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1. 新情境如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面(看作一条直线)的位置关系是（
A.相交
B.相切
C.相离
D.包含
A
）A.相交
B.相切
C.相离
D.包含
答案
1.A
解析
【分析】
首先回忆直线与圆三种位置关系的判定标准：可通过公共点的个数区分，没有公共点为相离，仅有1个公共点为相切，有2个公共点为相交。再结合题目情境分析，漏气瘪掉的轮胎外轮廓作为圆，和作为直线的地面接触的区域有一定长度，说明二者存在2个公共点，对应相交的位置关系，即可得到正确选项。
【解析】
直线与圆的位置关系及判定如下：
1. 相离：直线和圆没有公共点；
2. 相切：直线和圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线和圆有2个公共点。
本题中瘪掉的轮胎外轮廓（圆）与地面（直线）有2个公共点，满足相交的特征，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实际考查基础知识点，解题关键是掌握直线与圆三种位置关系的区别，题目形式灵活，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先回忆直线与圆三种位置关系的判定标准：可通过公共点的个数区分，没有公共点为相离，仅有1个公共点为相切，有2个公共点为相交。再结合题目情境分析，漏气瘪掉的轮胎外轮廓作为圆，和作为直线的地面接触的区域有一定长度，说明二者存在2个公共点，对应相交的位置关系，即可得到正确选项。
【解析】
直线与圆的位置关系及判定如下：
1. 相离：直线和圆没有公共点；
2. 相切：直线和圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线和圆有2个公共点。
本题中瘪掉的轮胎外轮廓（圆）与地面（直线）有2个公共点，满足相交的特征，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活实际考查基础知识点，解题关键是掌握直线与圆三种位置关系的区别，题目形式灵活，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.(2025·镇江一模)在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（
A.$a≥2b$
B.$a＞2b$
C.$a＞b$
D.$a≥ b$
A
）A.$a≥2b$
B.$a＞2b$
C.$a＞b$
D.$a≥ b$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先明确本题需结合直线与圆的位置关系求解：第一步先确定圆的核心要素，AB为直径，因此圆心是AB的中点，半径为AB长度的一半即$\frac{a}{2}$；第二步找圆心到CD的距离，利用矩形对边平行的性质，可知AB与CD的距离等于BC的长度$b$，也就是圆心到CD的距离为$b$；第三步根据“圆与直线有交点（含相交、相切两种情况）时，圆心到直线的距离≤半径”的判定规则列不等式，整理即可得到$a$和$b$的关系。
【解析】
设AB的中点为O，则O是以AB为直径的圆的圆心，圆的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，圆心O到边CD的距离等于BC的长度，即$d=b$。
∵圆与边CD有交点，说明直线CD与圆相交或相切，
∴满足$d≤r$，代入得$b≤\frac{a}{2}$，
不等式两边同乘2，整理得$a≥2b$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系；2. 矩形的性质
【点评】
本题结合矩形性质考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是准确提取圆心到直线的距离、圆的半径两个核心量，结合位置关系对应的数量规则列不等式求解，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确本题需结合直线与圆的位置关系求解：第一步先确定圆的核心要素，AB为直径，因此圆心是AB的中点，半径为AB长度的一半即$\frac{a}{2}$；第二步找圆心到CD的距离，利用矩形对边平行的性质，可知AB与CD的距离等于BC的长度$b$，也就是圆心到CD的距离为$b$；第三步根据“圆与直线有交点（含相交、相切两种情况）时，圆心到直线的距离≤半径”的判定规则列不等式，整理即可得到$a$和$b$的关系。
【解析】
设AB的中点为O，则O是以AB为直径的圆的圆心，圆的半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，圆心O到边CD的距离等于BC的长度，即$d=b$。
∵圆与边CD有交点，说明直线CD与圆相交或相切，
∴满足$d≤r$，代入得$b≤\frac{a}{2}$，
不等式两边同乘2，整理得$a≥2b$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系；2. 矩形的性质
【点评】
本题结合矩形性质考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是准确提取圆心到直线的距离、圆的半径两个核心量，结合位置关系对应的数量规则列不等式求解，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
3.如图，∠AOB=90°，P为OA上一点，且OP=2，以点P为圆心作半径为1的⊙P，将⊙P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的⊙P与射线OB的位置关系是
相切
。答案
3.相切
解析
【分析】
要判断旋转后⊙P与射线OB的位置关系，需先求出旋转后圆心到OB的距离，再与圆的半径比较：若距离等于半径则相切，大于半径则相离，小于半径则相交。首先根据旋转的性质确定旋转后圆心的位置及到O点的距离，再利用直角三角形的性质计算圆心到OB的距离即可。
【解析】
设⊙P绕点O顺时针旋转60°后，圆心对应点为P'，过点P'作P'C⊥OB于点C。
由旋转的性质可知：OP'=OP=2，∠POP'=60°。
∵∠AOB=90°，
∴∠P'OC=∠AOB - ∠POP'=90°-60°=30°。
在Rt△P'OC中，∠P'CO=90°，∠P'OC=30°，
∴P'C=½OP'=½×2=1。
∵⊙P'的半径r=1，
∴圆心P'到射线OB的距离等于半径，
∴旋转后的⊙P与射线OB相切。
【答案】
相切
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确直线与圆位置关系的判定方法，结合旋转不变性求出圆心到直线的距离，再与半径作比较即可得出结论，是直线与圆位置关系类的典型考题。
【难度系数】
0.7
要判断旋转后⊙P与射线OB的位置关系，需先求出旋转后圆心到OB的距离，再与圆的半径比较：若距离等于半径则相切，大于半径则相离，小于半径则相交。首先根据旋转的性质确定旋转后圆心的位置及到O点的距离，再利用直角三角形的性质计算圆心到OB的距离即可。
【解析】
设⊙P绕点O顺时针旋转60°后，圆心对应点为P'，过点P'作P'C⊥OB于点C。
由旋转的性质可知：OP'=OP=2，∠POP'=60°。
∵∠AOB=90°，
∴∠P'OC=∠AOB - ∠POP'=90°-60°=30°。
在Rt△P'OC中，∠P'CO=90°，∠P'OC=30°，
∴P'C=½OP'=½×2=1。
∵⊙P'的半径r=1，
∴圆心P'到射线OB的距离等于半径，
∴旋转后的⊙P与射线OB相切。
【答案】
相切
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确直线与圆位置关系的判定方法，结合旋转不变性求出圆心到直线的距离，再与半径作比较即可得出结论，是直线与圆位置关系类的典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,若要以点$C$为圆心,$r$为半径画$\odot C$,根据下列条件,求半径$r$的值或取值范围.
(1)直线$AB$与$\odot C$相离;
(2)直线$AB$与$\odot C$相切;
(3)直线$AB$与$\odot C$相交.
(1)直线$AB$与$\odot C$相离;
(2)直线$AB$与$\odot C$相切;
(3)直线$AB$与$\odot C$相交.
答案
4.解:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴AB=10 cm,
∴$CD=\frac{BC·AC}{AB}=4.8$ cm.
(1)若直线AB与$\odot C$相离,则r的取值范围是0 cm＜$r$＜4.8 cm.
(2)若直线AB与$\odot C$相切,则$r=CD=4.8$ cm.
(3)若直线AB与$\odot C$相交,则r的取值范围是$r＞4.8$ cm.
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离$d$和半径$r$的大小：$d＞r$时直线与圆相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。本题先利用勾股定理计算直角三角形斜边AB的长度，再通过面积法求出斜边上的高$CD$（即$d$），最后结合三种位置关系的判定规则求解$r$的取值或范围即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$于点D：
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算圆心C到AB的距离CD：由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值可得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，即$d=4.8\ \mathrm{cm}$。
3. 分情况判断：
(1) 直线AB与$\odot C$相离时，需满足$r＜d$，结合半径$r＞0$，得$0\ \mathrm{cm}＜r＜4.8\ \mathrm{cm}$；
(2) 直线AB与$\odot C$相切时，需满足$r=d$，得$r=4.8\ \mathrm{cm}$；
(3) 直线AB与$\odot C$相交时，需满足$r＞d$，得$r＞4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
解:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴AB=10 cm,
∴$CD=\frac{BC·AC}{AB}=4.8$ cm.
(1)若直线AB与$\odot C$相离,则r的取值范围是0 cm＜$r$＜4.8 cm.
(2)若直线AB与$\odot C$相切,则$r=CD=4.8$ cm.
(3)若直线AB与$\odot C$相交,则r的取值范围是$r＞4.8$ cm.
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.勾股定理
3.面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是先求出圆心到直线的距离，再结合位置关系对应的数量关系求解，分类讨论时注意半径的取值需大于0。
【难度系数】
0.8
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离$d$和半径$r$的大小：$d＞r$时直线与圆相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。本题先利用勾股定理计算直角三角形斜边AB的长度，再通过面积法求出斜边上的高$CD$（即$d$），最后结合三种位置关系的判定规则求解$r$的取值或范围即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$于点D：
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算圆心C到AB的距离CD：由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值可得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，即$d=4.8\ \mathrm{cm}$。
3. 分情况判断：
(1) 直线AB与$\odot C$相离时，需满足$r＜d$，结合半径$r＞0$，得$0\ \mathrm{cm}＜r＜4.8\ \mathrm{cm}$；
(2) 直线AB与$\odot C$相切时，需满足$r=d$，得$r=4.8\ \mathrm{cm}$；
(3) 直线AB与$\odot C$相交时，需满足$r＞d$，得$r＞4.8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
解:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴AB=10 cm,
∴$CD=\frac{BC·AC}{AB}=4.8$ cm.
(1)若直线AB与$\odot C$相离,则r的取值范围是0 cm＜$r$＜4.8 cm.
(2)若直线AB与$\odot C$相切,则$r=CD=4.8$ cm.
(3)若直线AB与$\odot C$相交,则r的取值范围是$r＞4.8$ cm.
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.勾股定理
3.面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是先求出圆心到直线的距离，再结合位置关系对应的数量关系求解，分类讨论时注意半径的取值需大于0。
【难度系数】
0.8
5.已知平面内有$\odot O$和点$A$，$B$，若$\odot O$的半径为2 cm，线段$OA=3$ cm，$OB=2$ cm，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为（
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
D
）A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
5.D
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心是比较圆心O到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先先明确两点与圆的位置：OA=3cm＞r=2cm，因此点A在圆外；OB=2cm=r，因此点B在圆上，即B是直线AB和$\odot O$的公共点。接下来分类讨论直线AB的位置：若AB垂直于OB，此时O到AB的距离等于OB=r，符合相切的条件；若AB与OB不垂直，根据垂线段最短的性质，O到AB的距离小于OB=r，符合相交的条件，因此两种情况都可能存在。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点$B$在$\odot O$上，即$B$是直线$AB$与$\odot O$的公共点。
分两种情况讨论：
① 当$AB⊥ OB$时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相切；
② 当$AB$与$OB$不垂直时，根据垂线段最短的性质，圆心$O$到直线$AB$的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相交。
综上，直线$AB$与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】D
【知识点】
点与圆的位置关系判定；直线与圆的位置关系判定；垂线段最短
【点评】
本题易因忽略分类讨论错选B或C，解题时要抓住点B在圆上这一关键条件，结合直线与圆位置关系的判定规则分析所有可能情况，即可得到正确结论。
【难度系数】
0.7
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心是比较圆心O到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先先明确两点与圆的位置：OA=3cm＞r=2cm，因此点A在圆外；OB=2cm=r，因此点B在圆上，即B是直线AB和$\odot O$的公共点。接下来分类讨论直线AB的位置：若AB垂直于OB，此时O到AB的距离等于OB=r，符合相切的条件；若AB与OB不垂直，根据垂线段最短的性质，O到AB的距离小于OB=r，符合相交的条件，因此两种情况都可能存在。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点$B$在$\odot O$上，即$B$是直线$AB$与$\odot O$的公共点。
分两种情况讨论：
① 当$AB⊥ OB$时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相切；
② 当$AB$与$OB$不垂直时，根据垂线段最短的性质，圆心$O$到直线$AB$的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相交。
综上，直线$AB$与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】D
【知识点】
点与圆的位置关系判定；直线与圆的位置关系判定；垂线段最短
【点评】
本题易因忽略分类讨论错选B或C，解题时要抓住点B在圆上这一关键条件，结合直线与圆位置关系的判定规则分析所有可能情况，即可得到正确结论。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$的半径$OC=5\ \mathrm{cm}$，直线$l⊥ OC$，垂足为$H$，且$l$交$\odot O$于$A$，$B$两点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$l$沿$OC$所在直线平移后与$\odot O$相切，则平移的距离是
2或8
$\mathrm{cm}.$答案
6.2或8
解析
【分析】
解题时首先利用垂径定理求出弦AB的弦心距OH的长度，再结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，分两种平移方向讨论：直线向点C方向平移、直线向远离点C的方向（过圆心O另一侧）平移，分别计算两种情况下的平移距离即可。
【解析】
连接OA，
∵ OC⊥AB，AB=8cm，
∴ 由垂径定理得$AH=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
直线$l$平移后与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
1. 直线$l$沿$OC$向下平移到与圆在$C$点相切时，平移距离为$OC-OH=5-3=2\ \mathrm{cm}$；
2. 直线$l$沿$OC$向上平移到圆心$O$的上方，与圆相切时，平移距离为$OH+5=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
综上，平移的距离为2或8$\mathrm{cm}$。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，直线与圆相切的性质，平移的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是熟练应用垂径定理和直线与圆相切的性质，注意平移有两种不同方向，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用垂径定理求出弦AB的弦心距OH的长度，再结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，分两种平移方向讨论：直线向点C方向平移、直线向远离点C的方向（过圆心O另一侧）平移，分别计算两种情况下的平移距离即可。
【解析】
连接OA，
∵ OC⊥AB，AB=8cm，
∴ 由垂径定理得$AH=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
直线$l$平移后与$\odot O$相切时，圆心$O$到直线$l$的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
1. 直线$l$沿$OC$向下平移到与圆在$C$点相切时，平移距离为$OC-OH=5-3=2\ \mathrm{cm}$；
2. 直线$l$沿$OC$向上平移到圆心$O$的上方，与圆相切时，平移距离为$OH+5=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
综上，平移的距离为2或8$\mathrm{cm}$。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，直线与圆相切的性质，平移的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是熟练应用垂径定理和直线与圆相切的性质，注意平移有两种不同方向，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
7.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是
$8≤AB≤10$
.答案
7.$8≤AB≤10$
解析
【分析】
要解决弦AB的取值范围问题，首先明确“大圆的弦AB与小圆有公共点”的含义：直线AB与小圆相交或相切，此时圆心O到AB的距离d≤小圆半径3。根据圆的弦长变化规律可知，弦长随圆心到弦的距离增大而减小，因此我们需要分别求出弦AB的最小值和最大值：最小值对应d最大（即d=3，AB与小圆相切）的情况，最大值对应大圆中最长的弦（即直径，此时d=0，显然满足d≤3），结合两种情况即可得到取值范围。
【解析】
1. 求弦AB的最小值：
当AB与小圆相切时，AB为满足条件的最短弦。过点O作OC⊥AB于点C，此时OC等于小圆半径3。
连接OA，OA为大圆半径，长度为5。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
由垂径定理可知，AB=2AC=8。
2. 求弦AB的最大值：
大圆中最长的弦为直径，长度为$2×5=10$，此时AB经过圆心O，与小圆有两个公共点，满足“与小圆有公共点”的条件。
综上，弦AB的取值范围是$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤ AB≤10$
【知识点】
直线与圆的位置关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题核心是将“弦与小圆有公共点”的条件转化为圆心到弦的距离的取值范围，再结合弦长的变化规律求最值，解题时注意端点情况也符合题意，不要漏写等号。
【难度系数】
0.7
要解决弦AB的取值范围问题，首先明确“大圆的弦AB与小圆有公共点”的含义：直线AB与小圆相交或相切，此时圆心O到AB的距离d≤小圆半径3。根据圆的弦长变化规律可知，弦长随圆心到弦的距离增大而减小，因此我们需要分别求出弦AB的最小值和最大值：最小值对应d最大（即d=3，AB与小圆相切）的情况，最大值对应大圆中最长的弦（即直径，此时d=0，显然满足d≤3），结合两种情况即可得到取值范围。
【解析】
1. 求弦AB的最小值：
当AB与小圆相切时，AB为满足条件的最短弦。过点O作OC⊥AB于点C，此时OC等于小圆半径3。
连接OA，OA为大圆半径，长度为5。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
由垂径定理可知，AB=2AC=8。
2. 求弦AB的最大值：
大圆中最长的弦为直径，长度为$2×5=10$，此时AB经过圆心O，与小圆有两个公共点，满足“与小圆有公共点”的条件。
综上，弦AB的取值范围是$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤ AB≤10$
【知识点】
直线与圆的位置关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题核心是将“弦与小圆有公共点”的条件转化为圆心到弦的距离的取值范围，再结合弦长的变化规律求最值，解题时注意端点情况也符合题意，不要漏写等号。
【难度系数】
0.7
