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1. (★★)如图,在$□ ABCD$中,$AB=2,BC=3,∠ABC,∠BCD$的平分线分别交AD于F,E两点,则EF的长为 ()
A.3
B.2
C.1.5
D.1
A.3
B.2
C.1.5
D.1
答案
D
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=3，AB=CD=2，
∴ ∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB。
∵ BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠ABF=∠FBC，∠BCE=∠ECD，
∴ ∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
∴ AF=AB=2，DE=CD=2。
又∵ AF + DE = AD + EF，
代入得2 + 2 = 3 + EF，
解得EF=1。
∴ AD//BC，AD=BC=3，AB=CD=2，
∴ ∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB。
∵ BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠ABF=∠FBC，∠BCE=∠ECD，
∴ ∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
∴ AF=AB=2，DE=CD=2。
又∵ AF + DE = AD + EF，
代入得2 + 2 = 3 + EF，
解得EF=1。
2. (★★)如图，在$□ ABCD$中，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若$AB=4$，$BC=5$，$OE=1.5$，则四边形EFCD的周长为（）
A.16
B.14
C.12
D.10
A.16
B.14
C.12
D.10
答案
C
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ OF=OE=1.5，CF=AE，
∴ EF=OE+OF=3，DE+CF=DE+AE=AD=5，
∴ 四边形EFCD的周长=EF + FC + CD + DE = 3 + 5 + 4 =12。
∴ CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ OF=OE=1.5，CF=AE，
∴ EF=OE+OF=3，DE+CF=DE+AE=AD=5，
∴ 四边形EFCD的周长=EF + FC + CD + DE = 3 + 5 + 4 =12。
3. (★★★)如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥ BC$,$AF⊥ CD$,$∠ EAF=60°$,$BE=2$,$DF=3$,则平行四边形的周长为 （）
A.$20\sqrt{3}$
B.$12\sqrt{3}$
C.$20$
D.$12$
A.$20\sqrt{3}$
B.$12\sqrt{3}$
C.$20$
D.$12$
答案
C
解析
在四边形AECF中，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°。
由四边形内角和为360°，得∠C=360°-90°-90°-∠EAF=120°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∠B=∠D。
∴∠B+∠C=180°，∠D+∠C=180°，得∠B=∠D=60°。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=2×2=4。
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠D=60°，∴∠DAF=30°，∴AD=2DF=2×3=6。
平行四边形ABCD的周长为2×(AB+AD)=2×(4+6)=20。
由四边形内角和为360°，得∠C=360°-90°-90°-∠EAF=120°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∠B=∠D。
∴∠B+∠C=180°，∠D+∠C=180°，得∠B=∠D=60°。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=2×2=4。
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠D=60°，∴∠DAF=30°，∴AD=2DF=2×3=6。
平行四边形ABCD的周长为2×(AB+AD)=2×(4+6)=20。
4. (★★★)已知四边形ABCD的面积为8 cm²，AB//CD，AB=CD，E是AB的中点，则△AEC的面积是（）
A.4 cm²
B.3 cm²
C.2 cm²
D.1 cm²
A.4 cm²
B.3 cm²
C.2 cm²
D.1 cm²
答案
C
解析
1. 由AB//CD，AB=CD，根据平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD是平行四边形。
2. 平行四边形的对角线AC将其分成面积相等的两个三角形，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
3. E是AB的中点，即$AE=\frac{1}{2}AB$，$△ AEC$和$△ ABC$同高，底边长为AB的$\frac{1}{2}$，因此$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
2. 平行四边形的对角线AC将其分成面积相等的两个三角形，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
3. E是AB的中点，即$AE=\frac{1}{2}AB$，$△ AEC$和$△ ABC$同高，底边长为AB的$\frac{1}{2}$，因此$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
5. (★★)在□ABCD中，若∠A−∠B=40°，则∠A=，∠B=.
答案
$∠ A=\boldsymbol{110°}$，$∠ B=\boldsymbol{70°}$。
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
又∵ ∠A - ∠B = 40°，
将两式相加得：$2∠ A = 220°$，
解得$∠ A = 110°$，
把$∠ A=110°$代入$∠ A + ∠ B = 180°$，得$∠ B = 70°$。
最终
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
又∵ ∠A - ∠B = 40°，
将两式相加得：$2∠ A = 220°$，
解得$∠ A = 110°$，
把$∠ A=110°$代入$∠ A + ∠ B = 180°$，得$∠ B = 70°$。
最终
6. (★★)若平行四边形的周长为54 cm，两邻边之差为5 cm，则这两边的长度分别为.
答案
解：设平行四边形较长的邻边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则较短的邻边长为$ (x-5) \, \mathrm{cm} $。
∵平行四边形对边相等，周长为54 cm，
∴$ 2[x + (x-5)] = 54 $
化简得：$ 4x - 10 = 54 $
解得：$ x = 16 $
则较短的邻边长为$ 16 - 5 = 11 \, \mathrm{cm} $。
答：这两边的长度分别为16 cm和11 cm。
∵平行四边形对边相等，周长为54 cm，
∴$ 2[x + (x-5)] = 54 $
化简得：$ 4x - 10 = 54 $
解得：$ x = 16 $
则较短的邻边长为$ 16 - 5 = 11 \, \mathrm{cm} $。
答：这两边的长度分别为16 cm和11 cm。
7. (★★)若$□ ABCD$的对角线$AC$平分$∠ DAB$,则对角线$AC$与$BD$的位置关系是.
答案
互相垂直（或AC⊥BD）
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠BAC = ∠DAC，
∴ ∠DCA = ∠DAC，
∴ AD = CD。
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠BAC = ∠DAC，
∴ ∠DCA = ∠DAC，
∴ AD = CD。
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD。
8. (★★)如图,在$□ ABCD$中,$CE ⊥ AB$,垂足为E,如果$∠ A=115°$,那么$∠ BCE=$.
答案
$\boldsymbol{25°}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°。
∵ ∠A = 115°，
∴ ∠B = 180° - 115° = 65°。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠CEB = 90°，
∴ ∠BCE = 90° - ∠B = 90° - 65° = 25°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°。
∵ ∠A = 115°，
∴ ∠B = 180° - 115° = 65°。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠CEB = 90°，
∴ ∠BCE = 90° - ∠B = 90° - 65° = 25°。
