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【例1】有一个二次函数$y=a(x-k)^2$的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上；
乙：对称轴为直线$x=2$；
丙：与$y$轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为
【点拨】∵图象开口向上，∴$a＞0$.∵对称轴为直线$x=2$，∴$k=2$，∴二次函数$y=a(x-k)^2$的解析式为$y=a(x-2)^2$.∵图象与$y$轴的交点到原点的距离为2，图象开口向上，∴图象与$y$轴交于点$(0,2)$.把$(0,2)$代入$y=a(x-2)^2$，即可得到满足特点的二次函数的解析式.
【解】$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
甲：开口向上；
乙：对称轴为直线$x=2$；
丙：与$y$轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
.【点拨】∵图象开口向上，∴$a＞0$.∵对称轴为直线$x=2$，∴$k=2$，∴二次函数$y=a(x-k)^2$的解析式为$y=a(x-2)^2$.∵图象与$y$轴的交点到原点的距离为2，图象开口向上，∴图象与$y$轴交于点$(0,2)$.把$(0,2)$代入$y=a(x-2)^2$，即可得到满足特点的二次函数的解析式.
【解】$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
答案
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
解析
【分析】
解题时先结合二次函数顶点式的性质拆解已知条件：首先根据开口方向确定a的符号，再由对称轴的条件确定顶点式中k的值，最后根据与y轴交点的特征求a的具体数值，注意要结合a的符号排除不符合题意的交点坐标，避免多解错误。
【解析】
1. 由开口向上的特点，可得二次项系数$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x-k)^2$的对称轴为直线$x=k$，结合对称轴为直线$x=2$的条件，得$k=2$，因此函数解析式可先写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=a(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 由与y轴交点到原点的距离为2，可得$|4a|=2$；
5. 结合$a＞0$的前提，得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$；
6. 将$a=\frac{1}{2}$代入$y=a(x-2)^2$即可得到最终解析式。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式的基础性质，解题时需要逐个对应条件推导参数，注意对多解情况的筛选，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数顶点式的性质拆解已知条件：首先根据开口方向确定a的符号，再由对称轴的条件确定顶点式中k的值，最后根据与y轴交点的特征求a的具体数值，注意要结合a的符号排除不符合题意的交点坐标，避免多解错误。
【解析】
1. 由开口向上的特点，可得二次项系数$a＞0$；
2. 二次函数$y=a(x-k)^2$的对称轴为直线$x=k$，结合对称轴为直线$x=2$的条件，得$k=2$，因此函数解析式可先写为$y=a(x-2)^2$；
3. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=a(0-2)^2=4a$，即交点坐标为$(0,4a)$；
4. 由与y轴交点到原点的距离为2，可得$|4a|=2$；
5. 结合$a＞0$的前提，得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$；
6. 将$a=\frac{1}{2}$代入$y=a(x-2)^2$即可得到最终解析式。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题重点考查二次函数顶点式的基础性质，解题时需要逐个对应条件推导参数，注意对多解情况的筛选，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
【例2】已知函数$y=-(x-1)^2$图象上的两点$A(2,y_1),B(a,y_2)$，其中$a＞2$，则$y_1$与$y_2$的关系是$y_1$
【点拨】对于函数$y=-(x-1)^2$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，且$a＞2$，由此即可解答。
【解】＞
＞
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。【点拨】对于函数$y=-(x-1)^2$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，且$a＞2$，由此即可解答。
【解】＞
答案
＞
解析
【分析】
解题时先分析所给二次函数的性质：首先由二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再确定对称轴，得到函数的增减性规律；随后判断两个点的横坐标所在的区间，结合增减性即可比较两个函数值的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2$：
1. 二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 由开口方向和对称轴可得：当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知点$A$的横坐标为$2$，点$B$的横坐标$a＞2$，两点横坐标均大于1，且$2＜a$，根据上述增减性规律，横坐标越小对应的函数值越大，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、函数值比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数增减性的应用，解题关键是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合点的横坐标位置利用增减性判断函数值大小，熟练掌握二次函数的图象性质可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先分析所给二次函数的性质：首先由二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再确定对称轴，得到函数的增减性规律；随后判断两个点的横坐标所在的区间，结合增减性即可比较两个函数值的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2$：
1. 二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 由开口方向和对称轴可得：当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知点$A$的横坐标为$2$，点$B$的横坐标$a＞2$，两点横坐标均大于1，且$2＜a$，根据上述增减性规律，横坐标越小对应的函数值越大，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、函数值比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数增减性的应用，解题关键是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合点的横坐标位置利用增减性判断函数值大小，熟练掌握二次函数的图象性质可快速解题。
【难度系数】
0.9
1.将二次函数$y=-2x^2$的图象平移后，可得到二次函数$y=-2(x+5)^2$的图象，平移的方法是（
A.向上平移5个单位长度
B.向下平移5个单位长度
C.向左平移5个单位长度
D.向右平移5个单位长度
C
）A.向上平移5个单位长度
B.向下平移5个单位长度
C.向左平移5个单位长度
D.向右平移5个单位长度
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题可从两种思路入手：一是利用二次函数平移的本质，平移仅改变顶点位置，图象开口方向、形状不变，通过对比两个函数的顶点坐标的平移方式，就能得到整个图象的平移方法；二是直接用平移口诀“左加右减、上加下减”判断，要注意“左加右减”是针对自变量x的变换，“上加下减”是针对函数整体的常数项变换，本题仅涉及x的变化，对应左右平移。
【解析】
方法1：通过顶点坐标判断
二次函数$y=-2x^2$的顶点式为$y=-2(x-0)^2$，顶点坐标为$(0,0)$；
二次函数$y=-2(x+5)^2$可改写为$y=-2(x-(-5))^2$，顶点坐标为$(-5,0)$；
点$(0,0)$向左平移5个单位长度可得到$(-5,0)$，因此二次函数图象是向左平移5个单位长度。
方法2：通过平移规律判断
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”规则，其中自变量x的变换对应左右平移：
原函数自变量为x，平移后自变量变为$x+5$，符合“左加”的规则，因此是向左平移5个单位长度。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题，核心是掌握平移口诀的使用规则，尤其要注意区分“左加右减”是针对自变量x的变换，避免和上下平移的判断混淆。
【难度系数】
0.8
解决这道题可从两种思路入手：一是利用二次函数平移的本质，平移仅改变顶点位置，图象开口方向、形状不变，通过对比两个函数的顶点坐标的平移方式，就能得到整个图象的平移方法；二是直接用平移口诀“左加右减、上加下减”判断，要注意“左加右减”是针对自变量x的变换，“上加下减”是针对函数整体的常数项变换，本题仅涉及x的变化，对应左右平移。
【解析】
方法1：通过顶点坐标判断
二次函数$y=-2x^2$的顶点式为$y=-2(x-0)^2$，顶点坐标为$(0,0)$；
二次函数$y=-2(x+5)^2$可改写为$y=-2(x-(-5))^2$，顶点坐标为$(-5,0)$；
点$(0,0)$向左平移5个单位长度可得到$(-5,0)$，因此二次函数图象是向左平移5个单位长度。
方法2：通过平移规律判断
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”规则，其中自变量x的变换对应左右平移：
原函数自变量为x，平移后自变量变为$x+5$，符合“左加”的规则，因此是向左平移5个单位长度。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题，核心是掌握平移口诀的使用规则，尤其要注意区分“左加右减”是针对自变量x的变换，避免和上下平移的判断混淆。
【难度系数】
0.8
