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三、解答题(共46分)
10.(12分)(2024秋·南通期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,BD=3,BE=2,DE=√5.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求证:△ADF是等腰三角形.
10.(12分)(2024秋·南通期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,BD=3,BE=2,DE=√5.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求证:△ADF是等腰三角形.
答案
10.证明:(1)
∵BD=3,BE=2,DE=√5,2²+(√5)²=9=3²,
∴BE²+DE²=BD²,
∴△BDE是直角三角形,
且∠BED=90°,即EF⊥BC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
∵BD=3,BE=2,DE=√5,2²+(√5)²=9=3²,
∴BE²+DE²=BD²,
∴△BDE是直角三角形,
且∠BED=90°,即EF⊥BC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
解析
【分析】
(1)要证明EF⊥BC，即需证明∠BED=90°。题目给出了△BDE三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断△BDE是否为直角三角形：若两条短边的平方和等于最长边的平方，则最长边对应的角为直角，即可得证垂直。
(2)要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明三角形有两个内角相等，即证∠F=∠FDA。首先由AB=AC可得底角∠B=∠C，结合(1)中EF⊥BC的结论，利用直角三角形两锐角互余，可推出∠F与∠BDE相等，再结合对顶角相等的性质，等量代换后得∠F=∠FDA，即可证明△ADF为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知BD=3，BE=2，DE=√5，计算边长平方：
$BE^2 + DE^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$，$BD^2 = 3^2 = 9$，因此$BE^2 + DE^2 = BD^2$。
根据勾股定理的逆定理，△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，即EF⊥BC。
(2) 由AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C。
由(1)知EF⊥BC，因此Rt△BDE中∠BDE + ∠B = 90°，Rt△FEC中∠F + ∠C = 90°。
根据等角的余角相等，可得∠F=∠BDE。
又因为∠BDE和∠FDA是对顶角，故∠BDE=∠FDA，等量代换得∠F=∠FDA。
根据等角对等边，可得AF=AD，因此△ADF是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明：
∵BD=3，BE=2，DE=√5，$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，
∴$BE^2+DE^2=BD^2$，
∴△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，即EF⊥BC。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠F=∠BDE。
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理，等腰三角形判定，等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查的都是常规核心考点，解题突破口是先利用给出的边长条件证明垂直，再通过角的等量代换完成等腰三角形的证明，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1)要证明EF⊥BC，即需证明∠BED=90°。题目给出了△BDE三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断△BDE是否为直角三角形：若两条短边的平方和等于最长边的平方，则最长边对应的角为直角，即可得证垂直。
(2)要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明三角形有两个内角相等，即证∠F=∠FDA。首先由AB=AC可得底角∠B=∠C，结合(1)中EF⊥BC的结论，利用直角三角形两锐角互余，可推出∠F与∠BDE相等，再结合对顶角相等的性质，等量代换后得∠F=∠FDA，即可证明△ADF为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知BD=3，BE=2，DE=√5，计算边长平方：
$BE^2 + DE^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$，$BD^2 = 3^2 = 9$，因此$BE^2 + DE^2 = BD^2$。
根据勾股定理的逆定理，△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，即EF⊥BC。
(2) 由AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C。
由(1)知EF⊥BC，因此Rt△BDE中∠BDE + ∠B = 90°，Rt△FEC中∠F + ∠C = 90°。
根据等角的余角相等，可得∠F=∠BDE。
又因为∠BDE和∠FDA是对顶角，故∠BDE=∠FDA，等量代换得∠F=∠FDA。
根据等角对等边，可得AF=AD，因此△ADF是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明：
∵BD=3，BE=2，DE=√5，$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，
∴$BE^2+DE^2=BD^2$，
∴△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，即EF⊥BC。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠F=∠BDE。
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理，等腰三角形判定，等角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查的都是常规核心考点，解题突破口是先利用给出的边长条件证明垂直，再通过角的等量代换完成等腰三角形的证明，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
11.(18分)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足$2α+β=90°$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C＞90°,∠A=60°,则∠B的度数是
(2)若△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①如图,若AD是∠BAC的平分线,请判断△ABD是否为“准互余三角形”,并说明理由;
②E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,若∠ABC=24°,则∠EAC的度数是
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C＞90°,∠A=60°,则∠B的度数是
15°
.(2)若△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①如图,若AD是∠BAC的平分线,请判断△ABD是否为“准互余三角形”,并说明理由;
②E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,若∠ABC=24°,则∠EAC的度数是
33°或24°
.答案
11.(1)15°
(2)①解:△ABD是“准互余三角形”.理由如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.
②33°或24°
(2)①解:△ABD是“准互余三角形”.理由如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.
②33°或24°
解析
【分析】
(1) 首先理解“准互余三角形”的定义：三角形存在两个内角α、β满足$2α+β=90°$。已知$△ ABC$中$∠ C＞90°$，因此满足等式的两个角只能是锐角$∠ A$和$∠ B$，若取$α=∠ A=60°$，则$2α=120°＞90°$不符合要求，因此只能取$α=∠ B$、$β=∠ A$，代入等式即可计算出$∠ B$的度数。
(2) ①判断$△ ABD$是否为“准互余三角形”，只需结合角平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质，推导是否存在两个角满足$2α+β=90°$即可。
②已知$△ ABE$是“准互余三角形”，$∠ ABC=24°$，需分两种情况讨论：情况一：$2∠ BAE+∠ ABC=90°$；情况二：$2∠ ABC+∠ BAE=90°$，分别算出$∠ BAE$的度数后，用$∠ BAC$的度数减去$∠ BAE$的度数即可得到$∠ EAC$的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解：$\because △ ABC$是“准互余三角形”，$∠ C＞90°$，$∠ A=60°$
$\therefore 2∠ B+∠ A=90°$
代入$∠ A=60°$得：$2∠ B+60°=90°$，解得$∠ B=15°$
(2) ①解：$△ ABD$是“准互余三角形”，理由如下：
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC+∠ B=90°$
将$∠ BAC$替换为$2∠ BAD$得：$2∠ BAD+∠ B=90°$，符合“准互余三角形”的定义，因此$△ ABD$是“准互余三角形”。
②解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=24°$
$\therefore ∠ BAC=90°-24°=66°$
$\because △ ABE$是“准互余三角形”，分两种情况讨论：
情况1：$2∠ BAE+∠ ABC=90°$
代入$∠ ABC=24°$得：$2∠ BAE+24°=90°$，解得$∠ BAE=33°$
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=66°-33°=33°$
情况2：$2∠ ABC+∠ BAE=90°$
代入$∠ ABC=24°$得：$2×24°+∠ BAE=90°$，解得$∠ BAE=42°$
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=66°-42°=24°$
综上，$∠ EAC$的度数为$33°$或$24°$
【答案】
(1)$15°$
(2)①$△ ABD$是“准互余三角形”，理由见解析；②$33°$或$24°$
【知识点】
新定义理解，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合自定义概念考查三角形相关性质的应用，解题的关键是准确把握“准互余三角形”的定义，遇到多解问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先理解“准互余三角形”的定义：三角形存在两个内角α、β满足$2α+β=90°$。已知$△ ABC$中$∠ C＞90°$，因此满足等式的两个角只能是锐角$∠ A$和$∠ B$，若取$α=∠ A=60°$，则$2α=120°＞90°$不符合要求，因此只能取$α=∠ B$、$β=∠ A$，代入等式即可计算出$∠ B$的度数。
(2) ①判断$△ ABD$是否为“准互余三角形”，只需结合角平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质，推导是否存在两个角满足$2α+β=90°$即可。
②已知$△ ABE$是“准互余三角形”，$∠ ABC=24°$，需分两种情况讨论：情况一：$2∠ BAE+∠ ABC=90°$；情况二：$2∠ ABC+∠ BAE=90°$，分别算出$∠ BAE$的度数后，用$∠ BAC$的度数减去$∠ BAE$的度数即可得到$∠ EAC$的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解：$\because △ ABC$是“准互余三角形”，$∠ C＞90°$，$∠ A=60°$
$\therefore 2∠ B+∠ A=90°$
代入$∠ A=60°$得：$2∠ B+60°=90°$，解得$∠ B=15°$
(2) ①解：$△ ABD$是“准互余三角形”，理由如下：
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC+∠ B=90°$
将$∠ BAC$替换为$2∠ BAD$得：$2∠ BAD+∠ B=90°$，符合“准互余三角形”的定义，因此$△ ABD$是“准互余三角形”。
②解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=24°$
$\therefore ∠ BAC=90°-24°=66°$
$\because △ ABE$是“准互余三角形”，分两种情况讨论：
情况1：$2∠ BAE+∠ ABC=90°$
代入$∠ ABC=24°$得：$2∠ BAE+24°=90°$，解得$∠ BAE=33°$
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=66°-33°=33°$
情况2：$2∠ ABC+∠ BAE=90°$
代入$∠ ABC=24°$得：$2×24°+∠ BAE=90°$，解得$∠ BAE=42°$
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=66°-42°=24°$
综上，$∠ EAC$的度数为$33°$或$24°$
【答案】
(1)$15°$
(2)①$△ ABD$是“准互余三角形”，理由见解析；②$33°$或$24°$
【知识点】
新定义理解，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合自定义概念考查三角形相关性质的应用，解题的关键是准确把握“准互余三角形”的定义，遇到多解问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12.(16分)跨学科题(栖霞区期末)如图,一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,又AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域。
(1)学校C会受到噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50 m,环卫车噪声影响该学校的时间持续多少分钟?
(1)学校C会受到噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50 m,环卫车噪声影响该学校的时间持续多少分钟?
答案
12.解:(1)学校C会受到噪声影响.理由如下:
如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形.
∴AC×BC=CD×AB,即150×200=250×CD,
∴CD=$\frac{150×200}{250}$=120(m).
∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受到噪声影响.
(2)当EC=130 m,FC=130 m时,正好影响学校C.
∵ED=$\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}$=50(m),
∴EF=100 m.
100÷50=2(分).
答:环卫车噪声影响该学校的时间持续2分钟.
解析
【分析】
(1) 判断学校是否受噪声影响，需先求出点C到直线AB的最短距离（垂线段长度），再和130m比较：若距离≤130m则受影响，反之不受。首先根据△ABC三边的长度，利用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高CD，最后与130m对比即可得出结论。
(2) 求噪声影响时长，需先确定受影响的行驶路程：找到到点C距离为130m的两个临界行驶点E、F，线段EF就是受影响的路段。利用勾股定理求出ED的长度，可得EF=2ED，再根据“时间=路程÷速度”即可算出影响时间。
【解析】
(1) 学校C会受到噪声影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，
已知AC=150 m，BC=200 m，AB=250 m，
计算得$AC^2+BC^2=150^2+200^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，因此有：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值可得$150×200=250× CD$，
解得$CD=\frac{150×200}{250}=120(m)$。
因为120m＜130m，符合噪声影响的范围要求，所以学校C会受到噪声影响。
(2) 当环卫车行驶至点E时，EC=130m，此时开始对学校产生噪声影响；行驶至点F时，FC=130m，此时噪声影响结束。
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：
$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}=\sqrt{2500}=50(m)$，
同理可得FD=50m，因此受影响路段长度$EF=ED+FD=100(m)$。
已知环卫车行驶速度为每分钟50m，因此影响持续时间为$100÷50=2$（分钟）。
【答案】
(1) 学校C会受到噪声影响，理由如下：
如答图，过点C作CD⊥AB于点D。
∵AC=150 m，BC=200 m，AB=250 m，
∴AC²+BC²=AB²。
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB，即150×200=250×CD，
∴CD=$\frac{150×200}{250}$=120(m)。
∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受到噪声影响。
(2) 当EC=130 m，FC=130 m时，正好影响学校C。
∵ED=$\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}$=50(m)，
∴EF=100 m。
100÷50=2(分)。
答：环卫车噪声影响该学校的时间持续2分钟。
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 点到直线的距离
3. 行程公式
【点评】
本题结合生活中的环卫车噪声影响场景，将几何知识和实际应用结合，考查了勾股定理、直角三角形面积计算等知识的灵活运用，引导学生用数学思维解决生活中的实际问题，综合性适中。
【难度系数】
0.7
(1) 判断学校是否受噪声影响，需先求出点C到直线AB的最短距离（垂线段长度），再和130m比较：若距离≤130m则受影响，反之不受。首先根据△ABC三边的长度，利用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高CD，最后与130m对比即可得出结论。
(2) 求噪声影响时长，需先确定受影响的行驶路程：找到到点C距离为130m的两个临界行驶点E、F，线段EF就是受影响的路段。利用勾股定理求出ED的长度，可得EF=2ED，再根据“时间=路程÷速度”即可算出影响时间。
【解析】
(1) 学校C会受到噪声影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，
已知AC=150 m，BC=200 m，AB=250 m，
计算得$AC^2+BC^2=150^2+200^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，因此有：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值可得$150×200=250× CD$，
解得$CD=\frac{150×200}{250}=120(m)$。
因为120m＜130m，符合噪声影响的范围要求，所以学校C会受到噪声影响。
(2) 当环卫车行驶至点E时，EC=130m，此时开始对学校产生噪声影响；行驶至点F时，FC=130m，此时噪声影响结束。
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：
$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}=\sqrt{2500}=50(m)$，
同理可得FD=50m，因此受影响路段长度$EF=ED+FD=100(m)$。
已知环卫车行驶速度为每分钟50m，因此影响持续时间为$100÷50=2$（分钟）。
【答案】
(1) 学校C会受到噪声影响，理由如下：
如答图，过点C作CD⊥AB于点D。
∵AC=150 m，BC=200 m，AB=250 m，
∴AC²+BC²=AB²。
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB，即150×200=250×CD，
∴CD=$\frac{150×200}{250}$=120(m)。
∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受到噪声影响。
(2) 当EC=130 m，FC=130 m时，正好影响学校C。
∵ED=$\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}$=50(m)，
∴EF=100 m。
100÷50=2(分)。
答：环卫车噪声影响该学校的时间持续2分钟。
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 点到直线的距离
3. 行程公式
【点评】
本题结合生活中的环卫车噪声影响场景，将几何知识和实际应用结合，考查了勾股定理、直角三角形面积计算等知识的灵活运用，引导学生用数学思维解决生活中的实际问题，综合性适中。
【难度系数】
0.7
