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13. 应用意识 (1)如图1,直线$l$是线段$AB$的垂直平分线,点$C$在直线$l$外,且与点$A$在直线$l$的同侧,点$D$是直线$l$上的任意一点,连接$AD,BC,CD$,判断$AD + CD$与$BC$之间的大小关系；(2)如图2,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,直线$l$是$AB$边的垂直平分线,$P$是直线$l$上的动点,若$S_{△ ABC}=6,BC=4$,求$BP + DP$的最小值. 
答案
13 解:(1)结论:AD + CD≥BC. 理由如下:
如图 1,连接 BD.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ DA = DB,
∴ AD + CD = DB + CD≥BC.
(2)
∵ AD 是 BC 边上的高,$S_{△ABC}=6,BC=4$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$,即$\frac{1}{2}×4×AD=6$,
∴ AD = 3.
如图 2,连接 AP.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ PA = PB,
∴ PB + PD = PA + PD.
而 PA + PD≥AD,当 A,P,D 三点共线,且 AD⊥BC 时,PB + PD 取最小值.
∵ AD = 3,
∴ BP + DP 的最小值为 3.
解析
【分析】
(1) 要判断AD+CD与BC的大小关系，首先利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，连接BD可得AD=BD，将AD+CD转化为BD+CD，再结合两点之间线段最短的结论，即可推出二者的大小关系。
(2) 求BP+DP的最小值时，同样先利用线段垂直平分线的性质，连接AP可得BP=AP，将BP+DP转化为AP+DP，根据两点之间线段最短，可知AP+DP的最小值为线段AD的长度，再结合已知的三角形面积和底边长，用三角形面积公式求出高AD的长度，即可得到最小值。
【解析】
(1) 结论：$AD + CD≥ BC$
证明：如图1，连接BD，
∵直线$l$垂直平分线段$AB$，点$D$在直线$l$上，
∴$DA = DB$，
∴$AD + CD = DB + CD$，
根据两点之间线段最短，$DB + CD≥ BC$（当且仅当点$D$在$BC$与直线$l$的交点处时取等号），
∴$AD + CD≥ BC$。
(2) 解：
∵$AD$是$BC$边上的高，$S_{△ ABC}=6$，$BC=4$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，
代入得：$\frac{1}{2}× BC× AD=6$，即$\frac{1}{2}×4× AD=6$，
解得$AD=3$。
如图2，连接$AP$，
∵直线$l$是$AB$边的垂直平分线，点$P$在直线$l$上，
∴$PA = PB$，
∴$BP + DP = PA + PD$，
根据两点之间线段最短，$PA + PD≥ AD$，当$A、P、D$三点共线时，$PA + PD=AD$，此时$BP+DP$取得最小值，
∴$BP + DP$的最小值等于$AD$的长度，即$3$。
【答案】
13 解:(1)结论:AD + CD≥BC. 理由如下:
如图 1,连接 BD.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ DA = DB,
∴ AD + CD = DB + CD≥BC.
(2)
∵ AD 是 BC 边上的高,$S_{△ABC}=6,BC=4$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$,即$\frac{1}{2}×4×AD=6$,
∴ AD = 3.
如图 2,连接 AP.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ PA = PB,
∴ PB + PD = PA + PD.
而 PA + PD≥AD,当 A,P,D 三点共线,且 AD⊥BC 时,PB + PD 取最小值.
∵ AD = 3,
∴ BP + DP 的最小值为 3.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类典型考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，通过等量转化将两条线段和的最值问题转化为两点间距离问题，体现了几何转化思想的运用，需要熟练掌握相关性质和最值问题的分析思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断AD+CD与BC的大小关系，首先利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，连接BD可得AD=BD，将AD+CD转化为BD+CD，再结合两点之间线段最短的结论，即可推出二者的大小关系。
(2) 求BP+DP的最小值时，同样先利用线段垂直平分线的性质，连接AP可得BP=AP，将BP+DP转化为AP+DP，根据两点之间线段最短，可知AP+DP的最小值为线段AD的长度，再结合已知的三角形面积和底边长，用三角形面积公式求出高AD的长度，即可得到最小值。
【解析】
(1) 结论：$AD + CD≥ BC$
证明：如图1，连接BD，
∵直线$l$垂直平分线段$AB$，点$D$在直线$l$上，
∴$DA = DB$，
∴$AD + CD = DB + CD$，
根据两点之间线段最短，$DB + CD≥ BC$（当且仅当点$D$在$BC$与直线$l$的交点处时取等号），
∴$AD + CD≥ BC$。
(2) 解：
∵$AD$是$BC$边上的高，$S_{△ ABC}=6$，$BC=4$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，
代入得：$\frac{1}{2}× BC× AD=6$，即$\frac{1}{2}×4× AD=6$，
解得$AD=3$。
如图2，连接$AP$，
∵直线$l$是$AB$边的垂直平分线，点$P$在直线$l$上，
∴$PA = PB$，
∴$BP + DP = PA + PD$，
根据两点之间线段最短，$PA + PD≥ AD$，当$A、P、D$三点共线时，$PA + PD=AD$，此时$BP+DP$取得最小值，
∴$BP + DP$的最小值等于$AD$的长度，即$3$。
【答案】
13 解:(1)结论:AD + CD≥BC. 理由如下:
如图 1,连接 BD.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ DA = DB,
∴ AD + CD = DB + CD≥BC.
(2)
∵ AD 是 BC 边上的高,$S_{△ABC}=6,BC=4$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$,即$\frac{1}{2}×4×AD=6$,
∴ AD = 3.
如图 2,连接 AP.
∵ 直线 l 垂直平分线段 AB,
∴ PA = PB,
∴ PB + PD = PA + PD.
而 PA + PD≥AD,当 A,P,D 三点共线,且 AD⊥BC 时,PB + PD 取最小值.
∵ AD = 3,
∴ BP + DP 的最小值为 3.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类典型考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，通过等量转化将两条线段和的最值问题转化为两点间距离问题，体现了几何转化思想的运用，需要熟练掌握相关性质和最值问题的分析思路。
【难度系数】
0.7
AB,分别交CB,AB于点D,E,AC=3,CB=4,若点F为直线l上一动点,则△ACF周长的最小值是 (
A.4
B.6
C.7
D.10
C
)A.4
B.6
C.7
D.10
答案
1 C 如图,连接 FB,因为直线 l 垂直平分 AB,所以 AF = FB,所以△ACF 的周长为 AC + AF + CF = AC + FB + CF,易知 CF + FB≥CB,所以当 CF + FB = CB,即点 F 与点 D 重合时,△ACF 的周长最小,最小值为 AC + CB = 7.
解析
【分析】
求解△ACF周长的最小值，首先拆分周长组成：△ACF的周长=AC+CF+AF，其中AC长度固定为3，因此只需找到AF+CF的最小值即可。由题意可知直线l是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，直线l上的点到A、B两点的距离相等，因此可将AF转化为等长的FB，此时AF+CF=FB+CF。再根据两点之间线段最短的原理，FB+CF的最小值就是C、B两点之间的线段长度即CB的长，代入数值即可算出周长的最小值。
【解析】
解：
∵直线l垂直平分AB，点F在直线l上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AF=FB$
$△ ACF$的周长 $= AC + AF + CF = AC + FB + CF$
已知$AC=3$为定值，要使周长最小，需使$FB+CF$最小
根据两点之间线段最短可得：$FB+CF≥ CB$，当且仅当C、F、B三点共线（即F与D重合）时，$FB+CF=CB=4$，此时$FB+CF$取得最小值4
∴$△ ACF$周长的最小值为 $AC + CB = 3 + 4 = 7$
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，周长计算
【点评】
本题是几何最短周长类的典型考题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将两条动态线段的和转化为可直接求解的定长线段，考查对几何性质的灵活运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
求解△ACF周长的最小值，首先拆分周长组成：△ACF的周长=AC+CF+AF，其中AC长度固定为3，因此只需找到AF+CF的最小值即可。由题意可知直线l是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，直线l上的点到A、B两点的距离相等，因此可将AF转化为等长的FB，此时AF+CF=FB+CF。再根据两点之间线段最短的原理，FB+CF的最小值就是C、B两点之间的线段长度即CB的长，代入数值即可算出周长的最小值。
【解析】
解：
∵直线l垂直平分AB，点F在直线l上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AF=FB$
$△ ACF$的周长 $= AC + AF + CF = AC + FB + CF$
已知$AC=3$为定值，要使周长最小，需使$FB+CF$最小
根据两点之间线段最短可得：$FB+CF≥ CB$，当且仅当C、F、B三点共线（即F与D重合）时，$FB+CF=CB=4$，此时$FB+CF$取得最小值4
∴$△ ACF$周长的最小值为 $AC + CB = 3 + 4 = 7$
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，周长计算
【点评】
本题是几何最短周长类的典型考题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将两条动态线段的和转化为可直接求解的定长线段，考查对几何性质的灵活运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
2. ▶条件结论互换 如图,在$△ ABC$中,$AC$边的垂直平分线$DE$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$D$,若$BC=8$,$△ EBC$的周长为$18$,则直线$DE$上的点到点$C$、点$B$距离之和的最小值为
3. ▶变为与折叠结合,所求改变 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=$
10
.3. ▶变为与折叠结合,所求改变 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=$
答案
2 10 如图,在 DE 上取一点 P,连接 PA,PB,PC.
∵ DE 垂直平分线段 AC,
∴ PA = PC,EA = EC,
∴ PB + PC = PB + PA≥AB,
∴ 当点 P 与点 E 重合时,PB + PC 的值最小,最小值就是线段 AB 的长.
∵ △EBC 的周长为 EB + EC + BC = EB + EA + BC = AB + BC = 18,BC = 8,
∴ AB = 18 - 8 = 10,
∴ 直线 DE 上的点到点 C、点 B 距离之和的最小值为 10.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可将直线DE上的点到点C的距离转化为到点A的距离；接着求DE上的点到B、C距离之和的最小值，即可转化为求该点到A、B距离之和的最小值，根据两点之间线段最短，可知最小值就是线段AB的长度；最后结合已知的△EBC周长和BC的长度，计算出AB的长度即可得到结果。
【解析】
如图，在DE上取一点P，连接PA，PB，PC。
∵ DE垂直平分线段AC，
∴ PA = PC，EA = EC，
∴ PB + PC = PB + PA，根据两点之间线段最短可得PB + PA≥AB，
∴ 当点P与点E重合时，PB+PC的值最小，最小值就是线段AB的长。
∵ △EBC的周长为EB + EC + BC = EB + EA + BC = AB + BC = 18，已知BC = 8，
∴ AB = 18 - 8 = 10，
即直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线应用的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段转化，将折线最短问题转化为两点间线段最短问题，再结合周长条件求解，能有效考查对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先回忆线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可将直线DE上的点到点C的距离转化为到点A的距离；接着求DE上的点到B、C距离之和的最小值，即可转化为求该点到A、B距离之和的最小值，根据两点之间线段最短，可知最小值就是线段AB的长度；最后结合已知的△EBC周长和BC的长度，计算出AB的长度即可得到结果。
【解析】
如图，在DE上取一点P，连接PA，PB，PC。
∵ DE垂直平分线段AC，
∴ PA = PC，EA = EC，
∴ PB + PC = PB + PA，根据两点之间线段最短可得PB + PA≥AB，
∴ 当点P与点E重合时，PB+PC的值最小，最小值就是线段AB的长。
∵ △EBC的周长为EB + EC + BC = EB + EA + BC = AB + BC = 18，已知BC = 8，
∴ AB = 18 - 8 = 10，
即直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线应用的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段转化，将折线最短问题转化为两点间线段最短问题，再结合周长条件求解，能有效考查对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
90°,若AC=3,BC=4,AB=5,将△ABC折叠,使得点C恰好落在AB边上的点E处,折痕为AD,点F为直线AD上一动点,则△EFB周长的最小值为
6
.答案
3 6 连接 CE,CF,如图.
∵ △ADC 与△ADE 成轴对称,AD 所在直线是对称轴,
∴ AC = AE = 3,AD 垂直平分 CE(成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分),
∴ BE = AB - AE = 5 - 3 = 2,CD = DE,CF = EF,
∴ △EFB的周长为 BE + FE + FB = CF + BF + BE≥BC + BE,
∴ 当点 F 和点 D 重合时,FE + BF 的值最小,此时△EFB 的周长最小,最小值是 BC + BE = 4 + 2 = 6.
解析
【分析】
要求△EFB周长的最小值，首先拆分周长：△EFB的周长=EF+FB+BE。首先确定定长：由折叠的轴对称性质可知，点C与点E关于AD对称，因此AE=AC=3，可算出BE=AB-AE=5-3=2，BE为定值，因此只需找到EF+FB的最小值即可。再转化动线段：根据轴对称的性质，对称轴AD上的任意点F到对称点C、E的距离相等，即EF=CF，因此EF+FB可转化为CF+FB。最后根据两点之间线段最短，CF+FB的最小值为线段BC的长度，当F落在AD与BC的交点D时取到最小值，代入计算即可得到周长的最小值。
【解析】
连接CE、CF，如图：
∵ △ADC与△ADE成轴对称，AD所在直线是对称轴，
∴ AC = AE = 3，AD垂直平分CE（成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分），
∴ BE = AB - AE = 5 - 3 = 2，且对AD上任意点F，都有CF = EF，
∴ △EFB的周长为 BE + FE + FB = 2 + CF + BF，
根据两点之间线段最短，CF+BF≥BC，当点F和点D重合时，CF+BF=BC=4，此时FE+BF取得最小值，
∴ △EFB周长的最小值是 4 + 2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称变换与最短路径结合的典型题型，解题关键是利用轴对称性质将分散的动线段进行转化，将周长最小值问题转化为两点之间线段最短的经典模型，能较好地考查学生的转化思想和几何模型应用能力。
【难度系数】
0.6
要求△EFB周长的最小值，首先拆分周长：△EFB的周长=EF+FB+BE。首先确定定长：由折叠的轴对称性质可知，点C与点E关于AD对称，因此AE=AC=3，可算出BE=AB-AE=5-3=2，BE为定值，因此只需找到EF+FB的最小值即可。再转化动线段：根据轴对称的性质，对称轴AD上的任意点F到对称点C、E的距离相等，即EF=CF，因此EF+FB可转化为CF+FB。最后根据两点之间线段最短，CF+FB的最小值为线段BC的长度，当F落在AD与BC的交点D时取到最小值，代入计算即可得到周长的最小值。
【解析】
连接CE、CF，如图：
∵ △ADC与△ADE成轴对称，AD所在直线是对称轴，
∴ AC = AE = 3，AD垂直平分CE（成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分），
∴ BE = AB - AE = 5 - 3 = 2，且对AD上任意点F，都有CF = EF，
∴ △EFB的周长为 BE + FE + FB = 2 + CF + BF，
根据两点之间线段最短，CF+BF≥BC，当点F和点D重合时，CF+BF=BC=4，此时FE+BF取得最小值，
∴ △EFB周长的最小值是 4 + 2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称变换与最短路径结合的典型题型，解题关键是利用轴对称性质将分散的动线段进行转化，将周长最小值问题转化为两点之间线段最短的经典模型，能较好地考查学生的转化思想和几何模型应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 变为两个动点，垂直平分线过三角形顶点 [2026南京师大附中宿迁分校月考]如图，在$△ ABC$中，BD垂直平分AC，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC = 4，$△ ABC$的面积为6，则$CM + MN$的最小值为
3
。答案
4 3 如图,连接 AM,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.
∵ BD 是线段 AC 的垂直平分线,
∴ CM = AM,
∴ CM + MN = AM + MN. 根据“垂线段最短”得 AM + MN≥AE,即当点 M,N 在线段 AE 上时,AM + MN 的值最小,最小值为线段 AE 的长.
∵ △ABC 的面积为 6,BC = 4,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AE=6$,
∴ AE = 3,
∴ CM + MN 的最小值为 3.
解析
【分析】
本题属于几何最短路径问题，解题可按以下思路推导：首先看到BD是AC的垂直平分线，可利用垂直平分线的性质将CM转化为等长的AM，把所求的CM+MN转化为AM+MN；再根据垂线段最短的原理，可知点A到BC的垂线段长度就是AM+MN的最小值；最后结合三角形的面积公式，就能算出这个垂线段的长度。
【解析】
解：连接AM，过点A作AE⊥BC于点E。
∵ BD是线段AC的垂直平分线，点M在BD上，
∴ CM = AM，
∴ CM + MN = AM + MN。
根据“垂线段最短”可知，AM + MN ≥ AE，即当点M、N都在线段AE上时，AM + MN的值最小，最小值为线段AE的长。
已知△ABC的面积为6，BC = 4，由三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AE=6$，
代入BC=4得：$\frac{1}{2}×4×AE=6$，
解得AE = 3，
即CM + MN的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何最短路径类题目，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的问题转化为共顶点的线段和问题，再结合垂线段最短的性质确定最小值对应的线段，对学生的转化思想和几何分析能力有一定考察。
【难度系数】
0.6
本题属于几何最短路径问题，解题可按以下思路推导：首先看到BD是AC的垂直平分线，可利用垂直平分线的性质将CM转化为等长的AM，把所求的CM+MN转化为AM+MN；再根据垂线段最短的原理，可知点A到BC的垂线段长度就是AM+MN的最小值；最后结合三角形的面积公式，就能算出这个垂线段的长度。
【解析】
解：连接AM，过点A作AE⊥BC于点E。
∵ BD是线段AC的垂直平分线，点M在BD上，
∴ CM = AM，
∴ CM + MN = AM + MN。
根据“垂线段最短”可知，AM + MN ≥ AE，即当点M、N都在线段AE上时，AM + MN的值最小，最小值为线段AE的长。
已知△ABC的面积为6，BC = 4，由三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AE=6$，
代入BC=4得：$\frac{1}{2}×4×AE=6$，
解得AE = 3，
即CM + MN的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何最短路径类题目，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的问题转化为共顶点的线段和问题，再结合垂线段最短的性质确定最小值对应的线段，对学生的转化思想和几何分析能力有一定考察。
【难度系数】
0.6
