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1.【任务主题】某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”.
【数据信息】A超市和B水果店售卖同品种西瓜.
信息1:A超市西瓜的售价为4元/千克,无论购买多少均不打折；
信息2:B水果店西瓜的售价为5元/千克,若一次购买3千克以上,超过3千克的部分打折销售；
信息3:B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表(精确到1千克):
【解决问题】
(1)请分别写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数表达式；
(2)某酒店承办活动需购买一批西瓜,请通过计算说明选择哪家更合算；
(3)已知西瓜的进货成本为3元/千克,市场调研发现:如果A超市以4元/千克销售,平均每天可以售出200千克.为了减少库存,超市决定降价销售,近期销售情况显示:销售单价每降低0.1元,销售量就会增加20千克.在尽可能减少库存的情况下,该超市将售价定为多少元/千克时,每天的销售利润为168元?
【数据信息】A超市和B水果店售卖同品种西瓜.
信息1:A超市西瓜的售价为4元/千克,无论购买多少均不打折；
信息2:B水果店西瓜的售价为5元/千克,若一次购买3千克以上,超过3千克的部分打折销售；
信息3:B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表(精确到1千克):
【解决问题】
(1)请分别写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数表达式；
(2)某酒店承办活动需购买一批西瓜,请通过计算说明选择哪家更合算；
(3)已知西瓜的进货成本为3元/千克,市场调研发现:如果A超市以4元/千克销售,平均每天可以售出200千克.为了减少库存,超市决定降价销售,近期销售情况显示:销售单价每降低0.1元,销售量就会增加20千克.在尽可能减少库存的情况下,该超市将售价定为多少元/千克时,每天的销售利润为168元?
答案
1.解:(1)A超市:y=4x. B水果店:当0＜x≤3时,y=5x;
当x＞3时,设付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数表达式为y=kx+b,结合表格数据,得
$\begin{cases}4k+b=18.5,\\5k+b=22,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3.5,\\b=4.5,\end{cases}$
∴y=3.5x+4.5.
∴$y=\begin{cases}5x(0＜x≤3),\\3.5x+4.5(x＞3).\end{cases}$
(2)
∵4x＜5x,
∴当0＜x≤3时,选择A超市更合算;
由4x＜3.5x+4.5解得x＜9,
∴当3＜x＜9时,选择A超市更合算;
由4x=3.5x+4.5解得x=9,
∴当x=9时,选择A超市和B水果店付款金额相同;
由4x＞3.5x+4.5解得x＞9,
∴当x＞9时,选择B水果店更合算.
综上可知,当0＜x＜9时,选择A超市更合算;
当x=9时,选择A超市和B水果店付款金额相同;
当x＞9时,选择B水果店更合算.
(3)设售价定为m元/千克,则
销售量为$200+20×\frac{4-m}{0.1}=200+20×10(4-m)$.
根据题意,得$(m-3)[200+200(4-m)]=168$,
整理,得$25m^2-200m+396=0$,
解得$m_1=3.6,m_2=4.4$(不合题意,舍去).
答:该超市将售价定为3.6元/千克时,每天的销售利润为168元.
当x＞3时,设付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数表达式为y=kx+b,结合表格数据,得
$\begin{cases}4k+b=18.5,\\5k+b=22,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3.5,\\b=4.5,\end{cases}$
∴y=3.5x+4.5.
∴$y=\begin{cases}5x(0＜x≤3),\\3.5x+4.5(x＞3).\end{cases}$
(2)
∵4x＜5x,
∴当0＜x≤3时,选择A超市更合算;
由4x＜3.5x+4.5解得x＜9,
∴当3＜x＜9时,选择A超市更合算;
由4x=3.5x+4.5解得x=9,
∴当x=9时,选择A超市和B水果店付款金额相同;
由4x＞3.5x+4.5解得x＞9,
∴当x＞9时,选择B水果店更合算.
综上可知,当0＜x＜9时,选择A超市更合算;
当x=9时,选择A超市和B水果店付款金额相同;
当x＞9时,选择B水果店更合算.
(3)设售价定为m元/千克,则
销售量为$200+20×\frac{4-m}{0.1}=200+20×10(4-m)$.
根据题意,得$(m-3)[200+200(4-m)]=168$,
整理,得$25m^2-200m+396=0$,
解得$m_1=3.6,m_2=4.4$(不合题意,舍去).
答:该超市将售价定为3.6元/千克时,每天的销售利润为168元.
解析
【分析】
(1) A超市售价固定，付款金额直接用“单价×购买量”即可得到函数式；B水果店为分段计价，3千克以内按原价计算，超过3千克的部分可结合表格数据用待定系数法求对应一次函数表达式。
(2) 比较两家的付款金额大小，需分“购买量不超过3千克”和“购买量超过3千克”两种情况讨论，通过列不等式、方程分别求解不同购买量下的最优选择。
(3) 销售利润=每千克利润×总销售量，设售价为m元/千克，先根据降价和销量的关系表示出总销量，再结合利润为168元列一元二次方程求解，最后根据“减少库存”的要求舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) A超市：西瓜售价为4元/千克，因此付款金额y(元)与购买量x(千克)的函数表达式为：$\boldsymbol{y=4x}$。
B水果店：
①当$0＜x≤3$时，售价为5元/千克，因此$y=5x$；
②当$x＞3$时，设函数表达式为$y=kx+b$，将表格中$x=4,y=18.5$和$x=5,y=22$代入得：
$\begin{cases}4k+b=18.5\\5k+b=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=3.5\\b=4.5\end{cases}$，因此此时$y=3.5x+4.5$。
综上，B水果店的函数表达式为：$\boldsymbol{y=\begin{cases}5x&(0＜x≤3)\\3.5x+4.5&(x＞3)\end{cases}}$。
(2) 分情况讨论：
①当$0＜x≤3$时，A超市付款$y=4x$，B水果店付款$y=5x$，显然$4x＜5x$，因此此时选择A超市更合算；
②当$x＞3$时：
若$4x ＜ 3.5x+4.5$，解得$x＜9$，即$3＜x＜9$时，选择A超市更合算；
若$4x = 3.5x+4.5$，解得$x=9$，即$x=9$时，两家付款金额相同；
若$4x ＞ 3.5x+4.5$，解得$x＞9$，即$x＞9$时，选择B水果店更合算。
(3) 设售价定为m元/千克，
每千克利润为$(m-3)$元，销售单价降低了$(4-m)$元，总销量为$200+20×\frac{4-m}{0.1}=200+200(4-m)$千克。
根据总利润为168元列方程：
$(m-3)[200+200(4-m)]=168$
整理得$25m^2-200m+396=0$，
解得$m_1=3.6$，$m_2=4.4$。
因为要降价减少库存，因此$m＜4$，舍去$m=4.4$，得$m=3.6$。
【答案】
(1) A超市：$\boldsymbol{y=4x}$；B水果店：$\boldsymbol{y=\begin{cases}5x&(0＜x≤3)\\3.5x+4.5&(x＞3)\end{cases}}$
(2) 当$0＜x＜9$时，选择A超市更合算；当$x=9$时，两家付款金额相同；当$x＞9$时，选择B水果店更合算。
(3) $\boldsymbol{3.6}$元/千克
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生活消费场景，综合考查了分段函数建立、方案优化比较、利润类一元二次方程求解，解题时需注意结合实际意义取舍方程的根，能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) A超市售价固定，付款金额直接用“单价×购买量”即可得到函数式；B水果店为分段计价，3千克以内按原价计算，超过3千克的部分可结合表格数据用待定系数法求对应一次函数表达式。
(2) 比较两家的付款金额大小，需分“购买量不超过3千克”和“购买量超过3千克”两种情况讨论，通过列不等式、方程分别求解不同购买量下的最优选择。
(3) 销售利润=每千克利润×总销售量，设售价为m元/千克，先根据降价和销量的关系表示出总销量，再结合利润为168元列一元二次方程求解，最后根据“减少库存”的要求舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) A超市：西瓜售价为4元/千克，因此付款金额y(元)与购买量x(千克)的函数表达式为：$\boldsymbol{y=4x}$。
B水果店：
①当$0＜x≤3$时，售价为5元/千克，因此$y=5x$；
②当$x＞3$时，设函数表达式为$y=kx+b$，将表格中$x=4,y=18.5$和$x=5,y=22$代入得：
$\begin{cases}4k+b=18.5\\5k+b=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=3.5\\b=4.5\end{cases}$，因此此时$y=3.5x+4.5$。
综上，B水果店的函数表达式为：$\boldsymbol{y=\begin{cases}5x&(0＜x≤3)\\3.5x+4.5&(x＞3)\end{cases}}$。
(2) 分情况讨论：
①当$0＜x≤3$时，A超市付款$y=4x$，B水果店付款$y=5x$，显然$4x＜5x$，因此此时选择A超市更合算；
②当$x＞3$时：
若$4x ＜ 3.5x+4.5$，解得$x＜9$，即$3＜x＜9$时，选择A超市更合算；
若$4x = 3.5x+4.5$，解得$x=9$，即$x=9$时，两家付款金额相同；
若$4x ＞ 3.5x+4.5$，解得$x＞9$，即$x＞9$时，选择B水果店更合算。
(3) 设售价定为m元/千克，
每千克利润为$(m-3)$元，销售单价降低了$(4-m)$元，总销量为$200+20×\frac{4-m}{0.1}=200+200(4-m)$千克。
根据总利润为168元列方程：
$(m-3)[200+200(4-m)]=168$
整理得$25m^2-200m+396=0$，
解得$m_1=3.6$，$m_2=4.4$。
因为要降价减少库存，因此$m＜4$，舍去$m=4.4$，得$m=3.6$。
【答案】
(1) A超市：$\boldsymbol{y=4x}$；B水果店：$\boldsymbol{y=\begin{cases}5x&(0＜x≤3)\\3.5x+4.5&(x＞3)\end{cases}}$
(2) 当$0＜x＜9$时，选择A超市更合算；当$x=9$时，两家付款金额相同；当$x＞9$时，选择B水果店更合算。
(3) $\boldsymbol{3.6}$元/千克
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生活消费场景，综合考查了分段函数建立、方案优化比较、利润类一元二次方程求解，解题时需注意结合实际意义取舍方程的根，能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
