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1.(南京期末)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （）
A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$2,3,4$
C.$7,24,25$
D.$9,37,38$
A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$2,3,4$
C.$7,24,25$
D.$9,37,38$
答案
1.C
解析
【分析】
判断三条线段能否组成直角三角形，核心是用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项里的最长线段，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比两者是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 最长边为$\frac{1}{3}$，$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为4，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
C. 最长边为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，两者相等，可以组成直角三角形；
D. 最长边为38，$9^2+37^2=81+1369=1450$，$38^2=1444$，$1450≠1444$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，解题时需先明确最长边，再验证平方和的等量关系，熟记常见勾股数可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
判断三条线段能否组成直角三角形，核心是用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项里的最长线段，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比两者是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 最长边为$\frac{1}{3}$，$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为4，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
C. 最长边为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，两者相等，可以组成直角三角形；
D. 最长边为38，$9^2+37^2=81+1369=1450$，$38^2=1444$，$1450≠1444$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，解题时需先明确最长边，再验证平方和的等量关系，熟记常见勾股数可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 用三张正方形纸片按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是 （）
A.1,2,3
B.2,2,4
C.3,4,5
D.2,3,5
A.1,2,3
B.2,2,4
C.3,4,5
D.2,3,5
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察图形可得，阴影三角形的三条边恰好分别是三个正方形的一条边。我们知道正方形的面积等于边长的平方，若阴影部分是直角三角形，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应可得两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。因此解题时只需逐一验证选项中两个较小面积的和是否等于最大面积，不满足的即为答案。
【解析】
设三个正方形的面积从小到大分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$，对应边长为$a$、$b$、$c$，则$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，$S_3=c^2$。
若阴影部分为直角三角形，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，即$S_1+S_2=S_3$。
逐一验证选项：
A. $1+2=3$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求；
B. $2+2=4$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求；
C. $3+4=7≠5$，不满足$S_1+S_2=S_3$，不符合要求；
D. $2+3=5$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；直角三角形判定
【点评】
本题将正方形性质与勾股定理相结合，解题核心是建立正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，无需计算边长即可快速判断，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可得，阴影三角形的三条边恰好分别是三个正方形的一条边。我们知道正方形的面积等于边长的平方，若阴影部分是直角三角形，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应可得两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。因此解题时只需逐一验证选项中两个较小面积的和是否等于最大面积，不满足的即为答案。
【解析】
设三个正方形的面积从小到大分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$，对应边长为$a$、$b$、$c$，则$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，$S_3=c^2$。
若阴影部分为直角三角形，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$，即$S_1+S_2=S_3$。
逐一验证选项：
A. $1+2=3$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求；
B. $2+2=4$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求；
C. $3+4=7≠5$，不满足$S_1+S_2=S_3$，不符合要求；
D. $2+3=5$，满足$S_1+S_2=S_3$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；直角三角形判定
【点评】
本题将正方形性质与勾股定理相结合，解题核心是建立正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，无需计算边长即可快速判断，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
3.(鼓楼区期末)如图,货车卸货时支架侧面是$\mathrm{Rt}△ ABC$,其中$∠ ACB=90°$,已知$AB=2.5\ \mathrm{m}$,$AC=1.5\ \mathrm{m}$,则$BC$的长为 ()
A.$1\ \mathrm{m}$
B.$1.2\ \mathrm{m}$
C.$2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
A.$1\ \mathrm{m}$
B.$1.2\ \mathrm{m}$
C.$2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题给出直角三角形ABC，已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边，可通过勾股定理求解。首先明确Rt△ABC中∠C为直角，因此AB是斜边，AC、BC为两条直角边，利用勾股定理的变形公式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形可得$BC^2 = AB^2 - AC^2$，
将$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$代入得：
$BC^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$，
∵ 边长为正数，即$BC＞0$，
∴ $BC=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是准确识别直角三角形的斜边和直角边，正确代入公式计算即可，考查对勾股定理的基础掌握能力。
【难度系数】
0.9
本题给出直角三角形ABC，已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边，可通过勾股定理求解。首先明确Rt△ABC中∠C为直角，因此AB是斜边，AC、BC为两条直角边，利用勾股定理的变形公式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形可得$BC^2 = AB^2 - AC^2$，
将$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$代入得：
$BC^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$，
∵ 边长为正数，即$BC＞0$，
∴ $BC=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是准确识别直角三角形的斜边和直角边，正确代入公式计算即可，考查对勾股定理的基础掌握能力。
【难度系数】
0.9
4.(2024秋·溧阳期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.若$BC=\sqrt{5}$,$AE:EC=3:2$,则AB的长为 ()
A.$\sqrt{41}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{10}$
D.$3$
A.$\sqrt{41}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{10}$
D.$3$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先看到AB的垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接BE可得BE=AE。已知AE和EC的比例关系，可通过设参数的方式表示出BE、EC的长度，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出参数值，进而得到AC的长度，最后在Rt△ABC中再次利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
设AE=3k，EC=2k，则BE=3k，
在Rt△BCE中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC^2 + EC^2 = BE^2$，
代入$BC=\sqrt{5}$，得$(\sqrt{5})^2 + (2k)^2 = (3k)^2$，
即$5 + 4k^2 = 9k^2$，
解得$k^2=1$，
∵k＞0，
∴k=1。
∴AC=AE+EC=3k+2k=5k=5，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + (\sqrt{5})^2}=\sqrt{25+5}=\sqrt{30}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.勾股定理
【点评】
本题是几何计算的常见题型，解题关键是利用垂直平分线的性质进行线段等量转换，通过设参数的方法简化勾股定理的计算，较好地考察了学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先看到AB的垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接BE可得BE=AE。已知AE和EC的比例关系，可通过设参数的方式表示出BE、EC的长度，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出参数值，进而得到AC的长度，最后在Rt△ABC中再次利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
设AE=3k，EC=2k，则BE=3k，
在Rt△BCE中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC^2 + EC^2 = BE^2$，
代入$BC=\sqrt{5}$，得$(\sqrt{5})^2 + (2k)^2 = (3k)^2$，
即$5 + 4k^2 = 9k^2$，
解得$k^2=1$，
∵k＞0，
∴k=1。
∴AC=AE+EC=3k+2k=5k=5，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + (\sqrt{5})^2}=\sqrt{25+5}=\sqrt{30}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.勾股定理
【点评】
本题是几何计算的常见题型，解题关键是利用垂直平分线的性质进行线段等量转换，通过设参数的方法简化勾股定理的计算，较好地考察了学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且$DE⊥ DF$，$AE=4$，$BF=3$，则EF的长为 （）
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
5.B
解析
【分析】
遇到等腰直角三角形斜边中点的问题，首先考虑连接斜边中线，利用等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半、平分顶角、垂直于斜边的性质推导角相等，进而证明三角形全等，将已知的AE、BF长度转化为Rt△ECF的两条直角边长度，最后用勾股定理计算EF的长。
【解析】
连接CD，
∵ 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ AD=CD=BD，∠A=∠DCF=45°，CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∵ DE⊥DF，
∴ ∠EDF=90°，
∴ ∠ADE + ∠EDC = ∠CDF + ∠EDC = 90°，
∴ ∠ADE = ∠CDF，
在△ADE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCF \\AD=CD \\∠ADE=∠CDF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CDF（ASA），
∴ CF=AE=4，
同理可证△CDE≌△BDF，得CE=BF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2 + CF^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题型，核心解题突破口是作斜边中线构造全等三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，考查学生对特殊三角形性质和全等判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到等腰直角三角形斜边中点的问题，首先考虑连接斜边中线，利用等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半、平分顶角、垂直于斜边的性质推导角相等，进而证明三角形全等，将已知的AE、BF长度转化为Rt△ECF的两条直角边长度，最后用勾股定理计算EF的长。
【解析】
连接CD，
∵ 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ AD=CD=BD，∠A=∠DCF=45°，CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∵ DE⊥DF，
∴ ∠EDF=90°，
∴ ∠ADE + ∠EDC = ∠CDF + ∠EDC = 90°，
∴ ∠ADE = ∠CDF，
在△ADE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCF \\AD=CD \\∠ADE=∠CDF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CDF（ASA），
∴ CF=AE=4，
同理可证△CDE≌△BDF，得CE=BF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2 + CF^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题型，核心解题突破口是作斜边中线构造全等三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，考查学生对特殊三角形性质和全等判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6.(高邮期末)在△ABC中，AC=BC=13，AB=10，则△ABC的面积为
60
。答案
6.60
解析
【分析】
已知△ABC中AC=BC，可判断为等腰三角形，要求三角形面积需先求出对应底边上的高。根据等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点C作底边AB的高，可将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式就能得到结果。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
∵AC=BC=13，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×10×12=60$。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理求出高，是几何部分的高频基础考法。
【难度系数】
0.8
已知△ABC中AC=BC，可判断为等腰三角形，要求三角形面积需先求出对应底边上的高。根据等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点C作底边AB的高，可将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式就能得到结果。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
∵AC=BC=13，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×10×12=60$。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理求出高，是几何部分的高频基础考法。
【难度系数】
0.8
7.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东$45°$方向走了120 m，乙往南偏东$45°$方向走了90 m，这时甲、乙两人相距
150
m.答案
7.150
解析
【分析】
首先根据两人的行走方向判断行走路线的夹角：甲往北偏东45°、乙往南偏东45°，两个方向的夹角为45°+45°=90°，因此两人的行走路线与两人的距离恰好构成直角三角形，两条直角边分别为两人行走的路程120m和90m，所求两人距离为直角三角形的斜边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
设出发点为O，甲走到位置A，乙走到位置B：
由题意得：$OA=120\mathrm{m}$，$OB=90\mathrm{m}$，$∠ AOB=45°+45°=90°$，
∴$△ AOB$是直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{120^2+90^2}=\sqrt{14400+8100}=\sqrt{22500}=150(\mathrm{m})$
【答案】
150
【知识点】
方向角的识别；勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活中的行走场景命题，解题的核心是先根据方向角确定直角三角形，再利用勾股定理求解边长，属于几何知识在实际生活中的基础应用，只要掌握方向角的概念和勾股定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先根据两人的行走方向判断行走路线的夹角：甲往北偏东45°、乙往南偏东45°，两个方向的夹角为45°+45°=90°，因此两人的行走路线与两人的距离恰好构成直角三角形，两条直角边分别为两人行走的路程120m和90m，所求两人距离为直角三角形的斜边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
设出发点为O，甲走到位置A，乙走到位置B：
由题意得：$OA=120\mathrm{m}$，$OB=90\mathrm{m}$，$∠ AOB=45°+45°=90°$，
∴$△ AOB$是直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{120^2+90^2}=\sqrt{14400+8100}=\sqrt{22500}=150(\mathrm{m})$
【答案】
150
【知识点】
方向角的识别；勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活中的行走场景命题，解题的核心是先根据方向角确定直角三角形，再利用勾股定理求解边长，属于几何知识在实际生活中的基础应用，只要掌握方向角的概念和勾股定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8.(2024秋·宿豫区期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$DE// AB$交$AC$于点$E$.已知$CE=1$,$CD=\sqrt{3}$,则$AE$的长为
2
。答案
8.2
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在Rt△CDE中，已知两条直角边CD和CE的长度，可通过勾股定理求出DE的长度；第二步，结合DE//AB的性质得到内错角∠BAD=∠ADE，再根据AD平分∠BAC得到∠BAD=∠DAE，通过等量代换可得∠ADE=∠DAE，进而推出△ADE为等腰三角形，得到AE=DE，即可求出AE的长。
【解析】
解：在Rt△CDE中，∠C=90°，CE=1，CD=√3，
根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$。
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过角的等量代换将未知的AE转化为可通过勾股定理计算的DE，同时考查了角平分线、平行线、等腰三角形的基础性质，需要学生熟练掌握相关基础知识点并灵活转化。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先在Rt△CDE中，已知两条直角边CD和CE的长度，可通过勾股定理求出DE的长度；第二步，结合DE//AB的性质得到内错角∠BAD=∠ADE，再根据AD平分∠BAC得到∠BAD=∠DAE，通过等量代换可得∠ADE=∠DAE，进而推出△ADE为等腰三角形，得到AE=DE，即可求出AE的长。
【解析】
解：在Rt△CDE中，∠C=90°，CE=1，CD=√3，
根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$。
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过角的等量代换将未知的AE转化为可通过勾股定理计算的DE，同时考查了角平分线、平行线、等腰三角形的基础性质，需要学生熟练掌握相关基础知识点并灵活转化。
【难度系数】
0.7
9.观察下列各组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;….照此规律,将第n组勾股数按从小到大的顺序排列,排在中间的数用含n的代数式可表示为
$2n^2+2n$
.答案
9.$2n^2+2n$
解析
【分析】
解题时先观察已知勾股数组的特征：①每组勾股数的第一个数是连续奇数，第n组的第一个数可表示为2n+1；②每组后两个数是相邻的正整数，中间数比第三个数小1。我们可以设中间数为x，那么第三个数为x+1，结合勾股定理列方程求解，即可得到用n表示中间数的代数式；也可以通过列举每组中间数和对应n的数值，直接归纳规律得到结果。
【解析】
第一步：先确定第n组勾股数的第一个数：
观察各组第一个数：n=1时为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，n=3时为7=2×3+1，……，因此第n组勾股数的第一个数为$\boldsymbol{2n+1}$。
第二步：观察后两个数的特征：每组后两个数是相邻正整数，即中间数比第三个数小1。
设第n组中间的数为x，则第三个数为$x+1$，根据勾股定理可得：
$(2n+1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
第三步：展开并化简方程：
左边展开：$(2n+1)^2 +x^2 =4n^2+4n+1 +x^2$
右边展开：$(x+1)^2 =x^2+2x+1$
左右两边消去$x^2$和1，得：
$4n^2+4n=2x$
解得：$x=2n^2+2n$
代入n=1、2、3、4验证，结果均符合给出的勾股数，推导正确。
【答案】
$2n^2+2n$
【知识点】
勾股数的概念，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是先抓住每组勾股数的共性特征，再结合勾股定理建立关系推导表达式，也可以通过特殊值代入的方法验证自己归纳的规律是否正确，能很好地考查观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时先观察已知勾股数组的特征：①每组勾股数的第一个数是连续奇数，第n组的第一个数可表示为2n+1；②每组后两个数是相邻的正整数，中间数比第三个数小1。我们可以设中间数为x，那么第三个数为x+1，结合勾股定理列方程求解，即可得到用n表示中间数的代数式；也可以通过列举每组中间数和对应n的数值，直接归纳规律得到结果。
【解析】
第一步：先确定第n组勾股数的第一个数：
观察各组第一个数：n=1时为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，n=3时为7=2×3+1，……，因此第n组勾股数的第一个数为$\boldsymbol{2n+1}$。
第二步：观察后两个数的特征：每组后两个数是相邻正整数，即中间数比第三个数小1。
设第n组中间的数为x，则第三个数为$x+1$，根据勾股定理可得：
$(2n+1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
第三步：展开并化简方程：
左边展开：$(2n+1)^2 +x^2 =4n^2+4n+1 +x^2$
右边展开：$(x+1)^2 =x^2+2x+1$
左右两边消去$x^2$和1，得：
$4n^2+4n=2x$
解得：$x=2n^2+2n$
代入n=1、2、3、4验证，结果均符合给出的勾股数，推导正确。
【答案】
$2n^2+2n$
【知识点】
勾股数的概念，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是先抓住每组勾股数的共性特征，再结合勾股定理建立关系推导表达式，也可以通过特殊值代入的方法验证自己归纳的规律是否正确，能很好地考查观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
