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⑧ 若某一时刻，一束平行光线与一个棱长为2 cm 的正方体的一个面垂直，则此时刻正方体在该平行光线下的投影的面积是
4 cm²
。答案
4 cm²
解析
【分析】
解题时先结合题目条件明确投影类型：平行光线与正方体的一个面垂直，此时形成的投影为正投影。根据正投影的性质，当光线垂直于几何体的一个平面时，该平面的正投影与原平面形状、大小完全一致，且正方体其余部分的投影均不会超出该平面的投影范围，因此只需计算该垂直面的面积即可得到投影面积。
【解析】
解：
∵平行光线与正方体的一个面垂直，此时正方体的投影为正投影
∴投影的形状、大小与该垂直面完全相同
已知正方体棱长为2 cm，该垂直面是边长为2 cm的正方形
∴投影面积 = 正方形面积 = 2×2 = 4(cm²)
【答案】
4 cm²
【知识点】
平行投影性质；正投影特征；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正投影的相关性质，解题的关键是判断出投影与正方体被光线垂直照射的面全等，掌握正投影的特点即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先结合题目条件明确投影类型：平行光线与正方体的一个面垂直，此时形成的投影为正投影。根据正投影的性质，当光线垂直于几何体的一个平面时，该平面的正投影与原平面形状、大小完全一致，且正方体其余部分的投影均不会超出该平面的投影范围，因此只需计算该垂直面的面积即可得到投影面积。
【解析】
解：
∵平行光线与正方体的一个面垂直，此时正方体的投影为正投影
∴投影的形状、大小与该垂直面完全相同
已知正方体棱长为2 cm，该垂直面是边长为2 cm的正方形
∴投影面积 = 正方形面积 = 2×2 = 4(cm²)
【答案】
4 cm²
【知识点】
平行投影性质；正投影特征；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正投影的相关性质，解题的关键是判断出投影与正方体被光线垂直照射的面全等，掌握正投影的特点即可快速求解。
【难度系数】
0.85
9 
，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为
，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为4
m。答案
4
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，由此可得到两个共高的直角三角形。通过证明两个直角三角形相似，得到树高与两次影长的比例关系，代入数值即可求解树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，树底部为点$ E $，顶部为点$ F $，A时影子端点为$ C $，B时影子端点为$ D $。
由题意可知：$ FE ⊥ CD $，$ FC ⊥ FD $，$ EC=2\,\mathrm{m} $，$ ED=8\,\mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ FCE $和$ \mathrm{Rt}△ DFE $中：
$ ∠ FEC = ∠ DEF = 90° $，
$ ∠ C + ∠ CFE = 90° $，$ ∠ CFE + ∠ DFE = 90° $，
因此$ ∠ C = ∠ DFE $，可得$ △ FCE ∽ △ DFE $。
由相似三角形对应边成比例得：$ \frac{FE}{DE} = \frac{CE}{FE} $，即$ FE^2 = CE · DE $。
代入数据：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，结合$ h＞0 $，解得$ h=4 $。
【答案】
4
【知识点】
平行投影；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的应用，解题核心是根据光线垂直、树与地面垂直的条件找到相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，由此可得到两个共高的直角三角形。通过证明两个直角三角形相似，得到树高与两次影长的比例关系，代入数值即可求解树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，树底部为点$ E $，顶部为点$ F $，A时影子端点为$ C $，B时影子端点为$ D $。
由题意可知：$ FE ⊥ CD $，$ FC ⊥ FD $，$ EC=2\,\mathrm{m} $，$ ED=8\,\mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ FCE $和$ \mathrm{Rt}△ DFE $中：
$ ∠ FEC = ∠ DEF = 90° $，
$ ∠ C + ∠ CFE = 90° $，$ ∠ CFE + ∠ DFE = 90° $，
因此$ ∠ C = ∠ DFE $，可得$ △ FCE ∽ △ DFE $。
由相似三角形对应边成比例得：$ \frac{FE}{DE} = \frac{CE}{FE} $，即$ FE^2 = CE · DE $。
代入数据：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，结合$ h＞0 $，解得$ h=4 $。
【答案】
4
【知识点】
平行投影；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的应用，解题核心是根据光线垂直、树与地面垂直的条件找到相似三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
10 太阳光线与地面成$60°$的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，则皮球的直径是
15 cm
。 第9题图答案
15 cm
[提示:如图，由题意得∠DBA=60°，∠CAB=120°，AB=10√3 cm，OE⊥AB，OC⊥AC，OD⊥BD。易证△OAE≌△OAC，△OBE≌△OBD，所以∠OAE=1/2∠CAB=60°，∠OBE=1/2∠DBA=30°，所以∠AOB=90°。因为AB=10√3 cm，所以可得AO=1/2 AB=5√3 cm，OE=AO·sin60°=5√3 × √3/2 =15/2 cm，故圆O的直径为15 cm。]
解析
【分析】
本题是平行投影与圆的切线性质结合的几何应用题，解题思路如下：首先明确皮球的截面是圆，太阳光线为平行光线且与圆相切，地面上的投影长就是两光线与地面的两个交点之间的线段长度。第一步先根据光线与地面的夹角得到两个交点处光线与地面的夹角，第二步利用切线长定理得到圆心与这两个交点的连线是对应角的角平分线，进而求出△AOB的内角度数，最后通过解直角三角形求出圆的半径，半径的2倍即为皮球的直径。
【解析】
解：由题意得：太阳光线$AC// BD$，$∠ DBA=60°$，投影长$AB=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，圆$O$为皮球的截面，$OC⊥ AC$，$OD⊥ BD$，$OE⊥ AB$，$OC$、$OD$、$OE$均为$\odot O$的半径，记为$r$。
根据切线长定理，可得$△ OAE≌△ OAC$，$△ OBE≌△ OBD$，因此$OA$平分$∠ CAB$，$OB$平分$∠ DBA$。
$\because AC// BD$，$∠ DBA=60°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ DBA=120°$，
$\therefore ∠ OAE=\frac{1}{2}∠ CAB=60°$，$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ DBA=30°$，
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-∠ OAE-∠ OBE=180°-60°-30°=90°$，即$△ AOB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OBE=30°$，$AB=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AB=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=AO·\sin∠ OAE=5\sqrt{3}×\sin60°=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$，即$r=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$，
因此$\odot O$的直径为$2r=2×\frac{15}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
15 cm
【知识点】
平行投影的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题将生活中的投影问题转化为几何计算问题，需要结合圆的切线性质、角平分线的性质以及锐角三角函数的知识求解，侧重考查几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是平行投影与圆的切线性质结合的几何应用题，解题思路如下：首先明确皮球的截面是圆，太阳光线为平行光线且与圆相切，地面上的投影长就是两光线与地面的两个交点之间的线段长度。第一步先根据光线与地面的夹角得到两个交点处光线与地面的夹角，第二步利用切线长定理得到圆心与这两个交点的连线是对应角的角平分线，进而求出△AOB的内角度数，最后通过解直角三角形求出圆的半径，半径的2倍即为皮球的直径。
【解析】
解：由题意得：太阳光线$AC// BD$，$∠ DBA=60°$，投影长$AB=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，圆$O$为皮球的截面，$OC⊥ AC$，$OD⊥ BD$，$OE⊥ AB$，$OC$、$OD$、$OE$均为$\odot O$的半径，记为$r$。
根据切线长定理，可得$△ OAE≌△ OAC$，$△ OBE≌△ OBD$，因此$OA$平分$∠ CAB$，$OB$平分$∠ DBA$。
$\because AC// BD$，$∠ DBA=60°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ DBA=120°$，
$\therefore ∠ OAE=\frac{1}{2}∠ CAB=60°$，$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ DBA=30°$，
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-∠ OAE-∠ OBE=180°-60°-30°=90°$，即$△ AOB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OBE=30°$，$AB=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AB=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=AO·\sin∠ OAE=5\sqrt{3}×\sin60°=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$，即$r=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}$，
因此$\odot O$的直径为$2r=2×\frac{15}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
15 cm
【知识点】
平行投影的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题将生活中的投影问题转化为几何计算问题，需要结合圆的切线性质、角平分线的性质以及锐角三角函数的知识求解，侧重考查几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11 有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着，其中木棒AB在太阳光下的影子是BE，如图所示，请你在图中画出这时木棒CD的影子。
第11题图
第11题图答案
如图，DF 即为这时木棒CD 的影子。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平行投影的核心性质：同一时刻的太阳光属于平行光线，照射不同物体的光线互相平行。解题思路如下：首先根据已知木棒AB和它的影子BE，确定太阳光线的方向为直线AE的方向；其次过木棒CD的顶端C作与AE平行的直线，该直线就是照射C点的太阳光线，它与地面的交点即为CD影子的端点F；最后线段DF就是CD的影子。
【解析】
解：作图步骤如下：
1. 连接点A和点E，确定太阳光线的方向为直线AE的方向；
2. 过点C作直线$CF// AE$，交水平地面BD所在直线于点F；
3. 线段DF即为木棒CD此时的影子。
【答案】
如图，DF 即为这时木棒CD 的影子。
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 平行线的画法
【点评】
本题考查平行投影的实际应用，解题关键是抓住同一时刻太阳光线互相平行的核心特点，结合平行线的作图方法即可求解，题目贴近生活实际，侧重对基础概念和基础作图技能的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆平行投影的核心性质：同一时刻的太阳光属于平行光线，照射不同物体的光线互相平行。解题思路如下：首先根据已知木棒AB和它的影子BE，确定太阳光线的方向为直线AE的方向；其次过木棒CD的顶端C作与AE平行的直线，该直线就是照射C点的太阳光线，它与地面的交点即为CD影子的端点F；最后线段DF就是CD的影子。
【解析】
解：作图步骤如下：
1. 连接点A和点E，确定太阳光线的方向为直线AE的方向；
2. 过点C作直线$CF// AE$，交水平地面BD所在直线于点F；
3. 线段DF即为木棒CD此时的影子。
【答案】
如图，DF 即为这时木棒CD 的影子。
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 平行线的画法
【点评】
本题考查平行投影的实际应用，解题关键是抓住同一时刻太阳光线互相平行的核心特点，结合平行线的作图方法即可求解，题目贴近生活实际，侧重对基础概念和基础作图技能的考查。
【难度系数】
0.8
12 如图，水平方向的粗实线是旗杆在太阳光下的投影。
（1）画出此时标杆A在太阳光下的影子。
（2）如果不想看到标杆A的影子，标杆A应放在何处？
（1）画出此时标杆A在太阳光下的影子。
（2）如果不想看到标杆A的影子，标杆A应放在何处？
答案
(1) 如图，线段AB即为所求。
(2) 应放在OC之间(包括点C处)。
解析
【分析】
本题考查平行投影的相关应用，解题核心是抓住同一时刻太阳光为平行光线的特点：
（1）要画标杆的影子，首先需确定太阳光线的方向：已知旗杆的投影为OA，因此连接旗杆顶端与投影端点A的直线就是太阳光线的方向；再过标杆的顶端作该光线的平行线，与地面交点即为标杆顶端的投影点，连接标杆底部与该点即可得到标杆的影子。
（2）若不想看到标杆的影子，需让标杆的影子完全落在旗杆的投影OA范围内。找到标杆影子顶端刚好与A点重合时标杆的放置位置C，因此标杆放在O到C之间（含C点）时，影子全部在OA内，不会露出。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接旗杆顶端与点A，得到太阳光线的方向；
② 过标杆A的顶端作上述直线的平行线，交OA所在的水平直线于点B；
③ 线段AB即为标杆A在太阳光下的影子。
（2）分析：
过点A对应的太阳光线（旗杆顶端与A的连线）上，取高度等于标杆高度的点，向下作竖直线交OA于点C。当标杆放在OC之间（包括点C）时，标杆的影子完全落在旗杆的影子OA内部，因此看不到标杆A的影子。
【答案】
(1) 如图，线段AB即为所求。
(2) 应放在OC之间(包括点C处)。
【知识点】
平行投影的性质；投影作图；平行光线应用
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的知识，解题关键是掌握同一时刻太阳光线互相平行的特点，既考查了作图能力，也考查了利用投影性质分析实际问题的能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的相关应用，解题核心是抓住同一时刻太阳光为平行光线的特点：
（1）要画标杆的影子，首先需确定太阳光线的方向：已知旗杆的投影为OA，因此连接旗杆顶端与投影端点A的直线就是太阳光线的方向；再过标杆的顶端作该光线的平行线，与地面交点即为标杆顶端的投影点，连接标杆底部与该点即可得到标杆的影子。
（2）若不想看到标杆的影子，需让标杆的影子完全落在旗杆的投影OA范围内。找到标杆影子顶端刚好与A点重合时标杆的放置位置C，因此标杆放在O到C之间（含C点）时，影子全部在OA内，不会露出。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接旗杆顶端与点A，得到太阳光线的方向；
② 过标杆A的顶端作上述直线的平行线，交OA所在的水平直线于点B；
③ 线段AB即为标杆A在太阳光下的影子。
（2）分析：
过点A对应的太阳光线（旗杆顶端与A的连线）上，取高度等于标杆高度的点，向下作竖直线交OA于点C。当标杆放在OC之间（包括点C）时，标杆的影子完全落在旗杆的影子OA内部，因此看不到标杆A的影子。
【答案】
(1) 如图，线段AB即为所求。
(2) 应放在OC之间(包括点C处)。
【知识点】
平行投影的性质；投影作图；平行光线应用
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的知识，解题关键是掌握同一时刻太阳光线互相平行的特点，既考查了作图能力，也考查了利用投影性质分析实际问题的能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
13 某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上。
（1）在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF。
（2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长。
（1）在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF。
（2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长。
答案
(1) 如图所示。
(2) 设木杆AB的影长BF为x米，由题意得5/x=3/4，所以x=20/3。
解析
【分析】
（1）作图部分：已知CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，说明CD的影子端点就是Q点，因此连接C、Q即可得到太阳光线CE；平行投影的太阳光线互相平行，所以过点A作CE的平行线，与地面BQ的交点就是AB影子的端点F，线段BF就是AB的影子。
（2）计算部分：根据平行投影的核心性质，同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等，据此列出比例式，代入已知数值求解即可得到AB的影长。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接点C和点Q，即为太阳光线CE（E与Q重合）；
② 过点A作CE的平行线，交直线BQ于点F，线段BF就是木杆AB的影子BF，作图结果如图所示。
（2）设木杆AB的影长BF为$x$米，
因为同一时刻太阳光下，物体高度与影长的比值为定值，
所以有$\frac{AB}{BF}=\frac{CD}{DQ}$，
将$AB=5$米，$CD=3$米，$DQ=4$米代入上式，得：
$\frac{5}{x}=\frac{3}{4}$，
交叉相乘得$3x=20$，
解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 此时木杆AB的影长为$\frac{20}{3}$米。
【知识点】
平行投影的性质，比例方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的实际应用，解题关键是掌握同一时刻平行投影下物高与影长成正比的规律，作图时要注意太阳光线互相平行的特点，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
（1）作图部分：已知CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，说明CD的影子端点就是Q点，因此连接C、Q即可得到太阳光线CE；平行投影的太阳光线互相平行，所以过点A作CE的平行线，与地面BQ的交点就是AB影子的端点F，线段BF就是AB的影子。
（2）计算部分：根据平行投影的核心性质，同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等，据此列出比例式，代入已知数值求解即可得到AB的影长。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接点C和点Q，即为太阳光线CE（E与Q重合）；
② 过点A作CE的平行线，交直线BQ于点F，线段BF就是木杆AB的影子BF，作图结果如图所示。
（2）设木杆AB的影长BF为$x$米，
因为同一时刻太阳光下，物体高度与影长的比值为定值，
所以有$\frac{AB}{BF}=\frac{CD}{DQ}$，
将$AB=5$米，$CD=3$米，$DQ=4$米代入上式，得：
$\frac{5}{x}=\frac{3}{4}$，
交叉相乘得$3x=20$，
解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 此时木杆AB的影长为$\frac{20}{3}$米。
【知识点】
平行投影的性质，比例方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的实际应用，解题关键是掌握同一时刻平行投影下物高与影长成正比的规律，作图时要注意太阳光线互相平行的特点，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
