1.(2025·苏州期末)下列方程中,一定是一元二次方程的是 （）

A.$x^2 + y = 1$
B.$x^2 - \frac{1}{x} = 1$
C.$x^2 - 2 = 0$
D.$x^2 + x = x^2 + 1$

1.C

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们逐一对照这三个条件排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。我们逐个分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：方程分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C选项：方程只含有x一个未知数，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
D选项：将方程整理后可得$x - 1 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式与分式方程区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判定条件，注意判断前需先将方程化简为一般形式，同时要区分整式方程和分式方程，避免误选。
【难度系数】
0.9

2.将一元二次方程$2x^2 - 3x +1=0$化为$(x+a)^2 =b$的形式，正确的是（）

A.$(x-\dfrac{3}{2})^2=16$
B.$2(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
C.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$

2.C

【分析】
本题要求将一元二次方程化为$(x+a)^2=b$的形式，需使用配方法求解，解题思路如下：第一步先将常数项移到方程等号右侧，第二步将二次项系数化为1，第三步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数即可得到目标形式，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 3x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 - 3x = -1$
2. 两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = -\dfrac{1}{2}$
3. 配方：两边同时加上一次项系数$-\dfrac{3}{2}$的一半的平方，即$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
4. 左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{16}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其注意配方前需先将二次项系数化为1，配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8

3.(2025·扬州一模)已知关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$.若$(x_1+1)·(x_2+1)=3$,则$m$的值为（）

A.$-3$
B.$1$
C.$-3$或$1$
D.$-1$或$3$

3.A

【分析】
本题需结合一元二次方程有实根的前提和根与系数的关系解题：第一步，先根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出参数m的取值范围；第二步，利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于m的表达式；第三步，将给定的等式$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得到关于m的方程，解方程得到m的候选值；第四步，将候选值代入判别式的取值范围验证，舍去不符合条件的解，得到最终m的值。
【解析】
∵ 方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$
∴ 根的判别式$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开化简得：$4m^2 -4m +1 -4m^2 ≥ 0$，即$-4m +1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入上述根与系数的表达式：
$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$
化简得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m = -3$ 或 $m = 1$
结合之前得到的$m ≤ \frac{1}{4}$的取值范围，$m=1$不符合要求，舍去，故$m=-3$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题，易错点是容易忽略方程有两个实数根的前提条件，未用判别式验证m的取值范围，误选C选项，解题时要注意先确定参数的合法范围，再结合已知条件求解。
【难度系数】
0.6

4.(2025·苏州高新区期末)如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2000，那么方程$a(x+1)^2+b(x+1)=5$必有一个根为。

4.1999

【分析】
解题时先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先观察两个方程的结构，将第二个方程移项可得$a(x+1)^2 + b(x+1) - 5 = 0$，与已知的方程$ax^2+bx-5=0$结构完全一致，因此可以将$(x+1)$看作整体，对应第一个方程的未知数$x$。已知第一个方程有一个根为2000，即当整体等于2000时等式成立，由此即可求出第二个方程对应的根。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2000
$\therefore$ 把$x=2000$代入方程得：$a×2000^2 + b×2000 - 5 = 0$，即$a×2000^2 + b×2000 = 5$
将方程$a(x+1)^2 + b(x+1) = 5$与上式对比可知，当$x+1 = 2000$时，方程左边$=a×2000^2 + b×2000 = 5$，刚好等于右边，满足方程
解得$x = 2000 - 1 = 1999$
$\therefore$ 方程$a(x+1)^2 + b(x+1) = 5$必有一个根为1999
【答案】
1999
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，整体思想
【点评】
本题侧重考查学生对一元二次方程根的定义的灵活运用能力，通过整体换元的思路无需展开计算即可快速得到答案，是解决同结构方程求根问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

5.(2025·南通如皋期末)设$m,n$分别为方程$x^2 + 2x - 2025 = 0$的两个实数根，则$m^2 - 3m -5n =$.

5.2035

【分析】
解题思路可分为三步：①利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到m²的表达式，实现降次，消去所求代数式中的二次项；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和m+n的值；③将变形后的代数式整体代入计算，即可得到结果，不需要直接求解m、n的具体值，简化运算。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^2 + 2x - 2025 = 0$的实数根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 2m - 2025 = 0$，即$m^2 = -2m + 2025$。
将$m^2 = -2m + 2025$代入$m^2 - 3m -5n$，可得：
$\begin{aligned}m^2 - 3m -5n&= -2m + 2025 -3m -5n\\&=2025 -5m -5n\\&=2025 -5(m+n)\end{aligned}$
又
∵ m、n是方程$x^2 + 2x - 2025 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，得：
$m+n = -\frac{2}{1} = -2$
将$m+n=-2$代入上式：
$2025 -5×(-2) = 2025 +10 = 2035$
【答案】
2035
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式整体求值
【点评】
本题核心考查降次思想和整体代入思想的应用，无需直接求解方程的根即可快速计算代数式的值，是一元二次方程章节的典型基础题型，熟练掌握根的定义和韦达定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6.代数式$m^2 + 6m + 10$的最小值为。

6.1

【分析】
要求代数式$m^2 + 6m + 10$的最小值，可利用配方法将二次三项式转化为“完全平方+常数”的形式，结合任意实数的平方具有非负性（即平方数≥0），当完全平方部分取0时，整个代数式就能取得最小值，最小值即为常数部分的值。
【解析】
对代数式进行配方：
$m^2 + 6m + 10$
$=m^2 + 6m + 9 + 1$
$=(m + 3)^2 + 1$
∵ 对于任意实数m，都有$(m + 3)^2 ≥ 0$，
∴ 当$(m + 3)^2 = 0$（即$m=-3$）时，$(m + 3)^2 + 1$取得最小值，
最小值为$0 + 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；偶次方的非负性
【点评】
本题考查二次式最值的求解，核心方法是配方法，解题关键是将原式正确配方为完全平方加常数的形式，再结合平方的非负性确定最值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(3-x)^2=5$；
(2)$x^2+2\sqrt{3}x+3=0$；
(3)$x(x-1)=3-3x$。

7.解:(1)原方程可变形为$(x-3)^2=5$,
即$x-3=\pm\sqrt{5},\therefore x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$.
(2)原方程可变形为$(x+\sqrt{3})^2=0,\therefore x_1=x_2=-\sqrt{3}$.
(3)原方程可变形为$x(x-1)+3(x-1)=0$,
即$(x-1)·(x+3)=0,\therefore x-1=0$或$x+3=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=-3$.

【分析】
解一元二次方程时要先观察方程特征，选择最简便的解法：(1)题左边是完全平方式，右边为正的常数，适合用直接开平方法，先将左边变形为$(x-3)^2$的形式，再开平方求解；(2)题左边符合完全平方公式的结构，可利用完全平方公式因式分解后求解；(3)题左右两边存在公因式$(x-1)$，可通过移项提取公因式，用因式分解法求解，无需展开化简，计算更简便。
【解析】
(1) 原方程可变形为$(x-3)^2=5$，
直接开平方得$x-3=\pm\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$。
(2) 原方程利用完全平方公式变形为$(x+\sqrt{3})^2=0$，
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{3}$。
(3) 原方程移项得$x(x-1)+3(x-1)=0$，
提取公因式得$(x-1)(x+3)=0$，
$\therefore x-1=0$或$x+3=0$，
$\therefore x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$；
(2) $x_1=x_2=-\sqrt{3}$；
(3) $x_1=1,x_2=-3$。
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需根据方程的结构特征灵活选择合适的解法，可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85

8.已知关于$x$的方程$x^2-(2k+1)x+4(k-\frac{1}{2})=0.$
(1)求证:无论$k$取何值,此方程总有实数根;
(2)若$x=1$是这个方程的一个根,求$k$的值和它的另一个根;
(3)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=4$,另外两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长.

8.(1)证明: $\because b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4 × 1 × 4(k-\frac{1}{2})=4(k-\frac{3}{2})^2≥0,\therefore$ 方程有实数根.
即无论$k$取何值,此方程总有实数根.
(2)解:若$x=1$是这个方程的一个根,
则$1-(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$,解得$k=1$,
$\therefore$ 关于$x$的方程为$x^2-3x+2=0$,解得$x_1=1,x_2=2$,
$\therefore$ 方程的另一个根是$x=2$.
(3)解:当$a$为底边长时,$b,c$为腰长,且$b=c$,则
$4(k-\frac{3}{2})^2=0$,解得$k=\frac{3}{2}$.
此时原方程化为$x^2-4x+4=0$,
解得$x_1=x_2=2$,即$b=c=2$.
此时三边长分别为4,2,2,不能构成三角形;
当$a,b$为腰长时,$c$为底边长,或$a,c$为腰长,$b$为底边长,此时$x=4$是方程的根,
即$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$,解得$k=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 关于$x$的方程为$x^2-6x+8=0$,
解得$x_1=2,x_2=4,\therefore c=2$或$b=2$,
$\therefore$ 等腰三角形$ABC$的周长为$4+4+2=10$.

【分析】
(1)要证明无论k取何值一元二次方程总有实数根，只需计算根的判别式$\Delta$，证明$\Delta ≥ 0$恒成立即可：先确定方程各项系数，代入判别式公式化简，通过配方判断其非负性。
(2)已知x=1是方程的根，将x=1代入原方程即可得到关于k的一元一次方程，解出k后代回原方程，求解一元二次方程就能得到另一个根。
(3)等腰三角形的边分为腰和底，需分类讨论：①若a=4为底边长，则b=c，说明方程有两个相等实根，即$\Delta=0$，求出k后解方程得到b、c的值，再验证是否满足三角形三边关系；②若a=4为腰长，则4是方程的一个根，代入方程求出k，再解方程得到另一个根，验证三边关系后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：一元二次方程$x^2-(2k+1)x+4(k-\frac{1}{2})=0$中，$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=4(k-\frac{1}{2})$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4 × 1 × 4(k-\frac{1}{2})$
$=4k^2+4k+1-16k+8$
$=4k^2-12k+9$
$=4(k-\frac{3}{2})^2$，
∵平方具有非负性，
∴$4(k-\frac{3}{2})^2 ≥ 0$，
∴无论k取何值，此方程总有实数根。
(2)解：把$x=1$代入原方程，得：
$1-(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，
整理得$2k-2=0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得$x^2-3x+2=0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，
∴方程的另一个根是$x=2$。
(3)解：分两种情况讨论：
①当$a=4$为底边长时，$b、c$为腰长，即$b=c$，此时方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=4(k-\frac{3}{2})^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$，
此时原方程为$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$，
∵$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去；
②当$a=4$为腰长时，$x=4$是方程的一个根，将$x=4$代入原方程得：
$16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$，
整理得$-4k+10=0$，解得$k=\frac{5}{2}$，
此时原方程为$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，
∴三角形三边长为4、4、2，满足三角形三边关系，
周长为$4+4+2=10$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$k=1$，另一个根为$2$；
(3)等腰三角形的周长为$10$。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的解法
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时要注意等腰三角形边长的两种可能性，同时求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6