三、解答题(共46分)
10.(12分)(2024秋·南通期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,BD=3,BE=2,DE=√5.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求证:△ADF是等腰三角形.

10.证明:(1)
∵BD=3,BE=2,DE=√5,2²+(√5)²=9=3²,
∴BE²+DE²=BD²,
∴△BDE是直角三角形,
且∠BED=90°,即EF⊥BC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.

11.(18分)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足$2α+β=90°$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C＞90°,∠A=60°,则∠B的度数是.
(2)若△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①如图,若AD是∠BAC的平分线,请判断△ABD是否为“准互余三角形”,并说明理由;
②E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,若∠ABC=24°,则∠EAC的度数是.

11.(1)15°
(2)①解:△ABD是“准互余三角形”.理由如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.
②33°或24°

12.(16分)跨学科题(栖霞区期末)如图,一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,又AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域。
(1)学校C会受到噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50 m,环卫车噪声影响该学校的时间持续多少分钟?

12.解:(1)学校C会受到噪声影响.理由如下:
如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形.
∴AC×BC=CD×AB,即150×200=250×CD,
∴CD=$\frac{150×200}{250}$=120(m).
∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受到噪声影响.
(2)当EC=130 m,FC=130 m时,正好影响学校C.
∵ED=$\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{130^2-120^2}$=50(m),
∴EF=100 m.
100÷50=2(分).
答:环卫车噪声影响该学校的时间持续2分钟.