10. (★★)如图，小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m.

$\boldsymbol{240}$

解：
根据题意，小亮走过的路径是正多边形，该正多边形的每个外角为15°。
因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以这个正多边形的边数为 $ 360° ÷ 15° = 24 $。
已知每段边长为10 m，因此总路程为 $ 24 × 10 = 240 \, \mathrm{m} $。

11.(★★)如图,求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

证明：
连接BC。
在△DEF和△BCF中，
∠D + ∠E + ∠DFE = 180°，
∠FBC + ∠FCB + ∠BFC = 180°，
∵ ∠DFE = ∠BFC（对顶角相等），
∴ ∠D + ∠E = ∠FBC + ∠FCB。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
即∠A + ∠ABF + ∠FBC + ∠ACF + ∠FCB = 180°，
将∠FBC + ∠FCB = ∠D + ∠E代入上式，可得：
∠A + ∠ABF + ∠ACF + ∠D + ∠E = 180°，
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

12.（★★★）如图，四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F.
（1）若∠F=80°，则∠ABC+∠BCD=，∠E=；
（2）猜想∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由.

(1) $\boldsymbol{200°}$，$\boldsymbol{100°}$

解：
(1) 在△FBC中，∠F=80°，
∴ ∠FBC + ∠FCB = 180° - ∠F = 100°，
∵ BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴ ∠ABC = 2∠FBC，∠BCD = 2∠FCB，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 2(∠FBC + ∠FCB) = 200°。
∵ 四边形ABCD内角和为360°，
∴ ∠BAD + ∠CDA = 360° - (∠ABC + ∠BCD) = 160°，
∵ AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
∴ ∠DAE + ∠ADE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠CDA) = 80°，
在△ADE中，∠E = 180° - (∠DAE + ∠ADE) = 100°。
(2) 猜想：$∠ E + ∠ F = 180°$，理由如下：
由角平分线定义可得：
$∠ E = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ CDA)$，
$∠ F = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD)$，
两式相加得：
$∠ E + ∠ F = 360° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ CDA + ∠ ABC + ∠ BCD)$，
∵ 四边形ABCD内角和为$360°$，即$∠ BAD + ∠ CDA + ∠ ABC + ∠ BCD = 360°$，
∴ $∠ E + ∠ F = 360° - \frac{1}{2} × 360° = 180°$。