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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=63°$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$AB=AD=DE=EC$，求$∠ C$的度数.
答案
解:设$∠ C=x,\because ED=EC,\therefore ∠ EDC=∠ C=x.\therefore ∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x.\because DA=DE,\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x.\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=3x.\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB=3x=63°,$解得$x=21°.$$\therefore ∠ C=21°.$则$∠ C$的度数为$21°.$
解析
【分析】
我们可以利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于与它不相邻两个内角和的规律，通过设未知数列方程的方法求解：首先设∠C为未知数，先根据ED=EC推导∠DEA的表达式，再根据AD=DE推导∠DAE的表达式，接着结合外角性质推导∠ADB的表达式，最后根据AB=AD结合已知∠B的度数列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ C=x$，
$\because ED=EC$，$\therefore ∠ EDC=∠ C=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x$，
$\because DA=DE$，$\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x$，
同理，$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=x+2x=3x$，
$\because AB=AD$，$\therefore ∠ B=∠ ADB=3x$，
已知$∠ ABC=63°$，即$3x=63°$，
解得$x=21°$。
【答案】
$21°$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角定理，方程求角度
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，核心考查等腰三角形等边对等角性质与三角形外角性质的综合运用，通过设未知数将几何角度关系转化为方程求解，能有效降低推导难度，解题的关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
我们可以利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于与它不相邻两个内角和的规律，通过设未知数列方程的方法求解：首先设∠C为未知数，先根据ED=EC推导∠DEA的表达式，再根据AD=DE推导∠DAE的表达式，接着结合外角性质推导∠ADB的表达式，最后根据AB=AD结合已知∠B的度数列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ C=x$，
$\because ED=EC$，$\therefore ∠ EDC=∠ C=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x$，
$\because DA=DE$，$\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x$，
同理，$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=x+2x=3x$，
$\because AB=AD$，$\therefore ∠ B=∠ ADB=3x$，
已知$∠ ABC=63°$，即$3x=63°$，
解得$x=21°$。
【答案】
$21°$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角定理，方程求角度
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，核心考查等腰三角形等边对等角性质与三角形外角性质的综合运用，通过设未知数将几何角度关系转化为方程求解，能有效降低推导难度，解题的关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
2. 某卡通形象如图所示，其中射线AB是△ACD的外角平分线，且AB//CD. 请判断该卡通形象头部△ACD的形状，并说明理由. 
第2题图
第2题图答案
解:$△ ACD$是等腰三角形,理由如下:$\because$ 射线$AB$是$△ ACD$的外角平分线,$\therefore ∠ DAB=∠ FAB.$$\because AB// CD,\therefore ∠ DAB=∠ ADC,$$∠ FAB=∠ ACD.\therefore ∠ ADC=∠ ACD.\therefore AC=AD.\therefore △ ACD$是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△ACD的形状，可从角的等量关系入手推导：首先根据角平分线的定义，由AB是外角平分线得到一组相等的角；再结合AB//CD的条件，利用平行线的性质得到新的角的等量关系，将角的相等关系转化到△ACD的两个内角中，若两个内角相等，即可根据等腰三角形的判定定理得出三角形的形状。
【解析】
△ACD是等腰三角形，理由如下：
∵ 射线AB是△ACD的外角平分线，
∴ $∠ DAB=∠ FAB$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DAB=∠ ADC$（两直线平行，内错角相等），$∠ FAB=∠ ACD$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ ADC=∠ ACD$，
∴ $AC=AD$（等角对等边），
∴ △ACD是等腰三角形。
【答案】
△ACD是等腰三角形
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，进而得到三角形内角的关系，是几何基础定理综合应用的典型考法。
【难度系数】
0.8
要判断△ACD的形状，可从角的等量关系入手推导：首先根据角平分线的定义，由AB是外角平分线得到一组相等的角；再结合AB//CD的条件，利用平行线的性质得到新的角的等量关系，将角的相等关系转化到△ACD的两个内角中，若两个内角相等，即可根据等腰三角形的判定定理得出三角形的形状。
【解析】
△ACD是等腰三角形，理由如下：
∵ 射线AB是△ACD的外角平分线，
∴ $∠ DAB=∠ FAB$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DAB=∠ ADC$（两直线平行，内错角相等），$∠ FAB=∠ ACD$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ ADC=∠ ACD$，
∴ $AC=AD$（等角对等边），
∴ △ACD是等腰三角形。
【答案】
△ACD是等腰三角形
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，进而得到三角形内角的关系，是几何基础定理综合应用的典型考法。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,现将 Rt△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 30°,得到 Rt△ADE,连接 CD,求$\frac{CD}{AC}$的值.
答案
解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ ACB=90°,∠ ABC=30°,\therefore AB=2AC,$$∠ BAC=60°.$由旋转,得$DA=AB=2AC,∠ DAE=∠ BAC=60°,$$∠ EAC=30°,\therefore ∠ DAC=90°.$在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{5}AC,\therefore \dfrac{CD}{AC}=\sqrt{5}.$
解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC的角度条件入手：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到AB与AC的数量关系；再利用旋转的性质，即旋转前后对应边相等、对应角相等，结合旋转角30°，推导得出∠DAC的度数，判断出△DAC为直角三角形；最后在Rt△DAC中运用勾股定理求出CD的长度表达式，即可计算得到CD与AC的比值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\because ∠ACB=90°,∠ABC=30°$，
$\therefore ∠BAC=90°-30°=60°$，$AB=2AC$。
由旋转的性质可得：$DA=AB=2AC$，$∠DAE=∠BAC=60°$，旋转角$∠CAE=30°$，
$\therefore ∠DAC=∠DAE+∠CAE=60°+30°=90°$，即$△ DAC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{(2AC)^2+AC^2}=\sqrt{5}AC$，
$\therefore \dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}AC}{AC}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何计算类常规题型，将旋转性质与直角三角形相关知识结合考查，解题的关键是准确利用旋转的性质得到边、角的对应关系，进而构造直角三角形利用勾股定理求解，有助于提升对图形变换类问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的Rt△ABC的角度条件入手：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到AB与AC的数量关系；再利用旋转的性质，即旋转前后对应边相等、对应角相等，结合旋转角30°，推导得出∠DAC的度数，判断出△DAC为直角三角形；最后在Rt△DAC中运用勾股定理求出CD的长度表达式，即可计算得到CD与AC的比值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\because ∠ACB=90°,∠ABC=30°$，
$\therefore ∠BAC=90°-30°=60°$，$AB=2AC$。
由旋转的性质可得：$DA=AB=2AC$，$∠DAE=∠BAC=60°$，旋转角$∠CAE=30°$，
$\therefore ∠DAC=∠DAE+∠CAE=60°+30°=90°$，即$△ DAC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{(2AC)^2+AC^2}=\sqrt{5}AC$，
$\therefore \dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}AC}{AC}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何计算类常规题型，将旋转性质与直角三角形相关知识结合考查，解题的关键是准确利用旋转的性质得到边、角的对应关系，进而构造直角三角形利用勾股定理求解，有助于提升对图形变换类问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
