1. 下列各式能用平方差公式计算的是 （）

A.$(2a+b)(2b-a)$
B.$(2x+1)(-2x-1)$
C.$(3x-y)(-3x+y)$
D.$(-x-y)(-x+y)$

D

平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，要求两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数：
选项A：不存在相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算；
选项B：两项都互为相反数，可变形为$-(2x+1)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式计算；
选项C：两项都互为相反数，可变形为$-(3x-y)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式计算；
选项D：相同项为$-x$，互为相反数的项为$-y$和$y$，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算。

2. 若$a+b=3$,则$a^2 - b^2 + 6b$的值为 （）

A.3
B.6
C.9
D.12

C

利用平方差公式对原式变形：
$a^2 - b^2 + 6b=(a+b)(a-b)+6b$，
将$a+b=3$代入上式：
原式$=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)$，
再把$a+b=3$代入，得$3×3=9$。

3. 下列各式:①$a^2 - a + \frac{1}{4}$;②$x^2 + xy + y^2$;③$\frac{1}{16}m^2 + m + 9$;④$4a^2 - 2ab + b^2$;⑤$\frac{1}{4}a^2b^2 - 2ab + 4$;⑥$m^4 - 2mn + n^4$。其中是完全平方式的有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

A

根据完全平方式的定义：形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式为完全平方式，逐个判断：
1. ①$a^2 - a + \frac{1}{4}=a^2 - 2· a· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式；
2. ②$x^2 + xy + y^2$，中间项$xy≠ 2xy$，不符合完全平方式；
3. ③$\frac{1}{16}m^2 + m + 9$，首项为$(\frac{1}{4}m)^2$、尾项为$3^2$，对应中间项应为$\frac{3}{2}m≠ m$，不符合完全平方式；
4. ④$4a^2 - 2ab + b^2$，首项为$(2a)^2$、尾项为$b^2$，对应中间项应为$4ab≠2ab$，不符合完全平方式；
5. ⑤$\frac{1}{4}a^2b^2 - 2ab + 4=(\frac{1}{2}ab)^2 - 2· \frac{1}{2}ab·2 + 2^2$，符合完全平方式；
6. ⑥$m^4 - 2mn + n^4$，首项为$(m^2)^2$、尾项为$(n^2)^2$，对应中间项应为$2m^2n^2≠2mn$，不符合完全平方式。
综上，完全平方式共2个。

4.如下四组图中，左边阴影部分是将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，右边是将阴影部分通过剪、拼后所形成的新图形。下列四种剪拼方法中，能够验证平方差公式的有 （）


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

左边阴影部分的面积均为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$：
1. 图①：拼接后新长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
2. 图②：拼接后新平行四边形的底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
3. 图③：拼接后新长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
4. 图④：拼接后新平行四边形的底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式。
四个剪拼方法都能验证平方差公式。

5.某厂原来生产一种边长为a cm的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3 cm，另一边缩短3 cm，改成生产长方形地砖。若材料的成本价为b元/cm²，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（）

A.增加了9b元
B.增加了3ab元
C.减少了9b元
D.减少了3ab元

C

先计算原正方形地砖的面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，对应材料成本为$a^2b$元；改造后的长方形地砖长为$(a+3)\ \mathrm{cm}$，宽为$(a-3)\ \mathrm{cm}$，由平方差公式得其面积为$(a+3)(a-3)=a^2-9\ \mathrm{cm}^2$，对应材料成本为$(a^2-9)b$元。两者成本作差：$a^2b-(a^2-9)b=9b$，可知长方形地砖每块的材料成本价比正方形地砖减少了9b元。

6. 计算$\frac{1}{2} × (1+\frac{1}{2}) × (1+\frac{1}{2^2}) × (1+\frac{1}{2^4}) × (1+\frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}}$的结果为（）

A.$2-\frac{1}{2^{15}}$
B.$1+\frac{1}{2^{16}}$
C.$1$
D.$2$

B

利用平方差公式计算，先将第一个因数$\frac{1}{2}$变形为$1-\frac{1}{2}$：
原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}$
连续使用平方差公式逐步化简：
1. $(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^2}$
2. $(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})=1-\frac{1}{2^4}$
3. $(1-\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^4})=1-\frac{1}{2^8}$
4. $(1-\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^8})=1-\frac{1}{2^{16}}$
代入原式计算：
原式$=1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2^{15}}=1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{2}{2^{16}}=1+\frac{1}{2^{16}}$