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7 小明参加了一场2000 m的跑步比赛，他以4 m/s的速度跑了一段路程后，又以3 m/s的速度跑完了剩下的路程，一共花了10 min. 设小明以4 m/s的速度跑了x m，则可列方程为 （
A.$4x=3(x+10)$
B.$\frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=10$
C.$\frac{x}{3}+\frac{2000 - x}{4}=60×10$
D.$\frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=60×10$
D
）A.$4x=3(x+10)$
B.$\frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=10$
C.$\frac{x}{3}+\frac{2000 - x}{4}=60×10$
D.$\frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=60×10$
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程列写题，解题核心是抓住“两段路程的用时之和等于总用时”的等量关系。首先要注意单位统一：题目中速度单位是m/s，总时间给的是分钟，需要先把总时间换算为秒。接下来根据“时间=路程÷速度”的公式，分别计算两段路程的用时，再将两段用时相加等于总用时，对应匹配选项即可。
【解析】
1. 明确等量关系：第一段路程用时 + 第二段路程用时 = 总用时
2. 统一单位：总用时10min = $ 60×10 $ s
3. 计算两段路程的用时：
① 以4m/s的速度跑x m的用时：$ t_1=\frac{x}{4} $ s
② 剩余路程为$ (2000-x) $ m，以3m/s的速度跑完的用时：$ t_2=\frac{2000-x}{3} $ s
4. 代入等量关系列方程：$ \frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=60×10 $，对应选项D。
错项说明：选项B未将总时间换算为秒，单位不统一；选项C将两段路程对应的速度混淆；选项A完全不符合行程公式逻辑，均错误。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式、列一元一次方程、单位统一
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确找到时间类等量关系，同时要注意不同物理量的单位必须统一后再列等式，避免因单位不匹配出现错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程列写题，解题核心是抓住“两段路程的用时之和等于总用时”的等量关系。首先要注意单位统一：题目中速度单位是m/s，总时间给的是分钟，需要先把总时间换算为秒。接下来根据“时间=路程÷速度”的公式，分别计算两段路程的用时，再将两段用时相加等于总用时，对应匹配选项即可。
【解析】
1. 明确等量关系：第一段路程用时 + 第二段路程用时 = 总用时
2. 统一单位：总用时10min = $ 60×10 $ s
3. 计算两段路程的用时：
① 以4m/s的速度跑x m的用时：$ t_1=\frac{x}{4} $ s
② 剩余路程为$ (2000-x) $ m，以3m/s的速度跑完的用时：$ t_2=\frac{2000-x}{3} $ s
4. 代入等量关系列方程：$ \frac{x}{4}+\frac{2000 - x}{3}=60×10 $，对应选项D。
错项说明：选项B未将总时间换算为秒，单位不统一；选项C将两段路程对应的速度混淆；选项A完全不符合行程公式逻辑，均错误。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式、列一元一次方程、单位统一
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确找到时间类等量关系，同时要注意不同物理量的单位必须统一后再列等式，避免因单位不匹配出现错误。
【难度系数】
0.7
9 根据所设未知数列方程：
（1）[2024 徐州改编]我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道题，译文如下：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲 10 枚钱币，则甲的钱币数比乙的钱币数多出 5 倍，即甲的钱币数是乙钱币数的 6 倍；若甲给乙 10 枚钱币，则两人的钱币数相等.问：甲、乙原来各有多少枚钱币（设甲有钱币 x 枚，乙有钱币 y 枚）？
（2）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感.问：每一轮传染中平均每人传染了几人（设每一轮传染中平均每人传染了 x 人）？
（3）新情境 环境保护 5月，甲、乙两个工厂的用水量共为 200 吨.进入夏季用水高峰期后，两个工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月，甲工厂的用水量比5月减少了15%，乙工厂的用水量比5月减少了10%，两个工厂6月的用水量共为174吨.问：甲工厂5月的用水量为多少吨（设甲工厂5月的用水量为 y 吨）？
（1）[2024 徐州改编]我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道题，译文如下：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲 10 枚钱币，则甲的钱币数比乙的钱币数多出 5 倍，即甲的钱币数是乙钱币数的 6 倍；若甲给乙 10 枚钱币，则两人的钱币数相等.问：甲、乙原来各有多少枚钱币（设甲有钱币 x 枚，乙有钱币 y 枚）？
（2）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感.问：每一轮传染中平均每人传染了几人（设每一轮传染中平均每人传染了 x 人）？
（3）新情境 环境保护 5月，甲、乙两个工厂的用水量共为 200 吨.进入夏季用水高峰期后，两个工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月，甲工厂的用水量比5月减少了15%，乙工厂的用水量比5月减少了10%，两个工厂6月的用水量共为174吨.问：甲工厂5月的用水量为多少吨（设甲工厂5月的用水量为 y 吨）？
答案
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$ (2) $1+x+x(1+x)=36$ (3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
解析
【分析】
列方程的核心是找准题干中的等量关系，逐小问分析如下：
（1）题干给出两个明确等量关系：①乙给甲10枚后，甲的钱币数=乙剩余钱币数×6；②甲给乙10枚后，甲剩余钱币数=乙的钱币数。分别对应两个等量关系列方程即可。
（2）等量关系：初始患病人数+第一轮新增患病人数+第二轮新增患病人数=总患病人数36。初始1人患病，第一轮每人传染x人，第一轮后共(1+x)人患病；第二轮这(1+x)人每人再传染x人，第二轮新增x(1+x)人，代入等量关系即可列方程。
（3）等量关系：6月甲工厂用水量+6月乙工厂用水量=174吨。设甲5月用水量为y吨，则乙5月用水量为(200-y)吨，6月甲用水量为5月的(1-15%)，乙用水量为5月的(1-10%)，代入等量关系即可列方程。
【解析】
（1）乙给甲10枚后，甲有钱币$(x+10)$枚，乙剩余钱币$(y-10)$枚，此时甲是乙的6倍，可列方程：$x+10=6(y-10)$；
甲给乙10枚后，甲剩余钱币$(x-10)$枚，乙有钱币$(y+10)$枚，此时两人钱币数相等，可列方程：$x-10=y+10$；
（2）初始1人患流感，第一轮传染后共$(1+x)$人患病，第二轮传染新增$x(1+x)$人，两轮后总患病人数为36，因此列方程：$1+x+x(1+x)=36$；
（3）甲工厂5月用水量为y吨，则乙工厂5月用水量为$(200-y)$吨，6月甲用水量为$(1-15\%)y$吨，乙用水量为$(1-10\%)(200-y)$吨，6月总用水量为174吨，因此列方程：$(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$。
【答案】
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$
(2) $1+x+x(1+x)=36$
(3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
【知识点】
1. 实际问题列方程
2. 二元一次方程组应用
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学、公共卫生、环保节水等多元情境，考查学生提取等量关系、列方程的基础能力，贴合生活实际，注重对建模思想的基础应用考查。
【难度系数】
0.7
列方程的核心是找准题干中的等量关系，逐小问分析如下：
（1）题干给出两个明确等量关系：①乙给甲10枚后，甲的钱币数=乙剩余钱币数×6；②甲给乙10枚后，甲剩余钱币数=乙的钱币数。分别对应两个等量关系列方程即可。
（2）等量关系：初始患病人数+第一轮新增患病人数+第二轮新增患病人数=总患病人数36。初始1人患病，第一轮每人传染x人，第一轮后共(1+x)人患病；第二轮这(1+x)人每人再传染x人，第二轮新增x(1+x)人，代入等量关系即可列方程。
（3）等量关系：6月甲工厂用水量+6月乙工厂用水量=174吨。设甲5月用水量为y吨，则乙5月用水量为(200-y)吨，6月甲用水量为5月的(1-15%)，乙用水量为5月的(1-10%)，代入等量关系即可列方程。
【解析】
（1）乙给甲10枚后，甲有钱币$(x+10)$枚，乙剩余钱币$(y-10)$枚，此时甲是乙的6倍，可列方程：$x+10=6(y-10)$；
甲给乙10枚后，甲剩余钱币$(x-10)$枚，乙有钱币$(y+10)$枚，此时两人钱币数相等，可列方程：$x-10=y+10$；
（2）初始1人患流感，第一轮传染后共$(1+x)$人患病，第二轮传染新增$x(1+x)$人，两轮后总患病人数为36，因此列方程：$1+x+x(1+x)=36$；
（3）甲工厂5月用水量为y吨，则乙工厂5月用水量为$(200-y)$吨，6月甲用水量为$(1-15\%)y$吨，乙用水量为$(1-10\%)(200-y)$吨，6月总用水量为174吨，因此列方程：$(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$。
【答案】
(1) $x+10=6(y-10),x-10=y+10$
(2) $1+x+x(1+x)=36$
(3) $(1-15\%)y+(1-10\%)(200-y)=174$
【知识点】
1. 实际问题列方程
2. 二元一次方程组应用
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学、公共卫生、环保节水等多元情境，考查学生提取等量关系、列方程的基础能力，贴合生活实际，注重对建模思想的基础应用考查。
【难度系数】
0.7
10 新考向 探究题 观察下列关于$x$的方程及其解的特征：
$2x-\frac{x+1}{2}=1$ 的解为 $x=1$；$3x-\frac{x+2}{3}=2$ 的解为 $x=1$；$4x-\frac{x+3}{4}=3$ 的解为 $x=1$；….
根据观察得到的规律，解答下列问题：
（1）方程 $11x-\frac{x+10}{11}=10$ 的解为
（2）猜想方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解，并验证；
（3）直接写出按此规律排列的第2026个方程.
$2x-\frac{x+1}{2}=1$ 的解为 $x=1$；$3x-\frac{x+2}{3}=2$ 的解为 $x=1$；$4x-\frac{x+3}{4}=3$ 的解为 $x=1$；….
根据观察得到的规律，解答下列问题：
（1）方程 $11x-\frac{x+10}{11}=10$ 的解为
$x=1$
；（2）猜想方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解，并验证；
（3）直接写出按此规律排列的第2026个方程.
答案
(1) $x=1$
(2) 方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解为 $x=1$ 当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边. 所以 $x=1$ 是方程$100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) 按此规律排列的第2 026个方程为$2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026$
(2) 方程 $100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解为 $x=1$ 当$x=1$时,方程的左边$=100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99$,方程的右边$=99$,所以方程的左边$=$方程的右边. 所以 $x=1$ 是方程$100x-\frac{x+99}{100}=99$ 的解
(3) 按此规律排列的第2 026个方程为$2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026$
解析
【分析】
首先观察给出的3组方程及其解，可总结规律：形如$ kx-\frac{x+(k-1)}{k}=k-1 $（$ k $为大于1的正整数）的方程，解均为$ x=1 $。解题时：
1. 第（1）问的方程符合上述规律，可直接得出解；
2. 第（2）问先按规律猜想解为$ x=1 $，再将$ x=1 $分别代入方程左右两边计算，若左右两边值相等则验证成立；
3. 第（3）问先找序号和方程系数的关系：第$ n $个方程中$ k=n+1 $，将$ n=2026 $代入通用方程形式即可得到结果。
【解析】
（1）观察已知方程的共同解特征，可知$ 11x-\frac{x+10}{11}=10 $符合总结的规律，因此解为$ x=1 $。
（2）猜想：方程$ 100x-\frac{x+99}{100}=99 $的解为$ x=1 $。
验证：把$ x=1 $代入方程左边，得
左边$ =100×1-\frac{1+99}{100}=100-\frac{100}{100}=100-1=99 $，
方程右边$ =99 $，
左边=右边，故$ x=1 $是该方程的解。
（3）观察规律：第1个方程中一次项系数为$ 1+1=2 $，右边为1，分子的常数项为1；第2个方程一次项系数为$ 2+1=3 $，右边为2，分子的常数项为2；以此类推，第$ n $个方程的一次项系数为$ n+1 $，右边为$ n $，分子的常数项为$ n $，分母等于一次项系数。
因此第2026个方程中，一次项系数为$ 2026+1=2027 $，右边为2026，分子常数项为2026，分母为2027，即方程为$ 2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026 $。
【答案】
(1) $ x=1 $
(2) 方程的解为$ x=1 $，验证：当$ x=1 $时，方程的左边$ =100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99 $，方程的右边$ =99 $，左边=右边，所以$ x=1 $是方程的解；
(3) $ 2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026 $
【知识点】
规律探究，一元一次方程的解，方程的检验
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先从已知案例中归纳出通用规律，再运用规律解决后续问题，同时考查了方程解的验证方法，侧重对观察归纳能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的3组方程及其解，可总结规律：形如$ kx-\frac{x+(k-1)}{k}=k-1 $（$ k $为大于1的正整数）的方程，解均为$ x=1 $。解题时：
1. 第（1）问的方程符合上述规律，可直接得出解；
2. 第（2）问先按规律猜想解为$ x=1 $，再将$ x=1 $分别代入方程左右两边计算，若左右两边值相等则验证成立；
3. 第（3）问先找序号和方程系数的关系：第$ n $个方程中$ k=n+1 $，将$ n=2026 $代入通用方程形式即可得到结果。
【解析】
（1）观察已知方程的共同解特征，可知$ 11x-\frac{x+10}{11}=10 $符合总结的规律，因此解为$ x=1 $。
（2）猜想：方程$ 100x-\frac{x+99}{100}=99 $的解为$ x=1 $。
验证：把$ x=1 $代入方程左边，得
左边$ =100×1-\frac{1+99}{100}=100-\frac{100}{100}=100-1=99 $，
方程右边$ =99 $，
左边=右边，故$ x=1 $是该方程的解。
（3）观察规律：第1个方程中一次项系数为$ 1+1=2 $，右边为1，分子的常数项为1；第2个方程一次项系数为$ 2+1=3 $，右边为2，分子的常数项为2；以此类推，第$ n $个方程的一次项系数为$ n+1 $，右边为$ n $，分子的常数项为$ n $，分母等于一次项系数。
因此第2026个方程中，一次项系数为$ 2026+1=2027 $，右边为2026，分子常数项为2026，分母为2027，即方程为$ 2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026 $。
【答案】
(1) $ x=1 $
(2) 方程的解为$ x=1 $，验证：当$ x=1 $时，方程的左边$ =100×1-\frac{1+99}{100}=100-1=99 $，方程的右边$ =99 $，左边=右边，所以$ x=1 $是方程的解；
(3) $ 2027x-\frac{x+2026}{2027}=2026 $
【知识点】
规律探究，一元一次方程的解，方程的检验
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先从已知案例中归纳出通用规律，再运用规律解决后续问题，同时考查了方程解的验证方法，侧重对观察归纳能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
