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1.若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点A(3，－6)，则该图象必经过点（
A.(－3，6)
B.(－3，－6)
C.(6，－3)
D.(6，3)
B
）A.(－3，6)
B.(－3，－6)
C.(6，－3)
D.(6，3)
答案
1.B
解析
【分析】
解题可通过两种思路完成：方法一：先利用待定系数法，将已知点A的坐标代入二次函数解析式求出a的值，确定函数的具体表达式，再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，和选项给出的纵坐标对比即可判断点是否在图象上；方法二：根据二次函数$y=ax^2$的图象特征，其对称轴为y轴，图象上的点关于y轴对称，只需找已知点A关于y轴的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法1：待定系数法
将点A(3, -6)代入二次函数$y = ax^2$，得：
$-6 = a × 3^2$
即$9a = -6$，解得$a = -\frac{2}{3}$
因此二次函数解析式为$y = -\frac{2}{3}x^2$
逐个验证选项：
A. 当$x=-3$时，$y = -\frac{2}{3} × (-3)^2 = -\frac{2}{3} × 9 = -6 ≠ 6$，该点不在图象上；
B. 当$x=-3$时，$y = -\frac{2}{3} × (-3)^2 = -6$，与选项纵坐标一致，该点在图象上；
C. 当$x=6$时，$y = -\frac{2}{3} × 6^2 = -\frac{2}{3} × 36 = -24 ≠ -3$，该点不在图象上；
D. 当$x=6$时，$y = -24 ≠ 3$，该点不在图象上。
方法2：对称性法
二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上。
已知点A(3,-6)在图象上，其关于y轴的对称点为(-3,-6)，因此图象必过点(-3,-6)。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数y=ax²的性质；轴对称点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本性质，两种解题方法中，利用抛物线的对称性解题效率更高，日常学习中要注意掌握函数图象的几何特征，可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题可通过两种思路完成：方法一：先利用待定系数法，将已知点A的坐标代入二次函数解析式求出a的值，确定函数的具体表达式，再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，和选项给出的纵坐标对比即可判断点是否在图象上；方法二：根据二次函数$y=ax^2$的图象特征，其对称轴为y轴，图象上的点关于y轴对称，只需找已知点A关于y轴的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法1：待定系数法
将点A(3, -6)代入二次函数$y = ax^2$，得：
$-6 = a × 3^2$
即$9a = -6$，解得$a = -\frac{2}{3}$
因此二次函数解析式为$y = -\frac{2}{3}x^2$
逐个验证选项：
A. 当$x=-3$时，$y = -\frac{2}{3} × (-3)^2 = -\frac{2}{3} × 9 = -6 ≠ 6$，该点不在图象上；
B. 当$x=-3$时，$y = -\frac{2}{3} × (-3)^2 = -6$，与选项纵坐标一致，该点在图象上；
C. 当$x=6$时，$y = -\frac{2}{3} × 6^2 = -\frac{2}{3} × 36 = -24 ≠ -3$，该点不在图象上；
D. 当$x=6$时，$y = -24 ≠ 3$，该点不在图象上。
方法2：对称性法
二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上。
已知点A(3,-6)在图象上，其关于y轴的对称点为(-3,-6)，因此图象必过点(-3,-6)。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数y=ax²的性质；轴对称点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本性质，两种解题方法中，利用抛物线的对称性解题效率更高，日常学习中要注意掌握函数图象的几何特征，可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=(a-1)x^2$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（
A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$
D
）A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象和性质：这类函数的对称轴是y轴，增减性由二次项系数$a$的符号决定：若$a＞0$，抛物线开口向上，在$x＞0$的区间内y随x的增大而增大；若$a＜0$，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小。本题已知$x＞0$时y随x增大而减小，可据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
已知函数是二次函数$y=(a-1)x^2$，其二次项系数为$a-1$。
根据题意，当$x＞0$时y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$a-1＜0$
解得$a＜1$，符合二次函数二次项系数不为0的要求。
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一元一次不等式求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次项系数对$y=ax^2$型二次函数开口方向、增减性的影响，只要熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象和性质：这类函数的对称轴是y轴，增减性由二次项系数$a$的符号决定：若$a＞0$，抛物线开口向上，在$x＞0$的区间内y随x的增大而增大；若$a＜0$，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小。本题已知$x＞0$时y随x增大而减小，可据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
已知函数是二次函数$y=(a-1)x^2$，其二次项系数为$a-1$。
根据题意，当$x＞0$时y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$a-1＜0$
解得$a＜1$，符合二次函数二次项系数不为0的要求。
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一元一次不等式求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次项系数对$y=ax^2$型二次函数开口方向、增减性的影响，只要熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.下表是二次函数$y=ax^2$中，$x$，$y$的部分对应值：
则下列说法不正确的是 （
A.图象开口向上
B.图象对称轴是$y$轴
C.图象顶点是原点
D.图象经过点$(3,6)$
则下列说法不正确的是 （
D
）A.图象开口向上
B.图象对称轴是$y$轴
C.图象顶点是原点
D.图象经过点$(3,6)$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先需要根据表格给出的x、y对应值，代入二次函数解析式求出系数a，确定函数的具体形式，再结合二次函数y=ax²的图象与性质，逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
选取表格中x=1，y=1代入解析式$y=ax^2$，可得：
$1=a×1^2$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一分析选项：
A. 由于$a=1＞0$，二次函数图象开口向上，该说法正确；
B. 观察表格可知x取互为相反数的数值时y值相等，且$y=ax^2$的对称轴为y轴，该说法正确；
C. 二次函数$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$即原点，结合表格中x=0时y=0可验证，该说法正确；
D. 当x=3时，代入解析式得$y=3^2=9≠6$，因此图象不经过点$(3,6)$，该说法错误。
综上本题选不正确的选项，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；待定系数法求解析式；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心是先确定函数解析式，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标等基础性质判断选项，熟练掌握y=ax²的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要根据表格给出的x、y对应值，代入二次函数解析式求出系数a，确定函数的具体形式，再结合二次函数y=ax²的图象与性质，逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
选取表格中x=1，y=1代入解析式$y=ax^2$，可得：
$1=a×1^2$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一分析选项：
A. 由于$a=1＞0$，二次函数图象开口向上，该说法正确；
B. 观察表格可知x取互为相反数的数值时y值相等，且$y=ax^2$的对称轴为y轴，该说法正确；
C. 二次函数$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$即原点，结合表格中x=0时y=0可验证，该说法正确；
D. 当x=3时，代入解析式得$y=3^2=9≠6$，因此图象不经过点$(3,6)$，该说法错误。
综上本题选不正确的选项，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；待定系数法求解析式；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心是先确定函数解析式，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标等基础性质判断选项，熟练掌握y=ax²的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. (2025—2026南昌新建区检测)在同一坐标系中，一次函数$y=x+a$与二次函数$y=ax^2$的图象可能是（
B
）答案
4.B
解析
【分析】
解题时先分别明确一次函数$y=x+a$和二次函数$y=ax^2$的图象性质，以公共参数$a$的正负为分类标准，逐一验证选项是否同时符合两个函数的图象特征：二次函数$y=ax^2$顶点恒在原点，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；一次函数$y=x+a$斜率固定为1（图象从左下向右上倾斜），与$y$轴交点为$(0,a)$，$a＞0$交$y$轴正半轴，$a＜0$交$y$轴负半轴，通过矛盾排除错误选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=x+a$斜率为正，且与$y$轴交于正半轴。观察选项C、D，其中一次函数图象均从左上向右下倾斜（斜率为负），不符合一次函数$y=x+a$斜率为$1＞0$的特征，故排除C、D。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=x+a$斜率为正，且与$y$轴交于负半轴。观察选项A：一次函数与$y$轴交于正半轴，说明$a＞0$，和此时$a＜0$的前提矛盾，排除A；选项B：二次函数开口向下（对应$a＜0$），一次函数斜率为正、与$y$轴交于负半轴，完全符合$a＜0$时两个函数的图象特征，成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合判断题，核心是抓住公共参数$a$的取值对两个函数图象的影响，用分类讨论结合排除法即可快速解题，是函数图象类选择题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先分别明确一次函数$y=x+a$和二次函数$y=ax^2$的图象性质，以公共参数$a$的正负为分类标准，逐一验证选项是否同时符合两个函数的图象特征：二次函数$y=ax^2$顶点恒在原点，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；一次函数$y=x+a$斜率固定为1（图象从左下向右上倾斜），与$y$轴交点为$(0,a)$，$a＞0$交$y$轴正半轴，$a＜0$交$y$轴负半轴，通过矛盾排除错误选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=x+a$斜率为正，且与$y$轴交于正半轴。观察选项C、D，其中一次函数图象均从左上向右下倾斜（斜率为负），不符合一次函数$y=x+a$斜率为$1＞0$的特征，故排除C、D。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=x+a$斜率为正，且与$y$轴交于负半轴。观察选项A：一次函数与$y$轴交于正半轴，说明$a＞0$，和此时$a＜0$的前提矛盾，排除A；选项B：二次函数开口向下（对应$a＜0$），一次函数斜率为正、与$y$轴交于负半轴，完全符合$a＜0$时两个函数的图象特征，成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合判断题，核心是抓住公共参数$a$的取值对两个函数图象的影响，用分类讨论结合排除法即可快速解题，是函数图象类选择题的典型考法。
【难度系数】
0.7
5.若点$(1,y_1),(2,y_2)$是二次函数$y=-3x^2$图象上的两点，则$y_1$与$y_2$的大小关系是
y₁＞y₂
。答案
5.y₁＞y₂
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接把两点的横坐标代入函数解析式，算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是利用二次函数的增减性判断，先确定二次函数$y=-3x^2$的开口方向、对称轴，再判断两点是否在对称轴同侧，结合横坐标的大小关系推导对应函数值的大小，用增减性判断解题更快捷。
【解析】
方法一（代入求值法）：
把$x=1$代入$y=-3x^2$，得$y_1=-3×1^2=-3$；
把$x=2$代入$y=-3x^2$，得$y_2=-3×2^2=-12$；
因为$-3＞-12$，所以$y_1＞y_2$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=-3x^2$中，$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标$1＞0$，$2＞0$，且$1＜2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速判断，重点考查对二次函数开口方向、增减性等核心性质的掌握，熟练运用函数增减性可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接把两点的横坐标代入函数解析式，算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是利用二次函数的增减性判断，先确定二次函数$y=-3x^2$的开口方向、对称轴，再判断两点是否在对称轴同侧，结合横坐标的大小关系推导对应函数值的大小，用增减性判断解题更快捷。
【解析】
方法一（代入求值法）：
把$x=1$代入$y=-3x^2$，得$y_1=-3×1^2=-3$；
把$x=2$代入$y=-3x^2$，得$y_2=-3×2^2=-12$；
因为$-3＞-12$，所以$y_1＞y_2$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=-3x^2$中，$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标$1＞0$，$2＞0$，且$1＜2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速判断，重点考查对二次函数开口方向、增减性等核心性质的掌握，熟练运用函数增减性可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
变式题 点在对称轴同侧→异侧
已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$过点$A(-3,y_1)$和点$B(1,y_2)$，则下列关系式正确的是 （
A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$y_1＞0＞y_2$
D.$y_2＞0＞y_1$
已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$过点$A(-3,y_1)$和点$B(1,y_2)$，则下列关系式正确的是 （
A
）A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$y_1＞0＞y_2$
D.$y_2＞0＞y_1$
答案
变式题 A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在原点，函数最小值为0，且距离对称轴越远的点，对应的函数值越大。第一步先判断两个点纵坐标的正负，第二步计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小就能得到纵坐标的大小关系，最终选出正确选项。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$：
1. 正负判断：因为$a＞0$，且对任意非零实数x，$x^2＞0$，所以$y=ax^2＞0$，即$y_1＞0$，$y_2＞0$，排除C、D选项；
2. 大小比较：抛物线对称轴为直线$x=0$，点$A(-3,y_1)$到对称轴的距离为$|-3-0|=3$，点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$|1-0|=1$。
因为$a＞0$时抛物线开口向上，到对称轴距离越远的点函数值越大，且$3＞1$，所以$y_1＞y_2$。
综上可得$y_1＞y_2＞0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离与函数值大小的对应关系，熟练掌握性质即可快速求解，避免了代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在原点，函数最小值为0，且距离对称轴越远的点，对应的函数值越大。第一步先判断两个点纵坐标的正负，第二步计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小就能得到纵坐标的大小关系，最终选出正确选项。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$：
1. 正负判断：因为$a＞0$，且对任意非零实数x，$x^2＞0$，所以$y=ax^2＞0$，即$y_1＞0$，$y_2＞0$，排除C、D选项；
2. 大小比较：抛物线对称轴为直线$x=0$，点$A(-3,y_1)$到对称轴的距离为$|-3-0|=3$，点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$|1-0|=1$。
因为$a＞0$时抛物线开口向上，到对称轴距离越远的点函数值越大，且$3＞1$，所以$y_1＞y_2$。
综上可得$y_1＞y_2＞0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离与函数值大小的对应关系，熟练掌握性质即可快速求解，避免了代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.8
6.跨地理学科 图①是塔克拉玛干沙漠某处的抛物线形沙丘.若该抛物线形沙丘满足的函数关系式为$y=-\frac{4}{9}x^2$（如图②），则沙丘最低点B(18,h)到最高点O的垂直高度为
144
.答案
6.144
解析
【分析】
要计算沙丘最低点B到最高点O的垂直高度，首先明确坐标系中O是坐标原点（最高点，纵坐标为0），y轴代表竖直方向，两点的垂直高度为两点纵坐标的差的绝对值。已知点B在二次函数图象上，且横坐标为18，只需将x=18代入函数解析式求出B点的纵坐标h，再计算O点纵坐标与h的差值即可得到垂直高度。
【解析】
解：
∵点B(18, h)在抛物线$y=-\frac{4}{9}x^2$上，
∴将$x=18$代入函数解析式，得：
$h=-\frac{4}{9}×18^2$
计算得$18^2=324$，代入后：
$h=-\frac{4}{9}×324=-144$
∵最高点O为坐标原点，纵坐标为0，y轴表示竖直方向，
∴B到O的垂直高度为$0 - h = 0 - (-144) = 144$。
【答案】
144
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式，代入计算即可得到结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要计算沙丘最低点B到最高点O的垂直高度，首先明确坐标系中O是坐标原点（最高点，纵坐标为0），y轴代表竖直方向，两点的垂直高度为两点纵坐标的差的绝对值。已知点B在二次函数图象上，且横坐标为18，只需将x=18代入函数解析式求出B点的纵坐标h，再计算O点纵坐标与h的差值即可得到垂直高度。
【解析】
解：
∵点B(18, h)在抛物线$y=-\frac{4}{9}x^2$上，
∴将$x=18$代入函数解析式，得：
$h=-\frac{4}{9}×18^2$
计算得$18^2=324$，代入后：
$h=-\frac{4}{9}×324=-144$
∵最高点O为坐标原点，纵坐标为0，y轴表示竖直方向，
∴B到O的垂直高度为$0 - h = 0 - (-144) = 144$。
【答案】
144
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式，代入计算即可得到结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
