = CE,BE = DE.
在△ABE 和△CDE 中,$\begin{cases} AB = CD,\\ AE = CE,\\ BE = DE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDE(SSS),
∴ ∠ABE = ∠CDE.

【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知两角分别在△ABE和△CDE中，已知AB=CD，还需得到两组对应边相等；结合E是AC、BD垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE、BE=DE，即可利用SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等，解题时首先要连接辅助线AE、CE。
【解析】
证明：如图，连接AE，CE。
∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB = CD,\\ AE = CE,\\ BE = DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴根据全等三角形对应角相等可得：∠ABE = ∠CDE。
【答案】
证明:如图,连接 AE,CE.
∵ AC,BD 的垂直平分线相交于点 E,
∴ AE = CE,BE = DE.
在△ABE 和△CDE 中,$\begin{cases} AB = CD,\\ AE = CE,\\ BE = DE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDE(SSS),
∴ ∠ABE = ∠CDE.

【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是合理构造辅助线，将垂直平分线的性质与全等三角形的判定、性质结合运用，需要熟练掌握线段垂直平分线的性质以及全等三角形的证明方法，培养几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7

5. [2026苏州星湾学校月考]如图，$AC=AD$，$BC=BD$，那么下列判断正确的是 ()


A.$CD$垂直平分$AB$
B.$AB$垂直平分$CD$
C.$CD$平分$∠ ACB$
D.$AB$与$CD$互相垂直平分

5 B

∵ AC = AD,
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上.
∵ BC = BD,
∴ 点 B 在线段 CD 的垂直平分线上,
∴ AB 垂直平分 CD.

【分析】
首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。解题时先结合已知条件判断点A、B与线段CD的位置关系：已知AC=AD，说明点A到C、D两点的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，说明点B到C、D两点的距离相等，因此点B也在CD的垂直平分线上。再根据“两点确定一条直线”，可知过A、B两点的直线AB就是CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。再逐一排查选项：题目未给出AC=BC、AD=BD等条件，无法证明CD平分AB，因此A、D错误；也没有足够条件证明CD平分∠ACB，因此C错误，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ AC = AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上。
∵ BC = BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得AB垂直平分CD。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，结合直线的基本事实推导结论，注意不要随意添加题目未给出的条件推导额外结论。
【难度系数】
0.8

6. [2026 无锡江阴陆桥中学月考] 如图, 在$△ ABC$中, $∠ B = ∠ C$,点$P,Q,R$分别在$AB,BC,AC$上,且$PB = QC,QB = RC$. 求证:点$Q$在$PR$的垂直平分线上.

6 证明:连接 PQ.
在△BQP 和△CRQ 中,$\begin{cases} PB = QC,\\ ∠B = ∠C,\\ QB = RC, \end{cases}$
∴ △BQP≌△CRQ(SAS),
∴ QP = QR,
∴ 点 Q 在 PR 的垂直平分线上.

【分析】要证明点Q在PR的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明QP=QR即可。观察已知条件，给出了两组边相等PB=QC、QB=RC，还有一组角相等∠B=∠C，刚好符合SAS全等判定的条件，可通过证明△BQP与△CRQ全等，得到对应边QP=QR，进而推出结论。
【解析】
证明：连接PQ.
在$△ BQP$和$△ CRQ$中，
$\begin{cases} PB = QC,\\ ∠B = ∠C,\\ QB = RC, \end{cases}$
∴ $△ BQP≌△ CRQ(\mathrm{SAS})$，
∴ $QP = QR$，
∴ 点Q在PR的垂直平分线上.
【答案】
证明：连接PQ.
在$△ BQP$和$△ CRQ$中，
$\begin{cases} PB = QC,\\ ∠B = ∠C,\\ QB = RC, \end{cases}$
∴ $△ BQP≌△ CRQ(\mathrm{SAS})$，
∴ $QP = QR$，
∴ 点Q在PR的垂直平分线上.
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题的关键是明确待证结论对应的判定定理，再结合已知条件找到证明三角形全等的要素，通过全等转化得到线段相等关系，最终完成求证。
【难度系数】
0.8

7. [2026珠海香洲区期中] 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.

7 证明:(1)
∵ AD//BC,
∴ ∠ADC = ∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE = EC.
在△ADE 和△FCE 中,
∵ ∠ADE = ∠FCE,DE = CE,∠AED = ∠FEC,
∴ △ADE≌△FCE(ASA),
∴ FC = AD.
(2)由(1)知△ADE≌△FCE,
∴ AE = FE.
又
∵ BE⊥AE,
∴ BE 垂直平分 AF,
∴ AB = BF.
∵ BF = BC + CF,
∴ AB = BC + CF.
∵ AD = FC,
∴ AB = BC + AD.

【分析】
要证明(1)中FC=AD，可先观察两条线段所属的三角形，AD在△ADE中，FC在△FCE中，可通过证明两三角形全等推导对应边相等：首先由AD//BC可得一组内错角相等，结合E是CD中点得到DE=CE，再加上一组对顶角相等，即可用ASA判定两三角形全等，得到FC=AD。
要证明(2)中AB=BC+AD，结合(1)的结论AD=FC，可将问题转化为证明AB=BC+CF=BF：由(1)的全等可得AE=FE，结合BE⊥AE，可知BE是AF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=BF，再等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵ AD//BC,
∴ ∠ADC = ∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE = EC.
在△ADE 和△FCE 中,
∵ ∠ADE = ∠FCE,DE = CE,∠AED = ∠FEC,
∴ △ADE≌△FCE(ASA),
∴ FC = AD.
(2)由(1)知△ADE≌△FCE,
∴ AE = FE.
又
∵ BE⊥AE,
∴ BE 垂直平分 AF,
∴ AB = BF.
∵ BF = BC + CF,
∴ AB = BC + CF.
∵ AD = FC,
∴ AB = BC + AD.
【答案】
(1)证明成立，FC=AD；
(2)证明成立，AB=BC+AD。（完整证明过程见解析）
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型基础题，核心解题思路是通过全等三角形转化相等线段，再利用垂直平分线的性质将待证线段关联到同一条线段上，体现了几何证明中线段转化的常用思想。
【难度系数】
0.8