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9.某旅行社推出嘉兴南湖红色旅游的收费标准如下:如果组团人数不超过30,人均收费800元；如果人数超过30,那么每增加1人,人均收费降低10元,但人均收费不得低于500元.某公司想分批组织员工到嘉兴南湖红色旅游学习.
(1)如果第一批组织40人去学习,那么该公司应向旅行社交费
(2)如果该公司计划用29250元组织第一批员工去学习,问这次旅游学习应安排多少人参加？
(1)如果第一批组织40人去学习,那么该公司应向旅行社交费
28000
元；(2)如果该公司计划用29250元组织第一批员工去学习,问这次旅游学习应安排多少人参加？
答案
9.(1)28000
(2)解:$\because 30× 800=24000＜29250,\therefore x＞30$.
设这次旅游学习应安排$x$人参加.
根据题意,得$[800-10(x-30)]x=29250$,
整理,得$x^2-110x+2925=0$,
解得$x_1=45,x_2=65$(不合题意,舍去).
答:这次旅游学习应安排45人参加.
(2)解:$\because 30× 800=24000＜29250,\therefore x＞30$.
设这次旅游学习应安排$x$人参加.
根据题意,得$[800-10(x-30)]x=29250$,
整理,得$x^2-110x+2925=0$,
解得$x_1=45,x_2=65$(不合题意,舍去).
答:这次旅游学习应安排45人参加.
解析
【分析】
（1）先判断第一批40人超过30人的基础人数，首先计算超员部分对应的人均降价金额，得到实际人均收费后，用总人数乘人均收费即可得到总交费金额。
（2）首先计算30人参加的总费用，对比29250元可判断人数超过30人；再计算人均收费刚好为500元时的总人数和对应总费用，对比29250元可判断人数小于60人，符合阶梯降价的收费规则。设人数为x，根据“总费用=人均费用×人数”列一元二次方程求解，最后检验解得的根是否符合人均收费不低于500元的限制，舍去不合题意的根即可。
【解析】
（1）
∵40＞30，
∴人均收费为：$800 - 10×(40-30)=700$（元），
总交费金额为：$40×700=28000$（元）。
（2）解：
∵30人参加的总费用为$30×800=24000＜29250$，
∴参加人数$x＞30$。
当人均收费恰好为500元时，对应人数为：$30 + (800-500)÷10=60$（人），此时总费用为$60×500=30000＞29250$，因此$x＜60$，人均收费为$800-10(x-30)$元。
设这次旅游学习应安排$x$人参加，根据题意列方程：
$x[800-10(x-30)]=29250$
整理得：$x^2-110x+2925=0$
解得：$x_1=45$，$x_2=65$
∵65＞60，此时人均收费低于500元，不符合收费标准，舍去，
∴$x=45$。
【答案】
（1）28000；（2）45人
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际生活中的收费场景出题，解题核心是先明确人数对应的收费区间，再根据等量关系列方程求解，易错点是忽略人均收费的下限要求，忘记对求解出的根进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
（1）先判断第一批40人超过30人的基础人数，首先计算超员部分对应的人均降价金额，得到实际人均收费后，用总人数乘人均收费即可得到总交费金额。
（2）首先计算30人参加的总费用，对比29250元可判断人数超过30人；再计算人均收费刚好为500元时的总人数和对应总费用，对比29250元可判断人数小于60人，符合阶梯降价的收费规则。设人数为x，根据“总费用=人均费用×人数”列一元二次方程求解，最后检验解得的根是否符合人均收费不低于500元的限制，舍去不合题意的根即可。
【解析】
（1）
∵40＞30，
∴人均收费为：$800 - 10×(40-30)=700$（元），
总交费金额为：$40×700=28000$（元）。
（2）解：
∵30人参加的总费用为$30×800=24000＜29250$，
∴参加人数$x＞30$。
当人均收费恰好为500元时，对应人数为：$30 + (800-500)÷10=60$（人），此时总费用为$60×500=30000＞29250$，因此$x＜60$，人均收费为$800-10(x-30)$元。
设这次旅游学习应安排$x$人参加，根据题意列方程：
$x[800-10(x-30)]=29250$
整理得：$x^2-110x+2925=0$
解得：$x_1=45$，$x_2=65$
∵65＞60，此时人均收费低于500元，不符合收费标准，舍去，
∴$x=45$。
【答案】
（1）28000；（2）45人
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际生活中的收费场景出题，解题核心是先明确人数对应的收费区间，再根据等量关系列方程求解，易错点是忽略人均收费的下限要求，忘记对求解出的根进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
10.(苏州期中)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$移动,速度为$1\ \mathrm{cm/s}$;点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$移动,速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.
(1)几秒后,$PQ$的长度为$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$?
(2)几秒后,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$?
(3)$△ PBQ$的面积能否为$14\ \mathrm{cm}^2$? 请说明理由.
(1)几秒后,$PQ$的长度为$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$?
(2)几秒后,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$?
(3)$△ PBQ$的面积能否为$14\ \mathrm{cm}^2$? 请说明理由.
答案
10.解:(1)设点$P,Q$运动的时间为$t$ s,则$AP=t$ cm,$BP=(6-t)$ cm,$BQ=2t$ cm.
根据勾股定理,得$BP^2+BQ^2=PQ^2=(3\sqrt{5})^2=45$,
即$(6-t)^2+(2t)^2=45$,解得$t_1=3,t_2=-\frac{3}{5}$(舍去).
故3 s后,$PQ$的长度为$3\sqrt{5}$ cm.
(2)由$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ=8$,
得$\frac{1}{2}(6-t)· 2t=8$,解得$t_1=2,t_2=4$.
故2 s或4 s后,$△ PBQ$的面积为8 $\mathrm{cm}^2$.
(3)不能.理由如下:
当$S_{△ PBQ}=14\ \mathrm{cm}^2$时,$\frac{1}{2}BP· BQ=14$,
即$\frac{1}{2}(6-t)· 2t=14$,整理,得$t^2-6t+14=0$,
$\because b^2-4ac=(-6)^2-4×14=-20＜0,\therefore$ 方程无解,
故$△ PBQ$的面积不可能是14 $\mathrm{cm}^2$.
根据勾股定理,得$BP^2+BQ^2=PQ^2=(3\sqrt{5})^2=45$,
即$(6-t)^2+(2t)^2=45$,解得$t_1=3,t_2=-\frac{3}{5}$(舍去).
故3 s后,$PQ$的长度为$3\sqrt{5}$ cm.
(2)由$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ=8$,
得$\frac{1}{2}(6-t)· 2t=8$,解得$t_1=2,t_2=4$.
故2 s或4 s后,$△ PBQ$的面积为8 $\mathrm{cm}^2$.
(3)不能.理由如下:
当$S_{△ PBQ}=14\ \mathrm{cm}^2$时,$\frac{1}{2}BP· BQ=14$,
即$\frac{1}{2}(6-t)· 2t=14$,整理,得$t^2-6t+14=0$,
$\because b^2-4ac=(-6)^2-4×14=-20＜0,\therefore$ 方程无解,
故$△ PBQ$的面积不可能是14 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
这是动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：①先设运动时间为t秒，根据P、Q的运动速度，用含t的代数式表示出BP、BQ的长度，同时明确t的取值范围：P到B需6s，Q到C需5s，故0≤t≤5。②第(1)问求PQ长度，由于∠B是直角，△PBQ为直角三角形，利用勾股定理列关于t的方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。③第(2)问求△PBQ的面积，根据直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半），代入BP、BQ的表达式列方程，解出t后验证是否在取值范围内。④第(3)问判断面积能否为14cm²，先列面积方程，整理为一元二次方程一般形式后计算根的判别式，若判别式小于0则方程无实根，即不存在符合条件的t。
【解析】
设点P、Q运动的时间为t s，由题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BP=(6-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤5$。
(1) 在$Rt△PBQ$中，根据勾股定理：$BP^2+BQ^2=PQ^2$
代入$PQ=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$得：$(6-t)^2+(2t)^2=(3\sqrt{5})^2$
整理得：$5t^2-12t-9=0$
解得：$t_1=3$，$t_2=-\frac{3}{5}$（不符合实际，舍去）
(2) 由直角三角形面积公式得$S_{△PBQ}=\frac{1}{2}·BP·BQ$，令$S=8\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}(6-t)·2t=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足$0≤t≤5$，符合题意。
(3) 不能，理由如下：
令$S_{△PBQ}=14\ \mathrm{cm}^2$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}(6-t)·2t=14$
整理得：$t^2-6t+14=0$
根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$，该方程无实数根，因此不存在符合条件的t。
【答案】
(1) 3 s；
(2) 2 s或4 s；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题是动点问题与一元二次方程结合的典型题型，核心是将动态问题转化为静态代数方程问题，用时间t表示相关线段长度后结合几何性质列方程求解，需注意检验方程的解是否符合实际运动的取值范围，存在性问题可通过一元二次方程根的判别式分析。
【难度系数】
0.6
这是动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：①先设运动时间为t秒，根据P、Q的运动速度，用含t的代数式表示出BP、BQ的长度，同时明确t的取值范围：P到B需6s，Q到C需5s，故0≤t≤5。②第(1)问求PQ长度，由于∠B是直角，△PBQ为直角三角形，利用勾股定理列关于t的方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。③第(2)问求△PBQ的面积，根据直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半），代入BP、BQ的表达式列方程，解出t后验证是否在取值范围内。④第(3)问判断面积能否为14cm²，先列面积方程，整理为一元二次方程一般形式后计算根的判别式，若判别式小于0则方程无实根，即不存在符合条件的t。
【解析】
设点P、Q运动的时间为t s，由题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BP=(6-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤5$。
(1) 在$Rt△PBQ$中，根据勾股定理：$BP^2+BQ^2=PQ^2$
代入$PQ=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$得：$(6-t)^2+(2t)^2=(3\sqrt{5})^2$
整理得：$5t^2-12t-9=0$
解得：$t_1=3$，$t_2=-\frac{3}{5}$（不符合实际，舍去）
(2) 由直角三角形面积公式得$S_{△PBQ}=\frac{1}{2}·BP·BQ$，令$S=8\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}(6-t)·2t=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足$0≤t≤5$，符合题意。
(3) 不能，理由如下：
令$S_{△PBQ}=14\ \mathrm{cm}^2$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}(6-t)·2t=14$
整理得：$t^2-6t+14=0$
根的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$，该方程无实数根，因此不存在符合条件的t。
【答案】
(1) 3 s；
(2) 2 s或4 s；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题是动点问题与一元二次方程结合的典型题型，核心是将动态问题转化为静态代数方程问题，用时间t表示相关线段长度后结合几何性质列方程求解，需注意检验方程的解是否符合实际运动的取值范围，存在性问题可通过一元二次方程根的判别式分析。
【难度系数】
0.6
