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9.已知P是半径为4的$\odot O$上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的取值范围为
2≤a≤6
。答案
9.2≤a≤6
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. P在⊙O上，⊙O半径为4，可得OP=4；2. Q到P的距离恒为2，可知Q的运动轨迹是以P为圆心、2为半径的圆。要求OQ的取值范围，本质是求定点O到⊙P上任意一点的距离的最值，根据几何最值规律：当O、P、Q三点共线时，OQ取得最值，最小值为OP减去⊙P的半径，最大值为OP加上⊙P的半径，代入数值计算即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵点P是半径为4的⊙O上一点，
∴OP = 4。
∵点Q到点P的距离为2，
∴点Q在以P为圆心，2为半径的⊙P上。
根据点到圆上各点的距离最值规律：当定点、动圆圆心、圆上点三点共线时，距离取得最值，最小值为定点到动圆圆心的距离减去动圆半径，最大值为定点到动圆圆心的距离加上动圆半径。
因此OQ的最小值为：OP - 2 = 4 - 2 = 2，
OQ的最大值为：OP + 2 = 4 + 2 = 6，
故线段OQ的长度a的取值范围为2≤a≤6。
【答案】
2≤a≤6
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的定义
【点评】
本题是点和圆位置关系的常见应用题型，解题的核心是通过已知条件判断出点Q的运动轨迹，结合三点共线时的距离最值规律求解，掌握相关几何最值结论能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：1. P在⊙O上，⊙O半径为4，可得OP=4；2. Q到P的距离恒为2，可知Q的运动轨迹是以P为圆心、2为半径的圆。要求OQ的取值范围，本质是求定点O到⊙P上任意一点的距离的最值，根据几何最值规律：当O、P、Q三点共线时，OQ取得最值，最小值为OP减去⊙P的半径，最大值为OP加上⊙P的半径，代入数值计算即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵点P是半径为4的⊙O上一点，
∴OP = 4。
∵点Q到点P的距离为2，
∴点Q在以P为圆心，2为半径的⊙P上。
根据点到圆上各点的距离最值规律：当定点、动圆圆心、圆上点三点共线时，距离取得最值，最小值为定点到动圆圆心的距离减去动圆半径，最大值为定点到动圆圆心的距离加上动圆半径。
因此OQ的最小值为：OP - 2 = 4 - 2 = 2，
OQ的最大值为：OP + 2 = 4 + 2 = 6，
故线段OQ的长度a的取值范围为2≤a≤6。
【答案】
2≤a≤6
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的定义
【点评】
本题是点和圆位置关系的常见应用题型，解题的核心是通过已知条件判断出点Q的运动轨迹，结合三点共线时的距离最值规律求解，掌握相关几何最值结论能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
10.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，$D$为$AB$的中点.以$A$为圆心，$r$为半径作$\odot A$，若$B,C,D$三点中只有一点在$\odot A$内，则$\odot A$的半径$r$的取值范围是
2.5＜r≤4
.答案
10.2.5＜r≤4
解析
【分析】
解决本题首先要明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。首先需要计算B、C、D三个点到圆心A的距离，再结合“三点中只有一点在圆内”的条件推导半径r的取值范围。第一步先用勾股定理计算AB的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AD的长度，得到三个点到A的距离后，通过排序分类讨论不同r范围下符合条件的点的数量，最终确定r的取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵D为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2.5$
可得三个点到A的距离分别为：$AD=2.5$，$AC=4$，$AB=5$，从小到大排序为$AD＜AC＜AB$，结合题意分类讨论：
1. 当$r≤2.5$时，三个点到A的距离都≥r，没有点在圆内，不符合要求；
2. 当$2.5＜r≤4$时，仅$AD=2.5＜r$，即只有点D在圆内，点C在圆上或圆外，点B在圆外，符合要求；
3. 当$4＜r≤5$时，$AD=2.5＜r$、$AC=4＜r$，点D和C都在圆内，有2个点在圆内，不符合要求；
4. 当$r＞5$时，三个点都在圆内，不符合要求。
综上，r的取值范围为$2.5＜r≤4$。
【答案】
$2.5＜r≤4$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的实际应用，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合题意分类讨论半径的取值范围，解题时要注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。首先需要计算B、C、D三个点到圆心A的距离，再结合“三点中只有一点在圆内”的条件推导半径r的取值范围。第一步先用勾股定理计算AB的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AD的长度，得到三个点到A的距离后，通过排序分类讨论不同r范围下符合条件的点的数量，最终确定r的取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵D为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AD=\frac{1}{2}AB=2.5$
可得三个点到A的距离分别为：$AD=2.5$，$AC=4$，$AB=5$，从小到大排序为$AD＜AC＜AB$，结合题意分类讨论：
1. 当$r≤2.5$时，三个点到A的距离都≥r，没有点在圆内，不符合要求；
2. 当$2.5＜r≤4$时，仅$AD=2.5＜r$，即只有点D在圆内，点C在圆上或圆外，点B在圆外，符合要求；
3. 当$4＜r≤5$时，$AD=2.5＜r$、$AC=4＜r$，点D和C都在圆内，有2个点在圆内，不符合要求；
4. 当$r＞5$时，三个点都在圆内，不符合要求。
综上，r的取值范围为$2.5＜r≤4$。
【答案】
$2.5＜r≤4$
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的实际应用，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合题意分类讨论半径的取值范围，解题时要注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为(5.5,4)，$\odot A$的半径为2.过点A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.当点P在$\odot A$上时，点P的坐标为
(3.5,4)或(7.5,4)
.答案
11.(3.5,4)或(7.5,4)
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线l平行于x轴且过点A(5.5,4)，因此直线l上所有点的纵坐标都和A点纵坐标相等，可先确定点P的纵坐标为4；再结合点P在⊙A上的条件，可知点P到圆心A的距离等于⊙A的半径2，由于P、A都在水平直线上，两点距离为横坐标差的绝对值，分P在A左侧、右侧两种情况计算横坐标即可。
【解析】
解：
∵直线l平行于x轴，且过点A(5.5,4)，
∴直线l上所有点的纵坐标均为4，即点P的纵坐标为4，设P的坐标为(x,4)。
∵点P在⊙A上，⊙A的半径为2，
∴点P到圆心A的距离等于半径，即$PA=2$。
∵A、P都在平行于x轴的直线上，两点的水平距离等于横坐标差的绝对值，
∴$\vert x - 5.5\vert = 2$，
即$x - 5.5 = 2$或$x - 5.5 = -2$，
解得$x=7.5$或$x=3.5$，
∴点P的坐标为(3.5,4)或(7.5,4)。
【答案】
(3.5,4)或(7.5,4)
【知识点】
平行于x轴的直线上点的坐标特征；点与圆的位置关系；平面直角坐标系两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是先利用平行于x轴的直线的坐标特征确定点P的纵坐标，再结合点在圆上的性质求解横坐标，注意要考虑点在圆心左右两侧的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：直线l平行于x轴且过点A(5.5,4)，因此直线l上所有点的纵坐标都和A点纵坐标相等，可先确定点P的纵坐标为4；再结合点P在⊙A上的条件，可知点P到圆心A的距离等于⊙A的半径2，由于P、A都在水平直线上，两点距离为横坐标差的绝对值，分P在A左侧、右侧两种情况计算横坐标即可。
【解析】
解：
∵直线l平行于x轴，且过点A(5.5,4)，
∴直线l上所有点的纵坐标均为4，即点P的纵坐标为4，设P的坐标为(x,4)。
∵点P在⊙A上，⊙A的半径为2，
∴点P到圆心A的距离等于半径，即$PA=2$。
∵A、P都在平行于x轴的直线上，两点的水平距离等于横坐标差的绝对值，
∴$\vert x - 5.5\vert = 2$，
即$x - 5.5 = 2$或$x - 5.5 = -2$，
解得$x=7.5$或$x=3.5$，
∴点P的坐标为(3.5,4)或(7.5,4)。
【答案】
(3.5,4)或(7.5,4)
【知识点】
平行于x轴的直线上点的坐标特征；点与圆的位置关系；平面直角坐标系两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是先利用平行于x轴的直线的坐标特征确定点P的纵坐标，再结合点在圆上的性质求解横坐标，注意要考虑点在圆心左右两侧的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
12.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,OA=8,点B在x轴上,OB=6.M是平面内的一点,AM=6.将线段AM绕点A按顺时针方向旋转一周,连接BM.取BM的中点N,连接ON,则线段ON长的最大值为
8
.答案
12.8
解析
【分析】
首先确定动点M的轨迹：由AM=6，线段AM绕点A旋转一周，可知点M在以A为圆心、半径为6的圆上。接下来要将所求ON的长度转化为可求的线段：取AB的中点C，利用三角形中位线定理可得CN=1/2AM=3，即动点N到定点C的距离为定值，因此N的轨迹是以C为圆心、半径为3的圆。最后根据点与圆的位置关系，定点O到圆C上点的最大距离为O到圆心C的距离加圆的半径，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求出OC的长度，即可得到ON的最大值。
【解析】
解：在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，∠AOB=90°，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
取AB的中点C，连接OC、CN，
∵C是Rt△AOB斜边AB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=5$。
∵N是BM的中点，C是AB的中点，
∴CN是△ABM的中位线，
∴$CN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×6=3$。
由此可知，点N在以C为圆心，半径为3的圆上运动，
根据点与圆的位置关系，定点O到该圆上点的最大距离为$OC + 半径 = 5+3=8$，
即线段ON长的最大值为8。
【答案】
8
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是通过构造中位线确定动点N的运动轨迹，将动态线段最值问题转化为定点到圆上点的距离最值问题，考查了转化思想和对几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先确定动点M的轨迹：由AM=6，线段AM绕点A旋转一周，可知点M在以A为圆心、半径为6的圆上。接下来要将所求ON的长度转化为可求的线段：取AB的中点C，利用三角形中位线定理可得CN=1/2AM=3，即动点N到定点C的距离为定值，因此N的轨迹是以C为圆心、半径为3的圆。最后根据点与圆的位置关系，定点O到圆C上点的最大距离为O到圆心C的距离加圆的半径，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求出OC的长度，即可得到ON的最大值。
【解析】
解：在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，∠AOB=90°，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
取AB的中点C，连接OC、CN，
∵C是Rt△AOB斜边AB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=5$。
∵N是BM的中点，C是AB的中点，
∴CN是△ABM的中位线，
∴$CN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×6=3$。
由此可知，点N在以C为圆心，半径为3的圆上运动，
根据点与圆的位置关系，定点O到该圆上点的最大距离为$OC + 半径 = 5+3=8$，
即线段ON长的最大值为8。
【答案】
8
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是通过构造中位线确定动点N的运动轨迹，将动态线段最值问题转化为定点到圆上点的距离最值问题，考查了转化思想和对几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
O | B x
13. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,$AE⊥ BC,AF⊥ CD$.
(1)求证:A,E,C,F四点在同一个圆上;
(2)设线段BD与(1)中的圆交于点M,N,求证:$BM=DN$.
13. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,$AE⊥ BC,AF⊥ CD$.
(1)求证:A,E,C,F四点在同一个圆上;
(2)设线段BD与(1)中的圆交于点M,N,求证:$BM=DN$.
答案
13. 证明:(1)如答图,连接AC交BD于点O,连接EO,FO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∴AO=EO=CO=FO=$\frac{1}{2}AC$,
∴A,E,C,F四点在以点O为圆心,$\frac{1}{2}AC$的长为半径的同一个圆上.
(2)由(1)可知,点O为圆心,如答图,当BM＜BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB−OM=OD−ON,
∴BM=DN.
当BM＞BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB+OM=ON+OD,
∴BM=DN.
解析
【分析】
（1）要证明四点共圆，核心是证明四个点到同一个定点的距离相等。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，取AC的中点O，再结合AE⊥BC、AF⊥CD得到两个直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可证A、E、C、F到O的距离都等于AC的一半，即可完成四点共圆的证明。
（2）由（1）可知圆的圆心为O，结合平行四边形对角线互相平分的性质可得OB=OD，再根据同圆的半径相等得到OM=ON，分两种情况讨论BD与圆交点的位置，对OB、OD做加减运算即可推导出BM=DN。
【解析】
(1) 连接AC交BD于点O，连接EO，FO。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，O是斜边AC的中点，
∴AO=EO=CO=FO=$\frac{1}{2}$AC，
∴A、E、C、F四点在以点O为圆心，$\frac{1}{2}$AC的长为半径的同一个圆上。
(2) 由(1)可知点O为该圆的圆心，因此同圆半径OM=ON。
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD。
分两种情况讨论：
①当BM＜BO时，即M靠近点B、N靠近点D：
∵OB−OM=OD−ON，
∴BM=DN。
②当BM＞BO时，即M靠近点D、N靠近点B：
∵OB+OM=ON+OD，
∴BM=DN。
综上可证BM=DN。
【答案】
证明:(1)如答图,连接AC交BD于点O,连接EO,FO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∴AO=EO=CO=FO=$\frac{1}{2}AC$,
∴A,E,C,F四点在以点O为圆心,$\frac{1}{2}AC$的长为半径的同一个圆上.
(2)由(1)可知,点O为圆心,如答图,当BM＜BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB−OM=OD−ON,
∴BM=DN.
当BM＞BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB+OM=ON+OD,
∴BM=DN.
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形斜边中线性质；四点共圆的判定
【点评】
本题综合考查了平行四边形、直角三角形的性质，以及四点共圆的判定与圆的基本性质的应用，解题的关键是找准AC中点作为共圆的圆心，结合相关性质推导线段关系，第二问需要注意分类讨论交点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明四点共圆，核心是证明四个点到同一个定点的距离相等。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，取AC的中点O，再结合AE⊥BC、AF⊥CD得到两个直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可证A、E、C、F到O的距离都等于AC的一半，即可完成四点共圆的证明。
（2）由（1）可知圆的圆心为O，结合平行四边形对角线互相平分的性质可得OB=OD，再根据同圆的半径相等得到OM=ON，分两种情况讨论BD与圆交点的位置，对OB、OD做加减运算即可推导出BM=DN。
【解析】
(1) 连接AC交BD于点O，连接EO，FO。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，O是斜边AC的中点，
∴AO=EO=CO=FO=$\frac{1}{2}$AC，
∴A、E、C、F四点在以点O为圆心，$\frac{1}{2}$AC的长为半径的同一个圆上。
(2) 由(1)可知点O为该圆的圆心，因此同圆半径OM=ON。
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD。
分两种情况讨论：
①当BM＜BO时，即M靠近点B、N靠近点D：
∵OB−OM=OD−ON，
∴BM=DN。
②当BM＞BO时，即M靠近点D、N靠近点B：
∵OB+OM=ON+OD，
∴BM=DN。
综上可证BM=DN。
【答案】
证明:(1)如答图,连接AC交BD于点O,连接EO,FO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∴AO=EO=CO=FO=$\frac{1}{2}AC$,
∴A,E,C,F四点在以点O为圆心,$\frac{1}{2}AC$的长为半径的同一个圆上.
(2)由(1)可知,点O为圆心,如答图,当BM＜BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB−OM=OD−ON,
∴BM=DN.
当BM＞BO时,
∵OM=ON,OB=OD,
∴OB+OM=ON+OD,
∴BM=DN.
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形斜边中线性质；四点共圆的判定
【点评】
本题综合考查了平行四边形、直角三角形的性质，以及四点共圆的判定与圆的基本性质的应用，解题的关键是找准AC中点作为共圆的圆心，结合相关性质推导线段关系，第二问需要注意分类讨论交点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14.如图，矩形纸片ABCD的一边BC过圆心O，若AB=4 cm，BE=3 cm，AF=5 cm，求$\odot O$的半径.
答案
14.解:如答图,过点F作FH⊥BC于点H,连接OF,则四边形ABHF是矩形,AF=BH=5 cm,AB=FH=4 cm.
∵BE=3 cm,
∴EH=2 cm.
设⊙O的半径为x cm,则OF=x cm,OH=(x−2)cm.
在Rt△OFH中,由勾股定理,得
$(x−2)^2+4^2=x^2$,解得x=5.故⊙O的半径为5 cm.
解析
【分析】
要求圆的半径，结合矩形与圆的位置特征，可通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解：第一步过点F作FH⊥BC，得到矩形ABHF，借助矩形对边相等的性质求出FH、EH的长度；第二步设圆的半径为x，将Rt△OFH的三边用含x的代数式表示；第三步根据勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：如答图，过点F作FH⊥BC于点H，连接OF。
∵四边形ABCD是矩形，FH⊥BC，
∴四边形ABHF是矩形，
∴AF=BH=5 cm，AB=FH=4 cm。
∵BE=3 cm，
∴EH=BH-BE=5-3=2 cm。
设⊙O的半径为x cm，则OF=x cm，OH=(x-2) cm。
在Rt△OFH中，由勾股定理得：
$OH^2+FH^2=OF^2$，即$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得x=5。
【答案】
⊙O的半径为5 cm。
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合矩形与圆的知识进行考查，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合方程思想利用勾股定理求解，能够锻炼学生的辅助线作图能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求圆的半径，结合矩形与圆的位置特征，可通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解：第一步过点F作FH⊥BC，得到矩形ABHF，借助矩形对边相等的性质求出FH、EH的长度；第二步设圆的半径为x，将Rt△OFH的三边用含x的代数式表示；第三步根据勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：如答图，过点F作FH⊥BC于点H，连接OF。
∵四边形ABCD是矩形，FH⊥BC，
∴四边形ABHF是矩形，
∴AF=BH=5 cm，AB=FH=4 cm。
∵BE=3 cm，
∴EH=BH-BE=5-3=2 cm。
设⊙O的半径为x cm，则OF=x cm，OH=(x-2) cm。
在Rt△OFH中，由勾股定理得：
$OH^2+FH^2=OF^2$，即$(x-2)^2+4^2=x^2$，
展开化简得$-4x+20=0$，解得x=5。
【答案】
⊙O的半径为5 cm。
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合矩形与圆的知识进行考查，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合方程思想利用勾股定理求解，能够锻炼学生的辅助线作图能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
