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2. 将抛物线 $ y=2x^2 $ 向下平移 $ b(b＞0) $ 个单位长度后，所得新抛物线经过点 $ (1,-4) $，则 $ b $ 的值为 （
A.4
B.-4
C.6
D.-6
C
）A.4
B.-4
C.6
D.-6
答案
C
解析
【分析】
解题首先要用到二次函数图象平移的“上加下减”规律，先写出平移后的新抛物线解析式，再根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，把已知点的坐标代入新解析式，建立关于b的方程，解方程就能得到b的值，结合题目b＞0的条件还可以提前排除负数值的选项。
【解析】
第一步：根据抛物线平移“上加下减常数项”的规律，将抛物线$y=2x^2$向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，所得新抛物线的解析式为：
$y=2x^2 - b$
第二步：已知新抛物线经过点$(1,-4)$，将$x=1$，$y=-4$代入上述解析式：
$-4=2×1^2 - b$
第三步：解方程：
$-4=2 - b$
移项可得$b=2+4=6$，符合$b＞0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数平移规律的掌握，以及对函数图象与点坐标对应关系的理解，只要掌握相关基础概念，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到二次函数图象平移的“上加下减”规律，先写出平移后的新抛物线解析式，再根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，把已知点的坐标代入新解析式，建立关于b的方程，解方程就能得到b的值，结合题目b＞0的条件还可以提前排除负数值的选项。
【解析】
第一步：根据抛物线平移“上加下减常数项”的规律，将抛物线$y=2x^2$向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，所得新抛物线的解析式为：
$y=2x^2 - b$
第二步：已知新抛物线经过点$(1,-4)$，将$x=1$，$y=-4$代入上述解析式：
$-4=2×1^2 - b$
第三步：解方程：
$-4=2 - b$
移项可得$b=2+4=6$，符合$b＞0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数平移规律的掌握，以及对函数图象与点坐标对应关系的理解，只要掌握相关基础概念，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 将抛物线$y=-2x^2$向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点为$(a,b)$，则$(a+b)^{2025}=$
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数平移的性质：抛物线平移时，其顶点也会按照相同的规律平移。首先确定原抛物线$y=-2x^2$的顶点坐标，再根据“向上平移纵坐标加，横坐标不变”的规律得到平移后的顶点坐标$(a,b)$，最后代入计算$(a+b)^{2025}$的值即可。
【解析】
1. 确定原抛物线顶点：二次函数$y=-2x^2$是顶点式，它的顶点坐标为$(0, 0)$。
2. 求平移后顶点坐标：抛物线向上平移1个单位长度，顶点横坐标不变，纵坐标加1，因此平移后顶点为$(0, 0+1)=(0,1)$，即$a=0$，$b=1$。
3. 代入计算：$a+b=0+1=1$，所以$(a+b)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点坐标，有理数乘方运算
【点评】
本题是基础题，主要考查二次函数平移时的顶点变化规律，只要熟练掌握抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数平移的性质：抛物线平移时，其顶点也会按照相同的规律平移。首先确定原抛物线$y=-2x^2$的顶点坐标，再根据“向上平移纵坐标加，横坐标不变”的规律得到平移后的顶点坐标$(a,b)$，最后代入计算$(a+b)^{2025}$的值即可。
【解析】
1. 确定原抛物线顶点：二次函数$y=-2x^2$是顶点式，它的顶点坐标为$(0, 0)$。
2. 求平移后顶点坐标：抛物线向上平移1个单位长度，顶点横坐标不变，纵坐标加1，因此平移后顶点为$(0, 0+1)=(0,1)$，即$a=0$，$b=1$。
3. 代入计算：$a+b=0+1=1$，所以$(a+b)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点坐标，有理数乘方运算
【点评】
本题是基础题，主要考查二次函数平移时的顶点变化规律，只要熟练掌握抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
4.能否通过上下平移抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$，使得到的新抛物线经过点$(-3,3)$？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
答案
解:能.设平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+b$.
∵新抛物线经过点$(-3,3)$,
∴$-\frac{1}{3}×(-3)^2+b=3$,解得 $b=6$,
∴平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+6$,
∴将抛物线 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 向上平移6个单位长度,得到的新抛物线经过点$(-3,3)$.
∵新抛物线经过点$(-3,3)$,
∴$-\frac{1}{3}×(-3)^2+b=3$,解得 $b=6$,
∴平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+6$,
∴将抛物线 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 向上平移6个单位长度,得到的新抛物线经过点$(-3,3)$.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握二次函数上下平移的规律：抛物线上下平移时，开口方向、大小均不变，即二次项系数$a$保持不变，仅常数项发生变化，因此可先设平移后的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+b$。再将已知点$(-3,3)$代入解析式求解参数$b$，若$b$存在，则可通过平移得到新抛物线，$b$的正负对应平移方向（$b＞0$向上平移，$b＜0$向下平移），$b$的绝对值即为平移的距离。
【解析】
解：能，设平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+b$。
∵新抛物线经过点$(-3,3)$，
∴将$x=-3$，$y=3$代入解析式得：
$-\frac{1}{3}×(-3)^2+b=3$
计算得$-3+b=3$
解得 $b=6$
∴平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+6$
即需将抛物线 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 向上平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点$(-3,3)$。
【答案】
能，将抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向上平移6个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础应用题，解题关键是牢记上下平移时二次项系数不变、仅常数项变化的规律，结合待定系数法代入点坐标即可求出平移参数，难度较低。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要掌握二次函数上下平移的规律：抛物线上下平移时，开口方向、大小均不变，即二次项系数$a$保持不变，仅常数项发生变化，因此可先设平移后的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+b$。再将已知点$(-3,3)$代入解析式求解参数$b$，若$b$存在，则可通过平移得到新抛物线，$b$的正负对应平移方向（$b＞0$向上平移，$b＜0$向下平移），$b$的绝对值即为平移的距离。
【解析】
解：能，设平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+b$。
∵新抛物线经过点$(-3,3)$，
∴将$x=-3$，$y=3$代入解析式得：
$-\frac{1}{3}×(-3)^2+b=3$
计算得$-3+b=3$
解得 $b=6$
∴平移后的抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x^2+6$
即需将抛物线 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 向上平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点$(-3,3)$。
【答案】
能，将抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$向上平移6个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础应用题，解题关键是牢记上下平移时二次项系数不变、仅常数项变化的规律，结合待定系数法代入点坐标即可求出平移参数，难度较低。
【难度系数】
0.85
5. 抛物线 $ y = -2x^2 + 5 $ 的顶点坐标是 (
A.$ (0, -2) $
B.$ (0, 5) $
C.$ (-2, 5) $
D.$ (5, 0) $
B
)A.$ (0, -2) $
B.$ (0, 5) $
C.$ (-2, 5) $
D.$ (5, 0) $
答案
B
解析
【分析】
首先观察给出的二次函数解析式，属于$y=ax^2+k$的标准形式，这类函数没有一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在对称轴上，因此顶点横坐标为0；再将$x=0$代入解析式计算出对应的y值，即可得到顶点纵坐标，最终确定顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$的图象为抛物线，其对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0, k)$。
本题中抛物线解析式为$y=-2x^2+5$，对应$y=ax^2+k$的形式，其中$k=5$，因此它的顶点坐标是$(0, 5)$。
【答案】
B
【知识点】
1. $y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的顶点坐标规律，牢记该类函数顶点为$(0,k)$即可快速选出答案，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
首先观察给出的二次函数解析式，属于$y=ax^2+k$的标准形式，这类函数没有一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在对称轴上，因此顶点横坐标为0；再将$x=0$代入解析式计算出对应的y值，即可得到顶点纵坐标，最终确定顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$的图象为抛物线，其对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0, k)$。
本题中抛物线解析式为$y=-2x^2+5$，对应$y=ax^2+k$的形式，其中$k=5$，因此它的顶点坐标是$(0, 5)$。
【答案】
B
【知识点】
1. $y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的顶点坐标规律，牢记该类函数顶点为$(0,k)$即可快速选出答案，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
6.对于二次函数$y=-x^2+3$，下列说法不正确的是（
A.图象的开口向下
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象是轴对称图形
D.当$x=0$时，$y$有最大值3
B
）A.图象的开口向下
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象是轴对称图形
D.当$x=0$时，$y$有最大值3
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先根据二次项系数的符号判断开口方向，再确定对称轴、顶点坐标，进而推导函数的增减性与最值，逐一判断四个选项的正误即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线图象开口向下，A选项说法正确，不符合题意；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向下的抛物线在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，因此B选项说法错误，符合题意；
3. 二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，该函数对称轴为y轴，C选项说法正确，不符合题意；
4. 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(0,3)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值3，D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次项系数对开口方向的影响，以及对称轴两侧的增减性规律，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先根据二次项系数的符号判断开口方向，再确定对称轴、顶点坐标，进而推导函数的增减性与最值，逐一判断四个选项的正误即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线图象开口向下，A选项说法正确，不符合题意；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向下的抛物线在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，因此B选项说法错误，符合题意；
3. 二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，该函数对称轴为y轴，C选项说法正确，不符合题意；
4. 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(0,3)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值3，D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次项系数对开口方向的影响，以及对称轴两侧的增减性规律，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
7. (2025—2026 高安检测)在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象可能是 (
D
)答案
D
解析
【分析】
解题时先抓住两个函数的共性：两个函数表达式中都含常数项c，当x=0时，两个函数的函数值均为c，因此一次函数与二次函数的图象交于y轴上同一点(0,c)，可先排除交点不符的选项；再根据两个函数中参数a的意义判断符号是否统一：一次函数$y=ax+c$中$a＞0$时直线从左到右上升，$a＜0$时直线从左到右下降；二次函数$y=ax^2+c$中$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下，同一个题目中a的取值一致，所以二者的a符号必须匹配，据此逐一验证剩余选项即可。
【解析】
1. 先判断y轴交点：
当$x=0$时，一次函数$y=ax+c$的函数值为$c$，二次函数$y=ax^2+c$的函数值也为$c$，因此两个图象都过点$(0,c)$，即二者在y轴上交于同一点。
2. 逐一分析选项：
选项A：一次函数图象上升，说明$a＞0$；二次函数开口向下，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除；
选项B：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向上，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除；
选项C：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向上，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除；
选项D：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向下，说明$a＜0$，a的符号一致，且两个图象交于y轴正半轴同一点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是抓住两个函数中相同参数a、c的一致性，先通过y轴交点缩小范围，再验证参数a的符号是否匹配，能有效考察对函数图象与系数对应关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住两个函数的共性：两个函数表达式中都含常数项c，当x=0时，两个函数的函数值均为c，因此一次函数与二次函数的图象交于y轴上同一点(0,c)，可先排除交点不符的选项；再根据两个函数中参数a的意义判断符号是否统一：一次函数$y=ax+c$中$a＞0$时直线从左到右上升，$a＜0$时直线从左到右下降；二次函数$y=ax^2+c$中$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下，同一个题目中a的取值一致，所以二者的a符号必须匹配，据此逐一验证剩余选项即可。
【解析】
1. 先判断y轴交点：
当$x=0$时，一次函数$y=ax+c$的函数值为$c$，二次函数$y=ax^2+c$的函数值也为$c$，因此两个图象都过点$(0,c)$，即二者在y轴上交于同一点。
2. 逐一分析选项：
选项A：一次函数图象上升，说明$a＞0$；二次函数开口向下，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除；
选项B：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向上，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除；
选项C：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向上，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除；
选项D：一次函数图象下降，说明$a＜0$；二次函数开口向下，说明$a＜0$，a的符号一致，且两个图象交于y轴正半轴同一点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是抓住两个函数中相同参数a、c的一致性，先通过y轴交点缩小范围，再验证参数a的符号是否匹配，能有效考察对函数图象与系数对应关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
8. 赋值法 已知点$(-4,y_1),(-1,y_2),(\dfrac{5}{3},y_3)$都在函数$y=-x^2+5$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_2＞y_1＞y_3$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_2＞y_1＞y_3$
答案
C
解析
【分析】
这道题要求比较三个函数值的大小，有两种符合学段要求的解题思路：思路1（题目提示的赋值法）：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，直接将三个点的横坐标分别代入函数式，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；思路2（利用二次函数性质）：先判断二次函数$y=-x^2+5$的开口方向、对称轴，再根据“开口向下的抛物线，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大”的规律，比较三个点横坐标到对称轴的距离，即可判断函数值大小。
【解析】
方法一（赋值法）：
将$x=-4$代入$y=-x^2+5$，得$y_1=-(-4)^2+5=-16+5=-11$；
将$x=-1$代入$y=-x^2+5$，得$y_2=-(-1)^2+5=-1+5=4$；
将$x=\frac{5}{3}$代入$y=-x^2+5$，得$y_3=-(\frac{5}{3})^2+5=-\frac{25}{9}+\frac{45}{9}=\frac{20}{9}$；
∵$4＞\frac{20}{9}＞-11$，
∴$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二（二次函数性质法）：
函数$y=-x^2+5$中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口向下的抛物线上的点，横坐标到对称轴的距离越小，对应的函数值越大；
三个点横坐标的绝对值分别为：$|-4|=4$，$|-1|=1$，$|\frac{5}{3}|=\frac{5}{3}$；
∵$1＜\frac{5}{3}＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=ax²+k$的性质
2.函数值大小比较
3.点与函数图象的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解法都较为常用：赋值法思路直接不易出错，性质法计算量小、解题效率更高，主要考查对二次函数基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
这道题要求比较三个函数值的大小，有两种符合学段要求的解题思路：思路1（题目提示的赋值法）：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，直接将三个点的横坐标分别代入函数式，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；思路2（利用二次函数性质）：先判断二次函数$y=-x^2+5$的开口方向、对称轴，再根据“开口向下的抛物线，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大”的规律，比较三个点横坐标到对称轴的距离，即可判断函数值大小。
【解析】
方法一（赋值法）：
将$x=-4$代入$y=-x^2+5$，得$y_1=-(-4)^2+5=-16+5=-11$；
将$x=-1$代入$y=-x^2+5$，得$y_2=-(-1)^2+5=-1+5=4$；
将$x=\frac{5}{3}$代入$y=-x^2+5$，得$y_3=-(\frac{5}{3})^2+5=-\frac{25}{9}+\frac{45}{9}=\frac{20}{9}$；
∵$4＞\frac{20}{9}＞-11$，
∴$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二（二次函数性质法）：
函数$y=-x^2+5$中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口向下的抛物线上的点，横坐标到对称轴的距离越小，对应的函数值越大；
三个点横坐标的绝对值分别为：$|-4|=4$，$|-1|=1$，$|\frac{5}{3}|=\frac{5}{3}$；
∵$1＜\frac{5}{3}＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=ax²+k$的性质
2.函数值大小比较
3.点与函数图象的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解法都较为常用：赋值法思路直接不易出错，性质法计算量小、解题效率更高，主要考查对二次函数基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
变式题 比较函数值的大小→比较自变量的大小
抛物线 $y=x^2+3$ 上有两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。若 $y_1＜y_2$，则下列结论正确的是（
A.$0≤x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$x_2＜x_1≤0$ 或 $0≤x_1＜x_2$
D.以上都不对
抛物线 $y=x^2+3$ 上有两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。若 $y_1＜y_2$，则下列结论正确的是（
D
）A.$0≤x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$x_2＜x_1≤0$ 或 $0≤x_1＜x_2$
D.以上都不对
答案
D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），其函数值的大小和自变量到对称轴的距离相关，离对称轴越远，函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可推出$|x_1|＜|x_2|$，接下来需要判断四个选项是否符合所有满足$|x_1|＜|x_2|$的情况，可通过举反例排除错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$的开口向上，对称轴为直线$x=0$，在该抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。
由$y_1＜y_2$可得：$|x_1|＜|x_2|$。
我们举反例验证选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，此时$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$。
此时$x_1=-1＜0$，$x_2=2＞0$，既不符合A选项的$0≤x_1＜x_2$，也不符合B选项的$x_2＜x_1≤0$，也不在C选项给出的两种情况范围内，因此A、B、C均错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题易误选C，出错原因是仅考虑了两个自变量在对称轴同侧的情况，忽略了自变量分别在对称轴两侧的可能。解题时要结合二次函数的对称性，全面分析自变量的所有位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），其函数值的大小和自变量到对称轴的距离相关，离对称轴越远，函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可推出$|x_1|＜|x_2|$，接下来需要判断四个选项是否符合所有满足$|x_1|＜|x_2|$的情况，可通过举反例排除错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$的开口向上，对称轴为直线$x=0$，在该抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。
由$y_1＜y_2$可得：$|x_1|＜|x_2|$。
我们举反例验证选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，此时$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$。
此时$x_1=-1＜0$，$x_2=2＞0$，既不符合A选项的$0≤x_1＜x_2$，也不符合B选项的$x_2＜x_1≤0$，也不在C选项给出的两种情况范围内，因此A、B、C均错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题易误选C，出错原因是仅考虑了两个自变量在对称轴同侧的情况，忽略了自变量分别在对称轴两侧的可能。解题时要结合二次函数的对称性，全面分析自变量的所有位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.(2025—2026新余分宜检测)抛物线$y=-x^2 + 3$在y轴右侧部分呈现
下降
的趋势(填“上升”或“下降”).答案
下降
解析
【分析】
要判断抛物线在y轴右侧的升降趋势，本质是判断x＞0时函数的增减性。解题思路如下：第一步先确定二次项系数a的符号，判断抛物线开口方向；第二步明确该抛物线的对称轴位置；第三步结合开口方向和对称轴，分析y轴右侧的增减性，即可得到升降趋势。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2 + 3$，属于二次函数$y=ax^2+k$的形式：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该类抛物线的对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而减小，因此图象呈现下降趋势。
【答案】
下降
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线在y轴右侧的升降趋势，本质是判断x＞0时函数的增减性。解题思路如下：第一步先确定二次项系数a的符号，判断抛物线开口方向；第二步明确该抛物线的对称轴位置；第三步结合开口方向和对称轴，分析y轴右侧的增减性，即可得到升降趋势。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2 + 3$，属于二次函数$y=ax^2+k$的形式：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该类抛物线的对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而减小，因此图象呈现下降趋势。
【答案】
下降
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
10. (2025—2026上饶弋阳期中)如下图，二次函数$y=ax^2 -4$的图象交x轴于A，B两点，已知抛物线的对称轴为y轴，$AB=4$。
(1)求$a$的值。
(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为$-1$，连接AC，BC，求$△ ABC$的面积。
(1)求$a$的值。
(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为$-1$，连接AC，BC，求$△ ABC$的面积。
答案
解:(1)由题意知 $B(2,0)$.
把 $B(2,0)$ 代入 $y=ax^2-4$,得 $a=1$.
(2)由(1)知 $y=x^2-4$,
∴当 $x=-1$ 时,$y=-3$,
∴$C(-1,-3)$.
如图,作 $CD⊥AB$ 于点 $D$,则 $CD=3$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$.
解析
【分析】
(1) 首先明确对称轴为y轴的抛物线与x轴的两个交点关于原点对称，结合AB的长度即可得到B点坐标，再将B点坐标代入二次函数解析式，通过解方程即可求出a的值。
(2) 先根据(1)的结果得到完整的二次函数解析式，将点C的横坐标代入解析式求出其纵坐标，得到C点坐标；由于AB在x轴上，△ABC的高就是点C到x轴的距离，即C点纵坐标的绝对值，再结合已知的AB长度，利用三角形面积公式即可计算出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=ax^2 -4$的对称轴为y轴，
∴ A、B两点关于原点对称，
已知$AB=4$，则$OB=\frac{1}{2}AB=2$，即$B(2,0)$，
把$B(2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0=a×2^2 -4$，
解得$a=1$。
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=x^2 -4$，
把$x=-1$代入$y=x^2 -4$，得：
$y=(-1)^2 -4=-3$，
∴ 点C的坐标为$(-1,-3)$，
如图，作$CD⊥AB$于点D，
∵ AB在x轴上，
∴ $CD=|-3|=3$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) $△ ABC$的面积为6。
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，重点考查对称轴为y轴的二次函数的对称性，以及坐标系内图形面积的计算方法，解题的关键是利用对称性确定交点坐标，明确水平线段为底时高的取值方法。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确对称轴为y轴的抛物线与x轴的两个交点关于原点对称，结合AB的长度即可得到B点坐标，再将B点坐标代入二次函数解析式，通过解方程即可求出a的值。
(2) 先根据(1)的结果得到完整的二次函数解析式，将点C的横坐标代入解析式求出其纵坐标，得到C点坐标；由于AB在x轴上，△ABC的高就是点C到x轴的距离，即C点纵坐标的绝对值，再结合已知的AB长度，利用三角形面积公式即可计算出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=ax^2 -4$的对称轴为y轴，
∴ A、B两点关于原点对称，
已知$AB=4$，则$OB=\frac{1}{2}AB=2$，即$B(2,0)$，
把$B(2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0=a×2^2 -4$，
解得$a=1$。
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=x^2 -4$，
把$x=-1$代入$y=x^2 -4$，得：
$y=(-1)^2 -4=-3$，
∴ 点C的坐标为$(-1,-3)$，
如图，作$CD⊥AB$于点D，
∵ AB在x轴上，
∴ $CD=|-3|=3$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) $△ ABC$的面积为6。
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，重点考查对称轴为y轴的二次函数的对称性，以及坐标系内图形面积的计算方法，解题的关键是利用对称性确定交点坐标，明确水平线段为底时高的取值方法。
【难度系数】
0.8
