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2. 九年级课外小组计划用两块长为100 cm，宽为40 cm的长方形硬纸板做个收纳盒.
善思组:把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒(如图①).
问题解决:(1)若该收纳盒的底面积为1600 cm²,设剪去的小正方形的边长为x cm,则可列出方程:
博学组:把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒(如图②).
问题解决:(2)若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分,该收纳盒的底面积为608 cm².设收纳盒的高为a厘米,则收纳盒底面的长为
问题解决:(3)按照博学组的剪法,可不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入(立放或者平放),说明理由.
善思组:把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒(如图①).
问题解决:(1)若该收纳盒的底面积为1600 cm²,设剪去的小正方形的边长为x cm,则可列出方程:
(100-2x)(40-2x)=1600
,求得剪去的小正方形的边长为10
cm.博学组:把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒(如图②).
问题解决:(2)若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分,该收纳盒的底面积为608 cm².设收纳盒的高为a厘米,则收纳盒底面的长为
(50-a)
cm,宽为(40-2a)
cm(用含a的代数式表示),则可列方程为:(50-a)(40-2a)=608
,若有一个玩具机械狗,其尺寸大小如图③所示,请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒,并说明理由.问题解决:(3)按照博学组的剪法,可不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入(立放或者平放),说明理由.
答案
2.(1)(100-2x)(40-2x)=1600 10
(2)解:(50-a) (40-2a) (50-a)(40-2a)=608
否 理由如下:$(50-a)(40-2a)=608$,整理,得$a^2-70a+696=0$,
解得$a_1=12,a_2=58＞50$(不符合题意,舍去),
∴收纳盒的高为12 cm,
∵12＜18,
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.
(3)解:玩具机械狗不可以完全放入该收纳盒,理由:
设剪去小长方形的宽为x cm,则折成长方体盒子高为x cm,即LH=GK=x cm,长方体盒子的宽为HG=(40-2x)cm,
当x=18时,2x=36,
∴HG=40-36=4＜15,当x=15时,HG=40-30=10＜18,综上,玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.
(2)解:(50-a) (40-2a) (50-a)(40-2a)=608
否 理由如下:$(50-a)(40-2a)=608$,整理,得$a^2-70a+696=0$,
解得$a_1=12,a_2=58＞50$(不符合题意,舍去),
∴收纳盒的高为12 cm,
∵12＜18,
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.
(3)解:玩具机械狗不可以完全放入该收纳盒,理由:
设剪去小长方形的宽为x cm,则折成长方体盒子高为x cm,即LH=GK=x cm,长方体盒子的宽为HG=(40-2x)cm,
当x=18时,2x=36,
∴HG=40-36=4＜15,当x=15时,HG=40-30=10＜18,综上,玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先明确无盖长方体底面的长宽：硬纸板原长100cm、宽40cm，四角剪去边长为x cm的小正方形后，折成的收纳盒底面长为(100-2x)cm，宽为(40-2x)cm，根据“底面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际边长要求的根即可得到小正方形边长。
(2) 求解第二问时，有盖收纳盒折叠后，原长100cm平均分为2份，减去高a后得到底面长为(50-a)cm；原宽40cm减去上下两个高a后得到底面宽为(40-2a)cm，结合底面积608cm²列方程，求解得到高a的值，再和机械狗高度18cm比较即可判断能否立放。
(3) 求解第三问时，分类讨论机械狗立放、平放两种情况，分别计算对应收纳盒的边长，判断是否满足机械狗的尺寸要求，两种情况均不满足则无法放入。
【解析】
(1) 由题意得收纳盒底面长为(100-2x)cm，宽为(40-2x)cm，列方程：
$\boldsymbol{(100-2x)(40-2x)=1600}$
整理得$x^2-70x+600=0$，因式分解得$(x-10)(x-60)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=60$。
当$x=60$时，$40-2x=-80＜0$，不符合实际舍去，故$x=10$。
(2) 折叠后收纳盒底面长为$\frac{100}{2}-a=\boldsymbol{(50-a)}$cm，宽为$\boldsymbol{(40-2a)}$cm，根据底面积列方程：
$\boldsymbol{(50-a)(40-2a)=608}$
整理得$a^2-70a+696=0$，解得$a_1=12$，$a_2=58$。当$a=58$时，$40-2a=-76＜0$，不符合题意舍去，故收纳盒高为12cm。
∵$12＜18$，
∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒。
(3) 不可以完全放入，理由如下：
设剪去的小长方形的宽为$x$ cm，即收纳盒的高为$x$ cm，则收纳盒底面的宽为$(40-2x)$cm：
① 若立放，取$x=18$cm，此时底面宽为$40-2×18=4$cm$＜15$cm，不满足机械狗宽度要求；
② 若平放，取$x=15$cm，此时底面宽为$40-2×15=10$cm$＜18$cm，不满足机械狗高度要求。
综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒。
【答案】
(1) $(100-2x)(40-2x)=1600$；$10$
(2) $(50-a)$；$(40-2a)$；$(50-a)(40-2a)=608$；不能
(3) 不可以
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体展开与折叠，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际制作收纳盒的场景，将几何折叠问题和一元二次方程应用相结合，解题时需要注意结合实际情况舍去不符合边长要求的根，同时考查分类讨论思想，能够锻炼数形结合解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先明确无盖长方体底面的长宽：硬纸板原长100cm、宽40cm，四角剪去边长为x cm的小正方形后，折成的收纳盒底面长为(100-2x)cm，宽为(40-2x)cm，根据“底面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际边长要求的根即可得到小正方形边长。
(2) 求解第二问时，有盖收纳盒折叠后，原长100cm平均分为2份，减去高a后得到底面长为(50-a)cm；原宽40cm减去上下两个高a后得到底面宽为(40-2a)cm，结合底面积608cm²列方程，求解得到高a的值，再和机械狗高度18cm比较即可判断能否立放。
(3) 求解第三问时，分类讨论机械狗立放、平放两种情况，分别计算对应收纳盒的边长，判断是否满足机械狗的尺寸要求，两种情况均不满足则无法放入。
【解析】
(1) 由题意得收纳盒底面长为(100-2x)cm，宽为(40-2x)cm，列方程：
$\boldsymbol{(100-2x)(40-2x)=1600}$
整理得$x^2-70x+600=0$，因式分解得$(x-10)(x-60)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=60$。
当$x=60$时，$40-2x=-80＜0$，不符合实际舍去，故$x=10$。
(2) 折叠后收纳盒底面长为$\frac{100}{2}-a=\boldsymbol{(50-a)}$cm，宽为$\boldsymbol{(40-2a)}$cm，根据底面积列方程：
$\boldsymbol{(50-a)(40-2a)=608}$
整理得$a^2-70a+696=0$，解得$a_1=12$，$a_2=58$。当$a=58$时，$40-2a=-76＜0$，不符合题意舍去，故收纳盒高为12cm。
∵$12＜18$，
∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒。
(3) 不可以完全放入，理由如下：
设剪去的小长方形的宽为$x$ cm，即收纳盒的高为$x$ cm，则收纳盒底面的宽为$(40-2x)$cm：
① 若立放，取$x=18$cm，此时底面宽为$40-2×18=4$cm$＜15$cm，不满足机械狗宽度要求；
② 若平放，取$x=15$cm，此时底面宽为$40-2×15=10$cm$＜18$cm，不满足机械狗高度要求。
综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒。
【答案】
(1) $(100-2x)(40-2x)=1600$；$10$
(2) $(50-a)$；$(40-2a)$；$(50-a)(40-2a)=608$；不能
(3) 不可以
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体展开与折叠，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际制作收纳盒的场景，将几何折叠问题和一元二次方程应用相结合，解题时需要注意结合实际情况舍去不符合边长要求的根，同时考查分类讨论思想，能够锻炼数形结合解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
