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【例1】(2025—2026赣州于都期中)在同一坐标系中，一次函数$y=-mx+1$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是（
【点拨】∵二次函数为$y=x^2+m$，∴$a=1＞0$，∴二次函数的开口方向向上，∴排除C选项.∵一次函数为$y=-mx+1$，∴$b=1＞0$，即一次函数图象经过y轴正半轴，∴排除A选项.当$m＞0$时，$-m＜0$，一次函数图象经过第一、二、四象限，二次函数$y=x^2+m$图象经过y轴正半轴，∴排除B选项.当$m＜0$时，$-m＞0$，一次函数图象经过第一、二、三象限，二次函数$y=x^2+m$图象经过y轴负半轴，∴D选项符合题意.
【答案】D
D
）【点拨】∵二次函数为$y=x^2+m$，∴$a=1＞0$，∴二次函数的开口方向向上，∴排除C选项.∵一次函数为$y=-mx+1$，∴$b=1＞0$，即一次函数图象经过y轴正半轴，∴排除A选项.当$m＞0$时，$-m＜0$，一次函数图象经过第一、二、四象限，二次函数$y=x^2+m$图象经过y轴正半轴，∴排除B选项.当$m＜0$时，$-m＞0$，一次函数图象经过第一、二、三象限，二次函数$y=x^2+m$图象经过y轴负半轴，∴D选项符合题意.
【答案】D
答案
D
解析
【分析】
这是一次函数与二次函数的图象共存类题目，可按“先定固定性质、再分类讨论、排除矛盾选项”的思路解题：①先根据二次函数的二次项系数确定开口方向，排除不符合的选项；②再根据一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，进一步排除错误选项；③最后分参数$m＞0$和$m＜0$两种情况，分别验证两个函数的图象特征是否一致，最终找到符合要求的选项。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+m$的性质：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，C选项抛物线开口向下，排除C。
2. 分析一次函数$y=-mx+1$的性质：
一次函数的常数项为$1＞0$，因此一次函数图象与y轴交于正半轴，A选项中一次函数交y轴于负半轴，排除A。
3. 分类讨论参数$m$的正负：
①当$m＞0$时，二次函数$y=x^2+m$的顶点为$(0,m)$，在y轴正半轴；一次函数斜率$-m＜0$，图象经过第一、二、四象限。B选项中二次函数顶点在y轴负半轴，与$m＞0$矛盾，排除B。
②当$m＜0$时，二次函数$y=x^2+m$的顶点在y轴负半轴；一次函数斜率$-m＞0$，图象经过第一、二、三象限，与D选项图象特征完全一致。
综上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论
【点评】
本题是函数图象共存类的典型基础题，解题核心是抓住函数解析式中各项系数与图象特征的对应关系，通过逐步排除矛盾选项降低解题难度，可有效考查对一次函数、二次函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一次函数与二次函数的图象共存类题目，可按“先定固定性质、再分类讨论、排除矛盾选项”的思路解题：①先根据二次函数的二次项系数确定开口方向，排除不符合的选项；②再根据一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，进一步排除错误选项；③最后分参数$m＞0$和$m＜0$两种情况，分别验证两个函数的图象特征是否一致，最终找到符合要求的选项。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+m$的性质：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，C选项抛物线开口向下，排除C。
2. 分析一次函数$y=-mx+1$的性质：
一次函数的常数项为$1＞0$，因此一次函数图象与y轴交于正半轴，A选项中一次函数交y轴于负半轴，排除A。
3. 分类讨论参数$m$的正负：
①当$m＞0$时，二次函数$y=x^2+m$的顶点为$(0,m)$，在y轴正半轴；一次函数斜率$-m＜0$，图象经过第一、二、四象限。B选项中二次函数顶点在y轴负半轴，与$m＞0$矛盾，排除B。
②当$m＜0$时，二次函数$y=x^2+m$的顶点在y轴负半轴；一次函数斜率$-m＞0$，图象经过第一、二、三象限，与D选项图象特征完全一致。
综上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论
【点评】
本题是函数图象共存类的典型基础题，解题核心是抓住函数解析式中各项系数与图象特征的对应关系，通过逐步排除矛盾选项降低解题难度，可有效考查对一次函数、二次函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
【例2】对于二次函数$y=(m+3)x^{m^2+5m-12}+3$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$m=$
【点拨】∵函数$y=(m+3)x^{m^2+5m-12}+3$为二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$m^2+5m-12=2$，且$m+3＜0$，解得$m=-7$。
【解】$-7$
-7
。【点拨】∵函数$y=(m+3)x^{m^2+5m-12}+3$为二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$m^2+5m-12=2$，且$m+3＜0$，解得$m=-7$。
【解】$-7$
答案
-7
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：首先，二次函数的最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此可列方程求出m的可能取值；再根据“x＜0时y随x的增大而增大”的性质，判断二次函数的开口方向，进而确定二次项系数的符号，对求出的m值进行筛选，最终得到符合条件的解。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+5m-12}+3$是二次函数
∴自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2+5m-12=2 ①\\m+3≠0 ②\end{cases}$
解方程①：移项得$m^2+5m-14=0$，因式分解得$(m+7)(m-2)=0$，解得$m_1=-7$，$m_2=2$
由②得$m≠-3$，两个解均满足该条件。
又
∵当$x＜0$时，y随x的增大而增大，该二次函数形式为$y=ax^2+k$，对称轴为y轴，
∴抛物线开口向下，即二次项系数$m+3＜0$，解得$m＜-3$
对比$m=-7$和$m=2$，只有$m=-7$满足$m＜-3$的要求，故$m=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题时需先根据定义确定参数的可能值，再结合函数的增减性筛选符合要求的参数，易错点是忽略增减性对二次项系数符号的限制，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：首先，二次函数的最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此可列方程求出m的可能取值；再根据“x＜0时y随x的增大而增大”的性质，判断二次函数的开口方向，进而确定二次项系数的符号，对求出的m值进行筛选，最终得到符合条件的解。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+3)x^{m^2+5m-12}+3$是二次函数
∴自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2+5m-12=2 ①\\m+3≠0 ②\end{cases}$
解方程①：移项得$m^2+5m-14=0$，因式分解得$(m+7)(m-2)=0$，解得$m_1=-7$，$m_2=2$
由②得$m≠-3$，两个解均满足该条件。
又
∵当$x＜0$时，y随x的增大而增大，该二次函数形式为$y=ax^2+k$，对称轴为y轴，
∴抛物线开口向下，即二次项系数$m+3＜0$，解得$m＜-3$
对比$m=-7$和$m=2$，只有$m=-7$满足$m＜-3$的要求，故$m=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题时需先根据定义确定参数的可能值，再结合函数的增减性筛选符合要求的参数，易错点是忽略增减性对二次项系数符号的限制，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
1.将抛物线 $ y=3x^2 $ 向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 （
A.$ y=3(x+5)^2 $
B.$ y=3(x-5)^2 $
C.$ y=3x^2+5 $
D.$ y=3x^2-5 $
C
）A.$ y=3(x+5)^2 $
B.$ y=3(x-5)^2 $
C.$ y=3x^2+5 $
D.$ y=3x^2-5 $
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移改变自变量x，遵循“左加右减”的规则。本题是向上平移5个单位，属于上下平移，不需要调整自变量x，只需在原解析式的基础上整体加5即可。可先排除对应左右平移的选项A、B，再根据“向上平移加单位”的规则排除D，就能得到正确答案。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减，左加右减”规则解题：
1. 判断平移类型：本题为向上平移5个单位，属于上下平移，仅需对原函数的整体值做加减操作，不改变自变量x的形式，因此先排除表示左右平移的A、B选项；
2. 应用上下平移规则：“上加下减”即向上平移n个单位就在原解析式末尾加n，向下平移n个单位就减n。原抛物线解析式为$y=3x^2$，向上平移5个单位后，新的解析式为$y=3x^2+5$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移的基础考查题，核心是区分上下平移和左右平移的操作对象，牢记平移规则即可快速作答，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移改变自变量x，遵循“左加右减”的规则。本题是向上平移5个单位，属于上下平移，不需要调整自变量x，只需在原解析式的基础上整体加5即可。可先排除对应左右平移的选项A、B，再根据“向上平移加单位”的规则排除D，就能得到正确答案。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减，左加右减”规则解题：
1. 判断平移类型：本题为向上平移5个单位，属于上下平移，仅需对原函数的整体值做加减操作，不改变自变量x的形式，因此先排除表示左右平移的A、B选项；
2. 应用上下平移规则：“上加下减”即向上平移n个单位就在原解析式末尾加n，向下平移n个单位就减n。原抛物线解析式为$y=3x^2$，向上平移5个单位后，新的解析式为$y=3x^2+5$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移的基础考查题，核心是区分上下平移和左右平移的操作对象，牢记平移规则即可快速作答，不易出错。
【难度系数】
0.9
